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2024-2025学年湖南省岳阳市汨罗市第二中学高二下学期5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知为等腰三角形，满足，，若为底上的动点，则
A. 有最大值 B. 是定值 C. 有最小值 D. 是定值
3.如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是( )
A. B. C. D.
4.已知满足，，且当时，为常数，则的值为 ．
A. B. C. D.
5.如果是空间中的两条直线，是空间中的两个平面，下列命题错误的是( )
A. 直线与要么相交，要么不相交
B. 当直线与不相交时，与要么平行，要么异面
C. 直线平面，要么与平行，要么在内
D. 平面与要么相交，要么不相交
6.在中，角，，的对边分别为，，，若，则的形状是( )
A. 等腰三角形或直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
7.已知向量，，则向量与的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.已知点为的重心，，点是线段的中点，则为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中哪些是正确的( )
A.
B. 的最大值为
C.
D. 复数可能为纯虚数
10.如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且则下列结论正确的是( )
A. 当与重合时，异面直线与所成的角为
B. 三棱锥的体积为定值
C. 在平面内的射影长为
D. 当向运动时，二面角的平面角保持不变
11.在中，角，，的对边分别为，，，为边上的中线，，，以下说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，内角的对边分别为，若，则 ．
13.如图，在塔底的正西方处测得塔顶的仰角为，在塔底的南偏东的处测得塔顶的仰角为，
，的距离是，则塔高 ．
14.已知三棱锥如图所示，两两垂直，且，点分别是棱的中点，点是棱上靠近点的三等分点，则空间几何体的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，是不共线的两个向量．
若，，，求证：，，三点共线；
若与共线，求实数的值．
16.本小题分
设函数
若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；
解关于的不等式：．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，，，延长至，使，的面积为．
求的长；
求外接圆的面积．
18.本小题分
在单位正方体中，是的中点，如图建立空间直角坐标系．
求证平面；
求异面直线与夹角的余弦值；
19.本小题分
已知函数，若锐角的内角所对的边分别为，且．
求角；
求的取值范围；
在中，，其外接圆直径为如图，，求和．
参考答案
1.
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6.
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10.
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13.
14.
15.由题意知，，
，且有公共点，
，，三点共线；
，不共线，，
又与共线，
存在实数，使，
，解得．
16.对一切实数恒成立，等价于恒成立．
当时，不等式可化为，不满足题意．
当，有，即，解得，
所以的取值范围是．
依题意，等价于，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；
当时，不等式化为，
此时，所以不等式的解集为
当时，不等式化为，
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
综上，当时，原不等式的解集为
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
17.解：因为，
所以，
又，所以，
又因，所以为等边三角形，故，
由，可得，
故，
解得或；
解：由得：
当时，，
则
，
所以，
设外接圆的半径为，
由正弦定理可得，所以，
所以外接圆的面积为，
当时，，
则
，
所以，
同理外接圆的面积为，
综上所述，外接圆的面积为．
18.解法一：连接，在正方体中，有
而平面，平面
所以平面．
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故
设平面的一个法向量为，
由得，令，则
所以．
又从而
所以平面．
法一：由知异面直线与的夹角为或其补角．
而且为中点，故，
所以两异面直线与的夹角的余弦值为．
法二：设、分别为直线与的方向向量，
则由，得．
所以两异面直线与的夹角的余弦值为，
19.解：由函数，
因为，可得，即，
又因为，可得，所以，可得．
解：由知，可得，
因为为锐角，所以，解得，
则，
因为，可得，所以，
所以的取值范围为．
解：因为为圆直径，所以且
设，可得，，
设圆的半径为，在中，可得，
在中，可得，
所以，即，可得，
又因为，解得，
所以，
又由，
所以，
四边形的面积为．
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