资源简介

2024-2025学年上海师范大学附属中学宝山分校高二下学期五月月考
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为负数，对此描述正确的是( )
A. 气候温度高，海水表层温度就高
B. 气候温度高，海水表层温度就低
C. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势
2.甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采取五局三胜制先胜三局者获胜，比赛结束，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则甲选手以：获胜的概率为( )
A. B. C. D.
3.若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.如图，图中外形轮廓像阿拉伯数字“”的曲线叫双纽线，它不仅体现了数学美的简洁、对称、和谐、抽象、精确、统一、奇异、突变，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石．图中双纽线的方程：，于此曲线，给出如下结论：
曲线的图象关于原点对称
曲线经过个整点横、纵坐标均为整数的点
曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过
若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
其中正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.抛物线的焦点到其顶点的距离为 ．
6.已知随机变量，若，则 ．
7.函数在处取得极值，则实数的值为 ．
8.设随机变量的分布，则 ．
9.某校面向高二全体学生共开设门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为，和，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为 ；
10.已知两个随机事件，若，，，则 ．
11.某次数学考试中，学生成绩服从正态分布若，则从参加这次考试的学生中任意选取名学生，恰有名学生的成绩高于的概率是 ．
12.已知双曲线的左，右焦点分别为，是上一点，，且成等差数列，则的离心率为 ．
13.从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活．世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会．已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型其中为自然对数的底数拟合，设，其变换后得到一组数据：
由上表可得经验回归方程，则当时，蝗虫的产卵量的估计值为 ．
14.若实数满足，则的最小值为 ．
15.将一枚均匀的硬币连续抛掷次，以表示没有出现连续次正面的概率，则的递推关系式为 ．
16.椭圆：的内接等腰三角形，其中它有至少两个顶点是椭圆的顶点，这样的等腰三角形的个数为 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图所示，在四棱锥中，平面，，，，．
求证：平面平面；
若异面直线和所成角为，求点到平面的距离．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
当时，恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
年某瓷器公司计划向市场推出两种高档中国红瓷杯和，已知和烧制成功率分别为和，烧制成功一个，盈利元，否则亏损元；烧制成功一个，盈利元，否则亏损元．
设为烧制一个和一个所得的利润之和，求随机变量的分布和数学期望；
求烧制个所得的利润不少于元的概率；
公司将用户对中国红瓷器的喜欢程度分为“非常满意”得分不低于分和“满意”得分低于分两类，通过调查完成下表．
年龄低于岁
年龄不低于岁
根据调查数据完成下列列联表，并依据显著性水平的独立性检验，判断居民对瓷器的喜欢程度是否与年龄有关联？
非常满意 满意 合计
年龄低于岁
年龄不低于岁
合计
附：，，，与的若干对应数值见下表：
20.本小题分
在平面直角坐标系中，已知是椭圆的左右焦点，以为直径的圆和椭圆在第一象限的交点为，若三角形的面积为，其内切圆的半径为．
求椭圆的标准方程；
若点是椭圆的上顶点，过点的直线与椭圆交于两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为
(ⅰ)若，求出的值；
(ⅱ)设直线与轴交于点，求的面积的最大值．
21.本小题分
定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行或重合若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”．
设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论；
若为“整数等差函数”，求实数的最小值；
已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数，使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.
16.
17.
取的中点，连接，
，，
，，且，
四边形是平行四边形，，，
，，，
，，
，，
平面，平面，，
，平面，平面，
平面，
平面，平面平面；
连接，，，
由可知，，四边形是平行四边形，
，且，
是异面直线和所成角，即，
设，，，，
是等边三角形，，，即，
，，，
由知，平面，，
，
，
设点到平面的距离为，
，即，即，
，即点到平面的距离为．
18.当时，，，
，，
所以切线方程为，即；
解法一：，
当时，因为，所以，，所以，
则在上单调递增，成立．
当时，，所以在上单调递增，
所以成立．
当时，在区间上，；在区间上，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
由于，故在上，不符合题意．
综上所述，的取值范围是．
解法二：当时，恒成立，等价于当时，恒成立．
即在上恒成立．
当时，，所以．
当时，，所以恒成立．
设，则，因为，所以，
所以在区间上单调递增．所以，所以．
综上所述，的取值范围是．
19.由题意可知：和烧制成功率分别为和，
随机变量的可能取值为，则有：
，
，
所以随机变量的分布列为
随机变量的期望元．
设烧制个成功的件数为，则，
设烧制个所得的利润为，则，
令，解得，
所以．
根据题意完善列联表可得：
非常满意 满意 合计
年龄低于岁
年龄不低于岁
合计
零假设：居民对瓷器的喜欢程度是否与年龄没有关联，
则，
依据显著性水平的独立性检验，可知零假设不成立，
所以居民对瓷器的喜欢程度是否与年龄有关联．
20.由题意知，则，
又，，
又，，解得，，，
所以椭圆的方程为．

设直线的方程为，其中，且，即，
设直线与椭圆交于点，，
联立方程组整理得，
，
所以，，
，
即，
(ⅱ)法一：直线的方程为，令，得，故，
设直线与轴交于点，直线的方程为，令，得，故联立方程组整理得，
解得或舍，，
所以的面积
，
由(ⅰ)可知，，故，代入上式，
所以，
因为点在轴下方且不在轴上，故或，得，
所以，
显然，当时，，当时，，
故只需考虑，令，则，
所以，
当且仅当，，即时，不等式取等号，
所以的面积的最大值为．
法二：直线的方程为，令，得，故，设直线与轴交于点，直线的方程为，令，得，故，
由(ⅰ)可知，，故，所以点是线段的中点，
故的面积，
其中为点到直线的距离，
思路 显然，当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值，
设直线的方程为，即，
联立方程组整理得，
据，解得正舍，
所以平行直线与直线之间的距离为
，即的最大值为，
所以的面积的最大值为．
思路 因为直线的方程为，所以，
因为在椭圆上，故，设，，不妨设，
所以，
当，，时，，
即的面积的最大值为．

21.假设成等差数列，得，
设公差为，则，
对于：直线的斜率，
因为，所以曲线在点处的切线斜率为，
由题意，恒成立，
取，，则成等差数列且均为整数，故是“整数等差函数”．
对于，直线的斜率，
因为，所以曲线在点处的切线斜率为，
由题意，
若，则，
令，，则恒成立，所以在上单调递减，
所以，即在上恒成立，
即恒成立，所以无解，
故不是“整数等差函数”．
因为为“整数等差函数”，所以成等差数列且均为整数，
设公差为，则，且，
直线的斜率，
因为，所以曲线在点处的切线斜率为，
由题意，，
又的定义域为，有，
当时，，此时，无最小值；
当时，因为，，
所以
，
则，可取使等号成立，故的最小值为
综上，实数无最小值；
充分性，因为为常值函数，所以，
任意取等差数列，则直线的斜率，
曲线在点处的切线斜率为，
因为，所以为“等差函数”．
必要性，因为为“等差函数”，所以成等差数列，
设公差为，则，
直线的斜率，
曲线在点处的切线斜率为，
由题意，，
，
令，
则
，
令，
则，
因为在上为增函数，所以，在上为增函数，
因为，所以，在上为增函数，
因为，所以在上恒成立，
又，由的单调性知，
故，，
，为常数，
，
，
，
接下来，一方面，因为，且在上为增函数，
所以在上为增函数，故，，
由，可得，
另一方面，因为，
所以，可得，
以此类推，在上恒成立，即为常值函数．
命题得证

第1页，共1页

展开更多......

收起↑