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4.3 直线与直线、直线与平面的位置关系 同步课时作业
一、选择题
1．如图,在正方体中,P,M,N分别为,,的中点,则与平面垂直的直线可以是( )
A. B. C. D.
2．设，是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是( )
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，则
D.若，，则
3．若m，n为两条直线，为一个平面，则下列结论中正确的是( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则m与n相交
4．已知，为两个不重合平面，l，m为两条不同直线，则的充分条件是( )
A.， B.，
C.， D.，，
5．已知m是直线,,是两个不同的平面,下列正确的命题是( )
A.若,,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,则
6．如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是( ).
A.AB和 B.和 C.和 D.和AB
7．下列说法正确的是( )
A.若，，则直线
B.若，，则a与b必异面
C.若，，则直线AB与相交
D.若，，则
8．已知m,n表示两条不同直线,表示平面,下列说法正确的是( )
A.若,,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,则
二、多项选择题
9．如图，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则直线与平面平行的是( )
A.
B.
C.
D.
10．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题正确的是( )
A.若，，则
B.若，，则.
C.若，，则
D.若，，则.
11．若、是两个不同的平面,m、n是两条不同的直线,则下列命题中正确的是( )
A.若,,则 B.若,,,则
C.若,,则 D.若,,,则
三、填空题
12．如图，在长方体中，
（1）与AB平行的平面是___________；
（2）与平行的平面是___________；
（3）与AD平行的平面是___________.
13．在棱长为1的正方体中,M,N分别为线段和上的动点,且,则MN的最小值为__________.
14．某地区牛患某种病的概率为0.25，且每头牛患病与否是互不影响的，今研制一种新的预防药，任选12头牛做试验，结果这12头牛服用这种药后均未患病，则此药__________（填“有效”或“无效”）.
15．刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容,用“曲率”刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制）.例如,正四面体的每个顶点有3个面角,每个面角为,所以正四面体在各顶点的曲率为.在底面为矩形的四棱锥中,底面ABCD,,PC与底面ABCD所成的角为,在四棱锥中,顶点B的曲率为______.
四、解答题
16．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，M为OA的中点，N为BC的中点.求证：直线平面OCD.
17．如图所示的一块木料中，平面，P为平面内一点，现要用经过P和棱BC的一个平面将木料锯开，该如何画线？
18．如图所示四面体中，E，F分别是AD，BC的中点，若，，，求证：平面ACD.
19．判断下列命题的真假.
（1），；
（2），；
（3），，；
（4），，.
20．在长方体的各面中，分别写出与下列直线垂直的平面.
（1）；
（2）AB；
（3）.
参考答案
1．答案：D
解析：连接,,,,如下图所示：
因为P,M,N分别为,,的中点,故,,
又面,面,故面;
又面,面,故面;
又,,面,故面面;
则垂直于平面的直线一定垂直于面;
显然面,面,故,
又,,,面,
故面,又面,故;
同理可得,又,,面,
故面,也即面;
若其它选项的直线垂直于平面,则要与平行,显然都不平行.
故选：D.
2．答案：D
解析：对于A，如图，，，但直线m，l平行，A错误；
对于B，如图，，，但是平面，不平行，B错误；
对于C：如图，，，但是，C错误；
对于D，如图，，，
过直线l作平面，满足条件，
因为，，，所以，
过直线l作平面，满足条件，
因为，，，所以，
所以，又，，
所以，又，
所以，又，
所以，D正确；
故选：D.
3．答案：C
解析：对于A，B，若，，则m与n可能平行、相交或异面，故A，B错误；对于C，D，若，，则，且m与n可能相交，也可能异面，故C正确，D错误.故选C.
4．答案：B
解析：对于A，若，，
则或，故A中条件不是充分条件，故A错误；
对于B，若，，由面面平行的定义可得，
故B中条件是的充分条件，故B正确；
对于C，若，，则或，C中条件不是充分条件，故C错误；
对于D，，，，则或，D中条件不是充分条件，
故D错误；
故选：B.
5．答案：D
解析：选项A：根据给定条件有 或;
选项B：根据给定条件有 或;
选项C：根据给定条件有m与的位置可能平行、相交或m在内;
选项D：因为,所以存在直线使得,
又因为,所以,因为,所以.
故选：D.
6．答案：D
解析：因为是正四棱台，所以，故A错误；
侧棱延长交于一点，所以与相交，故B错误；
同理与也相交，所以B，，，D四点共面，所以与相交，故C错误；
与是异面直线，故D正确.
故选：D
7．答案：C
解析：
8．答案：B
解析：线面垂直,则有该直线和平面内所有的直线都垂直,故B正确.
9．答案：BCD
解析：对A：如图：
连接，交于点E，连接，则，平面，
且直线与直线不平行，所以直线与平面相交，故A错误；
对B：如图：
因为，平面，
平面，所以平面，故B正确；
对C：如图：
取中点F，易证M，N，Q，F四点共面，
且，平面，
平面，所以平面，故C正确；
对D：如图：
连接，则，
平面，平面，
所以平面，故D正确.
故选：BCD
10．答案：AC
解析：对于A：因为，
可知在平面内存在直线l，使得，如图所示，
又因为，且，则，所以，因此A正确；
对于B：如图所示：，，但，故B错误；
对于C：若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确
对于D：，，如图所示，，故D错误
故选：AC.
11．答案：ABC
解析：对于A选项,如下图所示：
过直线n作平面,使得,
因为,,,则,
因为,,则,因为,故,A对;
对于B选项,因为,,则,
又因为,所以,B对;
对于C选项,因为,,由面面平行的性质可得,C对;
对于D选项,如下图所示：
以直线为直线m,平面为平面,取直线为直线n,
(1)因为平面,若平面为平面,此时,;
(2)因为平面,若平面为平面,此时,;
(3)因为平面,若平面为平面,此时,、斜交.
综上所述,、平行或相交（不一定垂直）,D错.
故选：ABC.
12．答案：（1）平面，平面
（2）平面，平面
（3）平面，平面
解析：（1）由于，平面，平面，
所以平面.同理证得平面.
（2）由于，平面，平面，
所以平面.同理证得平面.
（3）由于，平面，平面，
所以平面.同理证得平面.
故答案为：（1）平面，平面；（2）平面，平面；（3）平面，平面.
13．答案：
解析：设,则,其中,
作,,连接MF,NE,如图所示,
易得,,,
由得,由得,
,,,
又,,
当时,MN取最小值
14．答案：有效
解析：若此药无效，则12头牛都不患病的概率为，这个概率很小，
故该事件基本上不会发生，所以此药有效.
故答案为：有效.
15．答案：
解析：如图,连接AC,因为底面ABCD,
所以为PC与底面ABCD所成的角,则,所以.又,在矩形ABCD中,,则,所以.因为底面ABCD,所以,又,,所以平面PAB,所以,所以顶点B的曲率为.
16．答案：证明见解析
解析：证明：如图，取OD的中点E，连接CE，ME.
易知，，
所以四边形MECN为平行四边形，
所以，
又平面，平面OCD，
所以直线平面OCD.
17．答案：见解析
解析：平面，平面，平面平面，.
如图，过平面上一点P作，
，，，
因为EF、BC在平面BCFE内，所以连接BE和CF，则BE、CF、EF就是所要画的线.
18．答案：证明见解析
解析：证明：如图，取DC的中点G，连接EG，FG，
则，，
，.
，，
.
又，平面，平面，，
平面.
19．答案：（1）真命题
（2）真命题
（3）真命题
（4）真命题
解析：（1），，
根据两条平行线中的一条直线垂直一个平面，另一条直线也垂直这个平面，
，
故，是真命题.
（2），，
根据垂直同一个平面两条直线平行，
，
故，是真命题.
（3），，，
根据如果两个平面平行，一条直线垂直其中的一个平面，也垂直另一个平面，
即，又，
.
（4），，
根据两条平行线中的一条直线垂直一个平面，另一条直线也垂直这个平面，
，
，故，
故，，是真命题.
20．答案：（1）平面，平面ABCD
（2）平面，平面
（3）平面，平面
解析：

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