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4.5 几种简单几何体的表面积和体积 同步课时作业
一、选择题
1．底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
2．“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为( )
A. B. C. D.
3．已知圆锥的底面圆周在球O的球面上,顶点为球心O,圆锥的高为3,且圆锥的侧面展开图是一个半圆,则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
4．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，则该四棱锥的体积为( )
A.1 B.2 C. D.
5．已知圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
6．已知圆锥的母线长为2，轴截面面积为，则圆锥的侧面积为( )
A. B.或 C. D.或
7．如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，，则( )
A. B. C. D.
8．已知棱长为2的正方体的顶点都在球面上,则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知正方体的棱长为1,P,Q分别为棱,上的动点,则( )
A.四面体的体积为定值 B.四面体的体积为定值
C.四面体的体积最大值为 D.四面体的体积最大值为
10．以长为4cm,宽为3cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积可以为( )
A. B. C. D.
11．如图，四边形为正方形，平面，，，记三棱锥，，的体积分别为，，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．底面半径为2的圆柱的侧面积是圆柱表面积的,则该圆柱的高为________
13．在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为________.
14．某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形,高为6.一个半径为1的小球在该容器内自由运动,则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为________.
15．在正四棱台中,,,,则该棱台的体积为____________.
四、解答题
16．一个正方体，如果它的每条棱都增加，则它的体积扩大为原来的8倍，求这个正方体的棱长.
17．正方体的棱长扩大到原来的2倍，其表面积扩大到原来的几倍？
18．已知正四棱台上底面边长为，侧棱和下底面边长都是，求它的全面积.
19．（例题）已知四棱台上、下底面面积分别为，，而且高为h，求这个棱台的体积.
20．如图，将正四棱柱底面的边3等分，过3等分点用平行于侧棱的平面截去4个三棱柱，得到一个八棱柱.求这个八棱柱与原四棱柱体积之比.
参考答案
1．答案：A
解析：由题可知圆锥的底面半径，母线长，
高，
圆锥的体积为.
故选：A.
2．答案：D
解析：设线段、、、的中点分别为、、、，如下图所示：
易知四边形为等腰梯形，因为线段、的中点分别为、，
则，
设棱台的高为h，体积为，
则棱台的高为，设其体积为V，
则，则，
所以，，所以，该“方斗”可盛米的总质量为.
故选：D.
3．答案：C
解析：依题意圆锥高,设圆锥的底面半径,母线为,圆锥的外接球的半径为,
因为圆锥的侧面展开图是一个半圆,则,解得,
可知,
所以圆锥的外接球球的表面积.
故选:C.
4．答案：B
解析：如图：取，的中点E，F，连接，，
则，且，
平面，
故平面，
平面，故平面平面，
平面平面，
过P作的垂线，垂足为O，
即,平面，
故平面，
由题意可知，
，
由余弦定理可得，
,
故，
所以四棱锥的高为1，则四棱锥的体积为
故选：B
5．答案：C
解析：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，母线长为l，
则，，所以，所以，
所以该圆锥的体积为.
故选：C
6．答案：B
解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，
则，且，
解得或，
所以圆锥的侧面积为或，
故选B.
7．答案：D
解析：设四棱台的高度为h，在图1中，中间液面四边形的边长为5，
在图2中，中间液面四边形的边长为6，
则，
，
所以.
故选：D.
8．答案：D
解析：设该球的半径为R,由题意可知,该球的直径为棱长为2的正方体的体对角线,
则,所以,
则该球的表面积,
故选：D.
9．答案：BCD
解析：A：因为的面积为,Q到平面的距离不是定值,
所以四面体的体积不是定值,故A错误;
B：因为的面积为,P到矩形的距离为定值,
所以P到平面的距离为,则四面体的体积为,故B正确;
C：当Q与重合时,取得最大值,为,
当P与重合时,P到平面的距离d取得最大值,
在正中,其外接圆的半径为,则,
故四面体的体积最大值为,故C正确;
D：过点Q作,,,
设,,则t,,
,,,,
故四面体的体积为,其最大值为,故D正确.
故选：BCD.
10．答案：CD
解析：当圆柱底面半径为4cm,高为3cm时,表面积;
当圆柱底面半径为3cm,高为4cm时,表面积.
故选:CD
11．答案：CD
解析：
设，因为平面，，
则，
，
连接交于点M，连接，，易得，
又平面，平面，则，又，平面，则平面，
又，过F作于G，易得四边形为矩形，则，，
则，，
，
，则，，，
则，则，，，故A、B错误；C、D正确.
故选：CD.
12．答案：2
解析：设圆柱的母线为l,底面半径为r=2,高为h,
因为底面半径为2的圆柱的侧面积是圆柱表面积的,
所以,解得,即,
故答案为:2
13．答案：/
解析：如图，过作，垂足为M，
易知为四棱台的高，
因为，，，
则，，
故，则，
所以所求体积为.
故答案为：.
14．答案：
解析：
由轴截面为等边三角形的高为6,易得圆锥的母线长与底面圆的直径均为.
小球的半径为1,在圆锥内壁侧面,小球接触到的区域展开后是一个扇环,
可知扇环的半径为,,扇环所在扇形的圆心角为,
所以扇环其面积为;
在圆锥底面,小球接触到的区域是一个圆,其半径为其面积为.
综上,圆锥内壁上小球能接触到的区域面积为.
故答案为:
15．答案：
解析：如图所示,连接,,过点,作,,垂足分别为E,F,
因为,,,可得,,所以,
在,
在直角中,由,,可得,
即正四棱台的高为,
又由正四棱台上、下底面面积分别为,,
所以正四棱台的体积为：.
故答案为：.
16．答案：
解析：设它的棱长为，由题意得，
解得，即它的棱长为.
17．答案：4部
解析：若正方体的棱长为a，其表面积为，将正方体的棱长扩大到原来的2倍，其棱长为2a，表面积为.
因此，正方体的棱长扩大到原来的2倍，其表面积扩大到原来的4倍.
18．答案：
解析：.
19．答案：
解析：如图所示，将四棱台看成从棱锥中截去棱锥所得到的，且设两个棱锥的高分别为PO与.
由已知有，
再由，因此可得，.
从而可知棱台的体积为
.
20．答案：
解析：设正四棱柱的底面边长为3a，高为h，
则，
八棱柱的底面积为，
所以，所以八棱柱与原四棱柱的体积之比为.

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