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4.1 空间的几何体 同步课时作业
一、选择题
1．用一个平面去截一个圆锥，得到的图形可能是( )
A.矩形 B.圆形 C.梯形 D.正方形
2．下列几何体为旋转体的是( )
A.三棱锥 B.四棱台 C.五棱柱 D.圆柱
3．如图，边长为2的正方形是用斜二测画法得到的四边形ABCD的直观图，则四边形ABCD的面积为( )
A. B. C. D.
4．用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图如图所示，边平行于y轴，，平行于x轴，若四边形为等腰梯形，且，则原四边形的周长为( )．
A. B. C. D.
5．用斜二测画法画水平放置的的直观图,得到如图所示的等腰直角.已知是斜边的中点,且,则的边上的高为( )
A.1 B.2 C. D.
6．如图所示,矩形是水平放置的一个平面图形的直观图,其中,,则原图形的面积是________( )
A.12 B. C.6 D.
7．如图,一个三棱柱形容器中盛有水,则盛水部分的几何体是( )
A.四棱台 B.四棱锥 C.四棱柱 D.三棱柱
8．如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的面积为( )
A.2 B. C.4 D.
二、多项选择题
9．如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，以下说法正确的是( )
A.是钝角三角形
B.的面积是的面积的2倍
C.是等腰直角三角形
D.的周长是
10．下列说法中不正确的是( )
A.棱柱的侧面可以是三角形 B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱
C.所有几何体的表面都能展开成平面图形 D.棱柱的各条棱都相等
11．在正方体的8个顶点中任意取4个不同的顶点，则这4个顶点可能构成( )
A.矩形
B.每个面都是等边三角形的四面体
C.每个面都是直角三角形的四面体
D.有三个面是直角三角形、一个面是等边三角形的四面体
三、填空题
12．在正方体上任意选择4个顶点，然后将它们两两相连，则可能组成的几何图形为___________（写出所有正确结论的编号）.
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.
13．如图,一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图是直角梯形,又知,,则平面图形的面积为________________.
14．有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图),,,,,则这块菜地的面积为________.
15．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容,在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制）,多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体（四个面都是等边三角形围成的几何体）在每个顶点有3个面角,每个面角是,所以正四面体在每个顶点的曲率为,故其总曲率为.我们把平面四边形外的点P连接顶点A、B、C、D构成的几何体称为四棱锥,根据曲率的定义,四棱锥的总曲率为_________.
四、解答题
16．如图所示，直角梯形ABCD分别以AB，BC，CD，DA所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状.
17．写出圆锥中任意两条母线的位置关系，以及任意一条母线与底面的位置关系.
18．写出圆柱中任意两条母线的位置关系，任意一条母线与底面的位置关系，以及两个底面的位置关系.
19．（例题）写出圆台中任意两条母线的位置关系，任意一条母线与底面的位置关系，以及两个底面的位置关系.
20．一个圆台的母线长为5，两底面直径分别为2和8，求圆台的高.
参考答案
1．答案：B
解析：因为圆锥的侧面是曲面，底面是圆，
所以用一个平面去截一个圆锥，得到的图形可能是圆形，不可能是矩形，梯形，正方形，
故选：B.
2．答案：D
解析：根据旋转体的定义知,圆柱为旋转体.
故选：D.
3．答案：D
解析：由直观图知: 四边形ABCD中，且其对应高，
所以四边形ABCD的面积为.故选:D.
4．答案：D
解析：记四边形所对应的原四边形为四边形，
由题意可得，原四边形中，、都与轴平行，即四边形是直角梯形，
因为，四边形为等腰梯形，
所以，
所以，，，
因此，
所以原四边形的周长为.
故选：D
5．答案：D
解析：因为直观图是等腰直角,,,所以,根据直观图中平行于y轴的长度变为原来的一半,所以的边上的高.
故选：D.
6．答案：D
解析：因为,由斜二测画法可知,
则,故为等腰直角三角形,故,
故矩形的面积为,
所以原图形的面积是,
故选：D.
7．答案：C
解析：记水面与三棱柱四条棱的交点分别为D,E,,,如图所示,
由三棱锥性质可知,和是全等的梯形,
又平面平面,
平面分别与平面和相交于,,
所以,同理,
又,所以,,,互相平行,
所以盛水部分的几何体是四棱柱.
故选:C
8．答案：B
解析：的面积为.
9．答案：CD
解析：根据斜二测画法可知，在原图形中，O为CA的中点，，因为，所以，，，则是斜边为4的等腰直角三角形，所以的周长是，面积是4，故A错误，C，D正确.由斜二测画法可知，的面积是的面积的倍，故B错误.故选CD.
10．答案：ACD
解析：棱柱的侧面都是四边形，A不正确；正方体和长方体都是特殊的四棱柱，B正确；不是所有几何体的表面都能展开成平面图形，球不能展开成平面图形，C不正确；棱柱的各条棱并不是都相等，应该为棱柱的侧棱都相等，D不正确.故选ACD.
11．答案：ABCD
解析：对于A，如图四边形为矩形，所以A正确，
对于B，四面体的每个面都是等边三角形，所以B正确，
对于C，如图四面体的每个面都是直角三角形，所以C正确，
对于D，如图四面体的三个面是直角三角形、一个面是等边三角形，所以D正确，
故选：ABCD.
12．答案：①③④⑤
解析：①正确，如四边形为矩形；②错误，任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形，如四边形ABCD为正方形，四边形为矩形；③正确，如四面体；④正确，如四面体；⑤正确，如四面体.故填①③④⑤.
13．答案：
解析：过作垂直于点,如图所示,
因为是直角梯形,
所以四边形是矩形,
所以,,
又因为,
所以,
所以,
所以,
又因为,
所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：由几何关系可得,斜二测图形中:,
由斜二测图形还原平面图形,则原图是一个直角梯形,其中上下底的长度分别为1,2,高为,其面积.
15．答案：
解析：由定义可得多面体的总曲率顶点数各面内角和,
因为四棱锥有5个顶点,5个面,分别为4个三角形和1个四边形,
所以任意四棱锥的总曲率为.
故答案为：.
16．答案：见解析
解析：以边AD所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体是一个圆台，如图（1）所示.
以边AB所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体可以看作是由一个圆锥和一个圆柱拼接而成的组合体，如图（2）所示.
以边CD所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体可以看作是由一个圆柱挖去一个同底圆锥而成的组合体，如图（3）所示.
以边BC所在直线为旋转轴旋转，形成的几何体可以看作是由一个圆台挖去一个同底（上底面）圆锥后和一个同底（下底面）圆锥拼接而成的组合体，如图（4）所示.
17．答案：相交；相交
解析：
18．答案：平行；垂直；平行
解析：
19．答案：见解析
解析：圆台中任意两条母线都相交，任意一条母线与底面都相交，两个底面相互平行.
20．答案：4
解析：圆台的轴截面如图所示，
其中，，，为高，
过作于H，则.
在中，，，
.
故圆台的高为4.

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