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5.2 概率及运算 同步课时作业
一、选择题
1．已知A，B，C是三种电子信息传递元件，第一次由A元件将信息传出，每次传递时，传递元件都等可能地将信息传递给另外两个元件中的任何一个，则第三次传递后，信息在A元件中的概率是( )
A. B. C. D.
2．为了推动国家乡村振兴战略，某地积极响应，不断自主创新，培育了某种树苗，其成活率为0.8，现采用随机模拟的方法估计该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率.先由计算机产生1到5之间取整数值的随机数，指定1至4的数字代表成活，5代表不成活，再以每3个随机数为一组代表3次种植的结果.经计算机随机模拟产生如下20组随机数：321，453，142，234，511，454，352，115，243，535，422，134，315，221，451，144，332，254，112，523
.据此估计，该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率为( )
A.0.45 B.0.5 C.0.512 D.0.55
3．将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6）先后抛掷2次,观察向上的点数,则2次抛掷的点数之和为7的概率是( )
A. B. C. D.
4．口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,则摸出黑球的概率是( )
A.0.42 B.0.28 C.0.7 D.0.3
5．掷两枚质地均匀的正方体骰子，设出现的点数之和为S的概率是P，则P最大时S等于( )
A.6 B.7 C.8 D.9
6．小明同学有6把钥匙,其中2把能打开门.如果随机地取一把钥匙试着开门,把不能开门的钥匙扔掉,第二次才能打开门的概率为;如果试过的钥匙又混进去,第二次才能打开门的概率为,则,的值分别为( )
A., B., C., D.,
7．已知随机事件A和B互斥，且，.则( )
A.0.2 B.0.3 C.0.8 D.0.5
8．一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲 乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2024个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙 甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是( )
A.2个球都是红球的概率为
B.2个球不都是红球的概率为
C.至少有1个红球的概率为
D.2个球中恰有1个红球的概率为
10．已知事件A,B,C两两互斥,若,,,则( )
A. B. C. D.
11．某次数学考试的多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分”.已知某选择题的正确答案是CD，且甲 乙 丙 丁四位同学都不会做，则下列表述正确的是( )
A.甲同学仅随机选一个选项，能得2分的概率是
B.乙同学仅随机选两个选项，能得5分概率是
C.丙同学随机选择选项，能得分的概率是
D.丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是
三、填空题
12．某对新婚夫妇响应国家号召,计划生育3个孩子.假设每胎只有一个小孩,且每胎生男生女的概率相等,记事件为“该夫妇儿女双全”,则________.
13．已知数列，等可能取，0或1，数列满足，且，则的概率为________.
14．袋中有红球 黑球 黄球 绿球共12个,它们除颜色外完全相同,从中任取一球,得到红球的概率是,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率也是,则得到黄球的概率是_____________.
15．用1，2，5这三个数字组成无重复数字的三位数，则这个三位数比215大的概率为___________.
四、解答题
16．已知事件A与B互斥，且，，求.
17．（例题）人的眼皮有单眼皮与双眼皮之分，这是由对应的基因决定的.
生物学上已经证明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为B），另一种是隐性基因（记为b）；基因总是成对出现（如BB，，，），而成对的基因中，只要出现了显性基因，那么这个人就一定是双眼皮（也就是说，“单眼皮”的充要条件是“成对的基因是bb”）；如果不发生基因突变的话，成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，但父母亲提供基因时都是随机的.
有一对夫妻，两人成对的基因都是Bb，不考虑基因突变，求他们的孩子是单眼皮的概率.
18．从1，2，3，…，30中任意选一个数，分别求下列事件的概率：
（1）取出的数是偶数；
（2）取出的数能被3整除；
（3）取出的数是偶数且能被3整除；
（4）取出的数是偶数或能被3整除.
19．袋子中放有5个除颜色外完全相同的小球，其中有标记为,的2个红球，标记为,的2个白球和1个标记为B的黑球，从中不放回地依次摸出2个球，观察球的颜色.
(1)写出试验的样本空间并计算；
(2)设事件A为“一黑一白”，求.
20．已知关于x的二次函数.
（1）设集合和,分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b,求函数在区间上是增函数的概率;
（2）设点是区域内的随机点,记事件“函数有两个零点,其中一个大于1,另一个小于1”为事件M,求事件M发生的概率.
参考答案
1．答案：B
解析：依题意三次传递所有的传递方法有：
；；
；；
；；
；；
则共有8种传递方法．
第三次传递后，信息在A元件中的有两种情况，
所以第三次传递后，信息在A元件中的概率
故选：B．
2．答案：B
解析：由题意得共有20组随机数，
分别为321，453，142，234，511，454，352
115，243，535，422，134，315，221，
451，144，332，254，112，523
恰好3棵都成活的随机数有：321，142，234，243，
422，134，221，144，332，112，共10个，
故估计种植3棵恰好3棵都成活的概率为：，故B正确.
故选：B
3．答案：C
解析：基本事件总数,点数之和是7包括,,,,,共6种情况,
则所求概率是.
故选:C.
4．答案：D
解析：从中摸出一个球,摸出红球、摸出白球、摸出黑球是互斥的,所以由互斥事件概率的加法公式知摸出黑球的概率是,故选D.
5．答案：B
解析：
第一枚第二枚 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
根据上图可知：点数之和为7时出现的次数最多即概率最大.
故选：B
6．答案：A
解析：将6把钥匙分别标号为1,2,3,4,5,6,其中标号为5,6的钥匙是能打开门的,标号为1,2,3,4的钥匙是不能打开门的.
如果随机地取一把钥匙试着开门,把不能开门的钥匙扔掉,即为不放回地抽取,则尝试开门两次,尝试开门两次的样本点有个,
其中第二次才能打开门的样本点有,,,,,,,,共有8个,所以;
如果试过的钥匙又混进去,即为有放回地抽取,则尝试开门两次的样本空间为,共有36个样本点,
其中第二次才能打开门的样本点有,,,,,,,共有8个,所以.
故选:A.
7．答案：C
解析：因为A与B互斥，
则，
可得，
所以.
故选：C.
8．答案：B
解析：先根据裁判擦去的是奇数还是偶数分类考虑，解题思路得出若擦去的是奇数，则乙一定获胜；若擦去的是偶数，则甲一定获胜，由此根据古典概型概率公式计算即得.
由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是要看裁判擦去哪个数，
注意2，3，4， ，2024中有1011个奇数，1012个偶数.
（1）若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜.
理由如下：乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数，
从而所剩两数不互质，故乙胜.
（2）若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜.
理由如下：设裁判擦去的是，则将余下的数配成1011对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成：
这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们互质，故甲必获胜.
甲获胜的概率为.
故选:B.
9．答案：ACD
解析：设“从甲袋中摸出一个红球”为事件,从“乙袋中摸出一个红球”为事件,
则,,
对于A选项,2个球都是红球为,其概率为,故A选项正确,
对于B选项,“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件,其概率为,故B选项错误,
对于C选项,2个球至少有一个红球的概率为,故C选项正确,
对于D选项,2个球中恰有1个红球的概率为,故D选项正确.
故选:ACD.
10．答案：BCD
解析：因为事件A,B,C两两互斥,所以,故A错误.
由,得,故B正确.
由,得,故D正确.
因为,所以C正确.
11．答案：ABC
解析：甲同学仅随机选一个选项共有4种可能，能的2分的情况是选C或D，
故能得2分的概率为，故A正确.
乙同学仅随机选两个选项，所有可能的结果为AB，AC，AD，BC，BD，CD，共有6种可能的结果，
设事件M表示“乙同学仅随机选两个选项，能得5分”，
则事件M包含的样本点有CD，故，故B正确.
丙同学随机选择选项（丙至少选择一项），所有可能的结果为选择一项：A，B，C，D；
选择两项：AB，AC，AD，BC，BD，CD；选择三项或全选：ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，共有15种可能的结果.
设事件N表示“丙同学随机选择选项，能得分”，则事件N包含的样本点有C，D，CD，共有3种可能的结果，
故，故C正确.
丁同学随机至少选择两个选项，由上述解题思路可知，共有11种可能的结果，
设事件E表示“丁同学随机至少选择两个选项，能得分”，
则事件E包含的样本点为CD，只有1种可能的结果，故，故D错误.
故选:ABC.
12．答案：或0.75
解析：由题意知,基本事件为:{男男男},{男男女},{男女男},{女男男},{女女男},{女男女},{男女女},{女女女},共8种情况,
其中A的对立事件为“该夫妇的3个孩子全是男孩或者全是女孩”,有{男男男},{女女女},共2种情况,所以概率为.
故答案为:.
13．答案：
解析：由题意可得：，，
，，
若，则，
从，，，各随机从，0，1中选一个，共有种情况；
若，可分为三类：
，，，都取0，一种情况；
，，，中两个取0，一个取1，一个取，共有，
，，，中两个取1，两个取，共有，
共计19种情况，
所以的概率为：.
故答案为：
14．答案：
解析：设事件A,B,C,D分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”,
则事件A,B,C,D两两互斥,
根据题意,得,即,
解得,,,所以得到黄球的概率是.
故答案为：.
15．答案：
解析：构成三位数的试验的样本空间
，有6个样本点，
比215大的事件，共3个样本点，
所以所求的概率.
故答案为：
16．答案：0.3
解析：与B互斥，
.
17．答案：
解析：我们用连着写的两个字母来表示孩子的成对的基因，其中第一个字母表示父亲提供的基因，第二个字母表示母亲提供的基因.
由图所示的树形图可知，样本空间中共含有4个样本点，即.
孩子要是单眼皮，成对的基因只能是bb，因此所求概率为.
18．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）从1，2，3，…，30中任意选一个数，有30种选法，
取出的数是偶数，有15种选法，
所以取出的数是偶数的概率是；
（2）从1，2，3，…，30中任意选一个数，有30种选法，
取出的数能被3整除，有10种选法，
所以取出的数能被3整除的概率是；
（3）从1，2，3，…，30中任意选一个数，有30种选法，
取出的数是偶数且能被3整除，有6，12，18，24，30，共5种选法，
所以取出的数是偶数且能被3整除的概率是；
（4）从1，2，3，…，30中任意选一个数，有30种选法，
取出的数是偶数或能被3整除的数为2，3，4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，26，27，28，30有20种选法，
所以取出的数是偶数或能被3整除的概率是.
19．答案：(1)答案见解析，；
(2)
解析：（1）袋子中放有5个除颜色外完全相同的小球，从中不放回地依次摸出2个球，则该试验的样本空间可表示为
，
.
（2）事件A为“一黑一白”包含的样本点，，，，共4个，
所以.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）记“函数在区间上是增函数”为事件.
若使事件A发生,由于,则只需使得,即.
所以,事件A包含的基本事件分别为、、、、,共5个;
所有基本事件共个.
由古典概型的概率计算公式得,,
综上,函数在区间上是增函数的概率为;
（2）若使事件M发生,由于,所以只需,
所有结果构成平面区域为,事件M包含的结果构成的平面区域为,
如图所示:
由几何概型的概率计算公式得,.

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