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2024-2025学年北师大版数学七年级下册期末复习测试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有 毫米，约是 纸厚度的六分之一 已知 毫米 百万纳米， 毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ）
A． 纳米 B． 纳米 C． 纳米 D． 纳米
3．一个不透明的袋子中装有6个白球和4个黄球，它们除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个小球，摸到白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点E在的延长线上，下列选项中，能判断的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，的顶点A，B分别在直线m，直线n上，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．三边的长，，都是整数，，，则满足条件的三角形共有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
9．小王家、食堂、图书馆在同一条直线上，小王从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，下图反映小王离家的距离与时间之间的对应关系，下列说法正确的是（ ）
A．小王读报用了
B．小王吃早餐用了
C．小王从图书馆回家的平均速度是
D．小王家离食堂
10．如图，在中，与的平分线交于点，且，，则与的数量关系可表示为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11．如图，一个零件ABCD需要AB边与CD边平行，现只有一个量角器，测得拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这个零件合格吗？ (填“合格”或“不合格”)．
12．鲁艺学校对《三国演义》、《红楼梦》、《西游记》、《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动．小云从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《红楼梦》的概率为 ．
13．如图，有类、类正方形卡片和类长方形卡片各若干张．若拼一个长为、宽为的大长方形，则需要类卡片的张数为 ．
14．墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线记的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身．如图1，在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一个点，绷紧并提起墨线中段，此时，如图2，则的度数为 ．
15．如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，交于点E，则 ．
16．已知，，比较，的大小关系是 （用“＜”连接）
17．丽华商店出售货物时，要在进价的基础上增加一定的利润，下表体现了其数量（个）与售价（元）的对应关系，根据表中提供的信息可知与之间的关系式是 .
数量 （个） 1 2 3 4 5
售价 （元）
18．如图，已知AB∥CD，点P，Q分别是直线AB，CD上两点，点G在两平行线之间，连接PG，QG，点E是直线CD下方一点，连接EP，EQ，且GQ的延长线平分∠CQE，PE平分∠APG，若2∠PEQ＋∠PGQ＝90°，则∠CQE的度数是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．[6分]先化简，再求值：，其中，.
20．[6分]如图，现有一个圆形转盘被平均分成6等份，分别标有2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求：
（1）转到数字1是______；（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）
（2）转动转盘一次，转出的数字大于3的概率是多少？
（3）现有两张分别写有2和3的卡片，随机转动转盘一次，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度（长度单位均是厘米）．这三条线段能构成三角形的概率是多少？
21．[8分]如图，中，的角平分线与边的垂直平分线交于点D，于点E，于点F．
求证：
(1)
(2).
22．[8分]小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆上的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图（1），表示小球静止时的位置.当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（如图（2），，，，在同一平面内），过点作于点，测得，.
图（1） 图（2）
（1） 试说明：.
（2） 求的长.
23．[8分]甲货车从A地前往B地，到达B地后停止，在甲货车出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止（甲货车的速度小于乙货车的速度），两车之间的路程与甲货车出发时间之间的函数关系如图中的折线所示．
（1）A，B两地相距多少千米？
（2）乙货车到达A地时，甲车离B地还有多少千米？
（3）经过多久两车相距？
24．[8分]图1，线段相交于点O，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与分别相交于．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出与之间的数量关系为 ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；
（3）图2中，和为任意角时，其他条件不变，试问与之间存在着怎样的数量关系？说明理由
（4）应用：如图2，当时，直接说出的度数．
25．[10分]已知直线，点A、C在直线上，点B、D在直线上．
（1）如图1，若，，且，求的度数；
（2）如图2，若，平分，，过D点作交于F，求证：；
（3）如图3，若，直线和直线相交于K，点H在直线上，探究、和之间的数量关系，请直接写出结论．
26．[12分]阅读材料并回答下列问题：
材料一：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．如图1可以得到，，之间的等量关系是______
材料二：换元法：是指引入一个或者几个新的变量代替原来的某些变量，通过引入新的变量将分散的条件联系起来，变为熟悉的问题，其理论依据是等量代换．对于结构比较复杂的式子，可以把其 中某些部分看作整体，用新的字母代替(即整体换元)，可以化繁为简从而找到解题的捷径，请看以下例子：
若x满足，求的值．
解：设，，则，
______
所以______
问题：
（1）补全材料一、材料二中横线处；
（2）若x满足， 求的值；
（3）如图2，在长方形中 ，，， 点 E，F 分别是边，上的点，且， 分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为60，求图中两个正方形的面积之和．
参考答案
1．【答案】A
【分析】根据轴对称图形的定义即可解答．
【详解】解：B，C，D选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
A选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形.
故选A．
【关键点拨】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．【答案】B
【分析】将一个数表示成 的形式，其中 ， 为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解：由题意可得 毫米 百万纳米 纳米，
则 毫米 纳米 纳米，
故选：B．
3．【答案】A
【分析】根据概率计算公式进行求解即可．
【详解】解：∵不透明的袋子里装有6个白球和4个黄球，
∴从袋子中随机摸出一个，摸到白球的概率为．
故选A．
4．【答案】D
【分析】结合图形根据平行线的判定定理对选项逐一判断即可求解．
【详解】A、，不能得到，故A选项不合题意．
B、，不能判断，故B选项不符合题意．
C、，则可判断，故C选项不符合题意．
D、，则，故D选项符合题意．
故选D．
5．【答案】D
【分析】合并同类项、积的乘方运算、单项式乘多项式及运用完全平方公式进行运算．
【详解】根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方、单项式乘多项式法则进行计算即可．
解：A、与不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故不符合题意；
D、，故符合题意；
故选D．
【方法技巧】幂的运算法则：(1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(2)幂的乘方，底数不变，指数相乘；(3)积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
6．【答案】B
【分析】由三角形内角和定理可得，再由全等三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选B．
7．【答案】C
【分析】过点作直线m的平行线，则，利用平行线的性质求得，，再利用平角的性质即可求解．
【详解】解：过点作直线m的平行线，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
8．【答案】C
【分析】根据题意，分三种情况：当，时；当，时；当，时；分别求解即可．
【详解】解：∵三边的长，，都是整数，，，
∴当，时，，即，
∴，
∴或或或或，共种情况：
当，时，，即，
∴，
∴或或，共种情况；
当，时，，即，
∴，
∴，共种情况；
综上所述，满足条件的三角形共有（个），
故选C．
9．【答案】C
【分析】根据横轴表示时间，纵轴表示路程即可得到答案．
【详解】解：小王读报用了，故选项A错误；
小王吃早餐用了，故选项B错误；
小王从图书馆回家的平均速度是，故选项C正确；
小王家离食堂，故选项D错误；
故选C．
10．【答案】A
【分析】根据角平分线的性质可得，，，由，，可得，，由三角形内角和定理可得，由三角形外角的性质可得，从而可求得与的数量关系
【详解】解：与的平分线交于点，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
整理得，
故选A．
11．【答案】合格　
【解析】∵∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＋∠BCD＝120°＋60°＝180°，∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)，∴这个零件合格．
12．【答案】/
【分析】直接利用概率公式可得答案
【详解】解：∵共有《三国演义》、《红楼梦》、《西游记》、《水浒传》4部名著，随机选择1部阅读，共有4种不同的选法，
∴随机选择1部为《红楼梦》的概率为．
13．【答案】7
【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案．
【详解】解：
，
∴需要类卡片的张数为7张.
14．【答案】/120度
【分析】先求解，再利用三角形的外角的性质可得答案.
【详解】解：如图，
由邻补角的性质可得：；
∴.
15．【答案】
【分析】先求解，结合，再进一步的解答即可.
【详解】解：，，
, ∴
垂直平分
∴
∴．
16．【答案】
【分析】根据幂的乘方的逆用进行变形，进而比较大小即可．
【详解】解：，，
，
.
17．【答案】
【解析】由表格数据可以看出售价（元）与数量（个）之间满足关系式.
18．【答案】60°　
【详解】如图，过点G作GM∥AB，过点E作EN∥AB．∵AB∥CD，∴AB∥GM∥CD∥EN.设∠CQF＝x，∠APE＝y.∵QF平分∠CQE，PE平分∠APG，∴∠EQF＝∠CQF＝x，∠GPE＝∠APE＝y.∵AB∥GM∥CD，∴∠PGM＝180°－∠APG＝180°－2y，∠MGQ＝∠CQF＝x，∴∠PGQ＝∠PGM＋∠MGQ＝180°－2y＋x.∵AB∥CD∥EN，∴∠APE＝∠PEN＝y，∠CQE＝∠QEN＝2x，∴∠PEQ＝∠PEN－∠QEN＝y－2x.∵2∠PEQ＋∠PGQ＝90°，∴2(y－2x)＋180°－2y＋x＝90°，解得x＝30°，∴∠CQE＝2×30°＝60°.故答案为60°.
【思路分析】设∠CQF＝x，∠APE＝y，根据平行线和角平分线的定义，用含x和y的代数式分别表示出∠PEQ和∠PGQ，再根据2∠PEQ＋∠PGQ＝90°求出x的值，进而求出∠CQE的度数．
19．【答案】【解】原式.当，时，原式.
20．【答案】（1）不可能事件；（2）；（3）
【分析】（1）根据题意和转盘中的数字，可知转到数字1是不可能事件，从而可以解答本题；
（2）根据题意，可以得到转动转盘，转出的数字大于3的概率；
（3）根据题意，可以计算出这三条线段能构成三角形的概率．
【详解】解：（1）转到数字1是不可能事件．
故答案为不可能事件；
（2）转动转盘一次，共有6种等可能的结果，分别为2，3，4，5，6，7，
而转出的数字大于3的有4，5，6，7，共有4种等可能的结果，
所以（转出的数字大于3）．
（3）由题意可得，转动转盘一次，共有6种等可能的结果，分别为2，3，4，5，6，7，
而可以与卡片上数字构成三角形的有2、3、4，共有3种等可能的结果．
所以（这三条线段能构成三角形）．
21．【答案】见详解
【分析】（1）连接，根据角平分线的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，证明，由全等三角形的性质即可得到结论；
（2）证明，根据全等三角形的性质得到等量代换即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
平分，
，，
垂直平分，
，
在和中，
，
；
（2）证明：在和中，
，
，
，，
，
，
．
22．【答案】（1） 【解】，，， ， ，.又，，.
（2） ，，.
23．【答案】（1）A、B两地的距离为千米；
（2）80
（3）0.4或5
【分析】（1）当时，，即可求得A、B两地的距离为千米；
（2）先求得甲货车的速度，根据，即可求得答案；
（3）分相遇前和相遇后两种情况，根据“速度和时间路程”，列一元一次方程，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴A、B两地的距离为千米；
（2）解：甲货车的速度为，
答：乙货车到达地时，甲货车距离地；
（3）解：乙货车速度为，
当二者相遇前，相距时，
由题意得，
解得，
当时，，，符合题意；
当二者相遇后，相距时，
由题意得，
解得，
答：经过或时，两车相距．
24．【答案】（1）
（2）6
（3），理由见详解；
（4）
【分析】（1）由三角形内角和定理可得，进而可求解；
（2）根据“8字形”的定义即可求解；
（3）由，，和平分和，可得，即可求解；
（4）由（3）中关系式即可求解；
【详解】（1）解：由三角形内角和定理可知，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）与与与与与与，共六个；
故答案为：6；
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∵和平分和，
∴、，
∴，
∴．
（4）∵，
由（3）知，
∴．
25．【答案】（1）
（2）见详解
（3）当点H在点K上方时，；当点H在之间时，；当点H在点D下方时，
【分析】（1）由垂直的定义先求出，再根据平行线的性质即可得到；
（2）设，则，由角平分线的定义得到，则，同理可得，再由垂直的定义得到，则；
（3）分当点H在点K上方时，当点H在之间时，当点H在点D下方时， 三种情况画出图形，根据角之间的关系求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：设，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，当点H在点K上方时，过点H作，则，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点H在之间时，过点H作，则，
∴，，
∴，
∴，
∴，即；
如图所示，当点H在之间时，过点H作，则，
∴，，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点H在点D下方时，过点H作，则，
∴，，
∴，
∴；
综上所述，当点H在点K上方时，；当点H在之间时，；当点H在点D下方时，．
26．【答案】（1）材料一：；材料二：；
（2）
（3）
【分析】（1）根据题干信息提示完善材料一，材料二即可；
（2）设，，可得，，再结合完全平方公式的变形可得答案；
（3）由，，，可得，，，结合，利用，从而可得答案．
【详解】（1）解：材料一：；
材料二：设，，则，
；
∴；
（2）解：设，，
∴，，
∴
；
（3）解：由题意可得：，，，
∴，，
∴，
∵长方形的面积为60，
∴，
∴
；
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