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2024-2025学年广东省东莞中学松山湖学校高二下学期第二次段考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.定义二阶行列式，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.为弘扬中华优秀传统文化，济南市公开招募“泉润非遗”志愿者．现从所有报名的志愿者中，随机选取人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的比例饼状图如图所示，各年龄段志愿者的性别百分比等高堆积条形图如图所示，则下列关于样本数据的分析正确的是( )
A. 老年男性志愿者人数为
B. 老年女性志愿者人数大于中年女性志愿者人数
C. 青年女性志愿者人数为
D. 中年男性志愿者人数大于青年男性志愿者人数
4.已知，，，则关于，，的方程共有 组不同的解．
A. B. C. D.
5.已知函数，则在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
6.已知甲箱中有个红球和个黑球，乙箱中有个红球和个黑球所有球除颜色外完全相同，某学生先从甲箱中随机取出个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则( )
A. B. C. D.
7.已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程的根个数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若存在两条不同的直线与函数和图像均相切，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数的求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.给出下列说法，其中正确的有( )
A. 随机变量，若，则
B. 随机变量，若，则
C. 一组数据的经验回归方程为，若，则
D. 对于独立性检验，随机变量的观测值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
11.曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线在点处的曲率，其中是的导函数．下面说法正确的是( )
A. 若函数，则曲线在点与点处的弯曲程度相同
B. 若是二次函数，则曲线的曲率在顶点处取得最小值
C. 若函数，则函数的值域为
D. 若函数，则曲线上任意一点的曲率的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的
线性相关系数分别为，，，，则这四人中， 研究的两个随机变量的线性相关程度最高．
13.设被除所得的余数为，则的展开式中的常数项为 ．
14.在数学中，我们把仅有变量不同，而结构形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于的方程可化为同构方程，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升某校数学兴趣小组对某品牌新能源汽车近年的广告费投入单位：亿元进行了统计，具体数据见下表：
年份代号
广告费投入
并随机调查了名市民对该品牌新能源汽车的认可情况，得到的部分数据见下表：
认可 不认可
岁以下
岁及以上
求广告费投入与年份代号之间的线性经验回归方程；
依据小概率值的独立性检验，能否认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关联
附：经验回归方程中，；
，其中．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，平面，分别为线段的中点，．
求证：平面；
求二面角的余弦值．
17.本小题分
树人中学篮球训练营有一项三人间的传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，
写出，，的值；
求与的关系式，并求；
第次仍由甲将球传出，若首次出现连续两次球没在甲手中，则传球结束，记此时的传球次数为，求的期望．
18.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
若有两个零点，求实数的取值范围；
若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
在数字通信中，信号是由和组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号或有可能被错误地接收为或已知发送信号时，接收为和的概率分别为和；发送信号时，接收为和的概率分别为和假设发送信号和是等可能的．
若，现发送信号次，记其中接收为正确信号的次数为，求的数学期望和方差；
随机变量的分布列为，记事件发生后给我们的信息量为，则称为的信息熵．设发送信号次，接收为正确信号的次数为，求的信息熵的最大值；
发送信号次，设为出现的总次数，为第次出现的次数或次，记表示发送信号次，恰好出现次且第次出现的次数为的概率，如时，对于随机变量，记其合并熵为，且证明：当时，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.乙
13.
14.
15.解：由题意，得，
则，所以
则，
故广告费投入与年份代号之间的线性经验回归方程为．
零假设为：市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度无关联．
由题中表格数据，
计算得．
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关联，此推断犯错误的概率不大于．

16.解：在菱形中，，知为正三角形，又为线段的中点，则，即，
平面平面，
又平面平面，
又平面，
为线段的中点，，
又平面平面．
如图，以分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设为平面的法向量，由得
令，则，即，
易知为平面的法向量，
，
由图可知二面角为锐二面角，故其余弦值为．

17.解：若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第次由甲将球传出，次传球后球在甲手中的概率为，，
第一次传球，球一定不在甲手中，所以，
传球两次，球在甲手中，有两种情况甲乙甲，甲丙甲，
则，
传球三次，球在甲手中，说明传球两次时球不在甲手中，概率为，所以
，
记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，
所以
，
即，，
所以，且．
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以
即次传球后球在甲手中的概率是．
由题意可知的最小取值为，表示传球次后，球连续次不在甲的手中，有两种情况：甲乙丙，甲丙乙，
所以，
若传球次后，球在甲手中，则回到了最初的状态，所以有，
则，解得

18.解：，，
当时，，所以在上单调递增．
当时，令，则
若，即时，恒成立，所以在上单调递增．
若，即时，方程的根为，
当时，或，在和上单调递增；
当时，，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，
在上单调递减．
令，则．
令，则
所以当时，，在上单调递减．
当时，，在上单调递增．
又当时，，且；当时，，
所以当时，先减后增，且在处有最小值，
此时直线与有两个交点，
所以实数的取值范围为．
因为，即，
即，对恒成立．
当时，上式显然成立；
当时，上式转化为，
令，，
，所以函数在上单调递增，
，，
综上所述，实数的取值范围为．

19.解：当发送信号次时，记发送信号为事件，接收为正确信号为事件，
则，，，，
所以．
因为，所以．
由题意知，
所以．
发送信号次，接收为正确信号的次数的分布列为
所以，
令，记，，
所以，
由，解得，
所以当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增，
所以当时，取得最小值，
又，所以此时取得最大值，
且最大值为．
当时，第次出现，前次中有次出现，
所以，
所以
．
当时，第次出现，前次中有次出现，
所以，
所以，
所以
．
因为，
所以
所以．

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