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2025年山东省枣庄市中考数学模拟试卷（四）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.不等式组的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
2.我国有个民族，民俗文化丰富多彩下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.年月日清明假期最后一天，沈阳铁路局单日客流达万人次，创今年单日旅客发送新高数据万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.掷一枚质地均匀的硬币次，下列说法正确的是( )
A. 有次正面朝上 B. 不可能次正面朝上
C. 不可能次正面朝下 D. 可能有次正面朝上
5.榫卯结构是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图为( )
A. B. C. D.
6.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
7.观察下表，第个图形中“”的个数与“”的个数相等．
序号
图形
的个数
的个数
A. B. C. D.
8.如图是某蓄水池横截面的示意图，现将满池的水匀速全部放出能刻画蓄水池中水的高度米与放水时间时的函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
9.如图，在中，，是的中点，过点，分别作，若，，则四边形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在平面直角坐标系中，已知，，，，，，，按照此规律，点的坐标为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则正方形的边长可能是______．
12.五一期间，来自四面八方的游客来青岛游玩，一家实体店购进两种纪念品进行销售已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵元；用元购进甲纪念品的数量是用元购进乙纪念品的数量的倍若设甲种纪念品的进价为元，则可列方程为______．
13.如图，等边三角形的一边在轴上，反比例函数在第一象限内的图象经过边的中点，则点的坐标是______．
14.如图，一块正方形工件如图所示，工件的边长为，现在以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，将图中阴影部分单独切割，则阴影部分工件的面积为______．
15.如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，，则点的坐标是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：．
17.本小题分
近年来，由于智能聊天机器人的横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门话题有关人员开展了，两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取份，对数据进行整理、描述和分析评分用表示，分为个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意下面给出了部分信息：
抽取的对款聊天机器人的评分数据中满意的数据：，，，，，；
抽取的对款聊天机器人的评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
抽取的对，两款聊天机器人的评分统计表如下：
类型 平均数 中位数 众数 非常满意所占百分比
根据以上信息回答下列问题：
上述图表中______，______，______．
根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由写出条理由即可．
在此次测验中，有人对款聊天机器人进行评分，有人对款聊天机器人进行评分估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人．
18.本小题分
某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件的生产成本为元，销售价格在元件至元件之间含元件和元件，销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用不含生产成本总计万元，其销售量万件与销售价格元件之间的函数关系如图所示．
当时，求与之间的函数关系式；
求出该种产品从生产到销售完，获得的利润万元与销售价格元件之间的函数关系式；
当销售价格定为多少元件时，获得的利润最大？最大利润是多少？
19.本小题分
为了方便市民出行，市政府决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为的改造为坡角为的，已知，点，，，，，在同一平面内．
求的距离结果保留根号．
一辆货车沿斜坡从处行驶到处，货车的高为，，若，求此时货车顶端到水平线的距离结果精确到，参考数据：，
20.本小题分
内接于，点在上，连接、，且．
如图，求证：；
如图，若点在上点在上，连接，交于点，，求证：；
如图，在的条件下，延长交于点，连接，延长交的切线于点，若，，求的长．
21.本小题分
【问题情境】在矩形中，点为边上一个动点，连接将沿翻折，使点恰好落在对角线上点处，交于点．
【探究发现】
如图，若，求的度数；
如图，当，且时，求的长；
【拓展延伸】
若矩形满足：：，点为边上一个动点，将矩形沿进行翻折，点的对应点为，当点，，三点共线时，求的正切值．
22.本小题分
某数学兴趣小组在一次剪裁活动中，进行系列探究：
探究一：首先剪裁两个大小不同的直角三角形和，使，，在同一平面内，直角顶点重合于点，点在上，，相交于点．
问题按照如图的摆放，使，试判断点是否是的中点？若是，请说明理由；若不是，写出与的数量关系不用说理；
问题如果，按照图的摆放，连接，若，，求；
探究二：剪裁一个等腰和一个，使，，，等腰的斜边，将如图放置，使与重合，与相交于，设的中点为，若绕点顺时针旋转如图，在从到的变化过程中，直接写出点移动的总路程．
23.本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点在的左侧，与轴交于点，连接，．
求抛物线的表达式；
点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴平行线交于点，点是线段上一点，当最大时，求的最小值．
将抛物沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点坐标为，点是新抛物线对称轴上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：解得：；
不等式组的解集在数轴上表示为：
故选：．
2.【答案】
【解析】解：选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B.选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D.选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：万．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，
所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是，
所以掷一枚质地均匀的硬币次，
可能有次正面向上；
故选：．
5.【答案】
【解析】解：根据从上面看到的图形可知：榫的俯视图为：
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，故选项B错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
不能合并，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D正确，符合题意；
故选：．
7.【答案】
【解析】解：根据图中的规律得到第个图形时“”与“”的个数分别为与，
然后建立一元二次方程，
即：，
解得：或不合题意舍去．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：由图知蓄水池上宽下窄，深度和放水时间的比不一样，前者慢后者快，即前者随时间的增加减少较慢，后者随时间的增加减少较快，分析各选项，只有符合题意．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：由条件可知，
点是的中点，
，
，，
四边形是平行四边形，
．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：已知，，，，，，，按照此规律，
可得每两个坐标一个周期，每个周期横坐标，纵坐标，
即，，
，
即，
故选：．
11.【答案】答案不唯一
【解析】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为，
大正方形的边长为，小正方形的边长为，
由图可知：，
即，
正方形的边长可能是答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
12.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：过点作轴，垂足为，设点的坐标为，
由条件可知，
又是等边三角形，
，
，
在中，，
，
，
点是的中点，
点的坐标是，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：由条件可知，
以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，如图所示，两弧交于点，连接，，过点作于点，
，
是等边三角形，
，
，
由条件可知，
，则，
阴影部分的面积，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：正方形边长为，即，
，
，
，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：原式
．
17.【解析】由题意得，，即，
把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是，，
故中位数，
在款的评分数据中，出现的次数最多，故众数；
故答案为：，，；
款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
因为两款的评分数据的平均数相同，但款评分数据的中位数比款高，所以款聊天机器人更受用户喜爱答案不唯一．
由抽取的样本中“不满意”所占的百分比来估计不满意的人数可得：
名，
答：估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有人．
18.【答案】解：在中，令，得，
，
当时，设，图象过和
，
解得：
；
根据题意，当时，
，
当时，，
综上所述：；
当时，，
当时，取最大值为万元，
当时，，
，随的增大而增大，
当时，取最大值为万元，
综上所述，当或时，获得的利润最大，最大利润是万元，
答：当销售价格定为元件或元件，获得利润最大，最大利润是万元．
19.【解析】过点作，交的延长线于点，
，，
，，
，
，
，
的距离为；
延长交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
由题意可得：，，
，
，
在中，，
，
米，
到水平线的距离约为．
20.【解析】证明：连接，设，
由条件可知，
，
，
，
，
，
．
证明：同设，
同理可得，，
，
，
由条件可知，
，
，
，
，
，
．
，
，
．
解：过作于点，延长交于，连接，交于点．
，则，
，
，
，，
≌，
，，，
点在上，
为直径，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
∽，
，，
；
由条件可知，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
在上取点，使，连接，
≌，
，；
．
；
设，
，
，，
，
，
，
；
在中，．
为直径，
．
，
，
，
，
；
在中，，
，
，
；
由条件可知，
，
，
，
由条件可知：
，
．
21.【解析】四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
将沿翻折，使点恰好落在对角线上点处，
，
是等边三角形，
，
；
将沿翻折，使点恰好落在对角线上点处，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
∽，
，即，
负值已舍去，
即的长为；
设，，
分两种情况：当点在、之间时，
由折叠的性质得：，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，，
；
当与重合时，，
；
综上所述，的正切值为或．
22.【答案】解：探究一：问题如图中，结论：．
理由：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
问题如图中，如图，过点作于．
，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，，
∽，
，
，
，
∽，
，，
，
，
，
．
探究二：如图中，当与重合时，过点作于．
在中，，，，
，
，，
，
设，则，，
，
，
，
，
．
如图中，当时，的值最大，过点作于．
，，
，，
，
，
，
，
，
如图中，当点落在上时，的值最小，此时，．
观察图像可知，的长开始是增大，最大值为，如何减小，最小值为，
点的运动路径的长．
23.【解析】抛物线与轴交于，两点在的左侧，将点，点的坐标分别代入得：
，
解得：，
抛物线的表达式为；
抛物线与轴交于点，
当时，得：，
点，
设直线的解析式为，将点，点的坐标分别代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
当时，取得最大值，
此时点的坐标为，
如图，过点作，过点作于点，则，
，
，
，
，
根据题意得：，，
，
，
，
，
，
当点，，三点依次共线，且时，取得最小值，最小值为的长，
设直线的解析式为，把点，点的坐标分别代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
可设直线的解析式为，把点的坐标代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，得：，
解得：，
点的坐标为，
，，
，
；
符合条件的点的坐标为或理由如下：
，，，
抛物线沿射线方向平移个单位长度，即水平向右平移个单位长度，竖直向上平移个单位长度，
抛物线的对称轴为直线，
新抛物线的对称轴为直线，
在轴负半轴上取点，使得，
，
，
，
，
过点作于点，
，，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
设，
当点在轴上方时，如图，过点作，交于点，过点作轴的垂线，过点作于点，过点作于点，
，，
，，，
，
≌，
，，
，
设直线的解析式为，
将，代入，
得：，
解得：，
直线的解析式为，
将代入，
得，
解得：负值舍，
；
当点在轴下方时，如图，过点作，交直线于点，过点作轴的垂线，过点作于点，过点作于点，
同理可得≌，
，，
，
同理可得直线的解析式为，
将代入，
得，
解得：或舍，
；
综上所述，符合条件的点的坐标为或．
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