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2024-2025学年广东省深圳市聚龙科学中学教育集团高二下学期第二次段考(5月)数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列满足，若，则( )
A. B. C. D.
2.的展开式的常数项为( )
A. B. C. D.
3.若则( )
A. B. C. D.
4.一批产品共有件，其中件正品，件次品，现从件产品中一次性抽取件，设抽取出的件产品中次品数为，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数的导函数为，且，则( )
A. B. C. D.
6.易经是中国传统文化中的精髓，如图所示的是易经八卦含乾坤巽震坎离艮兑八卦，每一卦由三根线组成“”表示一根阳线，“”表示一根阴线现从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中至少有两根阳线的概率为( )
A. B. C. D.
7.给出下列说法：
回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；
两个变量相关性越强，则相关系数就越接近；
某个数的平均数为，方差为，现加入一个新数据，此时这个数的方差；
在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少个单位．
其中说法正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的有( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10.已知离散型随机变量的分布列为
则下列说法正确的有( )
A. B. C. D.
11.有三个相同的箱子，分别编号，其中号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量服从正态分布，且，则 ．
13.光明部食堂提供汤粉、煲仔饭、焗饭、盖浇饭、意面、鸡翅包饭、窑鸡种明星菜品，某学生计划周一到周五每天选择一种不同的菜品作为午餐，他周一不想吃汤粉，周五不想吃鸡翅包饭，那么他共有 种午餐安排方式．答案用数字表示
14.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知和为椭圆上两点．求的离心率；
已知双曲线经过点，一条渐近线的斜率为，求双曲线的方程．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，是的中点．

求证：平面；
求与平面所成的角的正弦值．
17.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，且边上的高为，求的周长．
18.本小题分
设甲、乙两位同学上学期间，每天：之前到校的概率均为假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
Ⅰ用表示甲同学上学期间的三天中：之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
Ⅱ设为事件“上学期间的三天中，甲同学在：之前到校的天数比乙同学在：之前到校的天数恰好多”，求事件发生的概率．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
证明：且
若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意得，解得
所以．
由一条渐近线的斜率为，可得，
可得：，又在双曲线上，
所以，
解得，
所以双曲线方程为：．

16.解：平面平面，，
又，面，
平面，
又平面，
，是的中点，，
又平面平面，
平面；
结合条件及可分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
平面是平面的一个法向量，
设与平面所成的角为，
则．
与平面所成的角的正弦值为．

17.因为，
所以由得，
所以，解得或，
因为，所以，则，故，
则，故．
因为，令，则，
由三角形面积公式可得，则，故，
由余弦定理可得，则，解得，
从而，，，故的周长为．
18.解：Ⅰ因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天之前到校的概率均为，
故，从面．
所以，随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望．
Ⅱ设乙同学上学期间的三天中之前到校的天数为，则．
且．
由题意知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，
从而由Ⅰ知：
．

19.解：的定义域为，所以，
当时，，在上单调递增，
当时，令，得，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在上单调递减，
综上可得，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在区间上单调递减；
当时，，
由可知，在上单调递增，在上单调递减，
故，即在上恒成立，
所以当时，，
令且，则，
即，，，，
所以累加得，
故当且时，．
由题对任意，都有恒成立，
即在上恒成立，
令，，即在上恒成立，
当时，由于，
则有，
令，所以，
令，得，
所以当，，在上单调递减，
当，，在上单调递增，
所以当时，，
令，则，令，所以，
令，得，
所以当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
所以当时，，
即在上恒成立，符合题意，
当时，由于在上单调递增且，，
故存在唯一，使得，即，即，即，
此时这与在上恒成立不符，
综上，实数得到取值范围是

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