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2024-2025学年湖北省黄石市第二中学高二下学期5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知的分布列为：
若随机变量，则等于( )
A. B. C. D.
2.记为递减等差数列的前项和，若，，则 ．
A. B. C. D.
3.黄石二中杰出校友何小鹏的小鹏汽车生产的款小鹏加速度表现出众，其中四驱高性能版的加速时间仅需秒．若某款车的速度关于时间的函数为，则秒时的加速度为 ．
A. B. C. D.
4.某班组织同学到社区志愿服务，某小组共有名男生和名女生，该小组需要选出名同学参加，若选出的同学中既有男生又有女生，则不同的安排方法有种．
A. B. C. D.
5.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上一动点，则线段的中点的轨迹方程是 ．
A. B. C. D.
6.共有张彩票，其中有张中奖彩票，从中任取张，要使这张彩票中至少有一张中奖的概率大于，至少为 ．
A. B. C. D.
7.连续型随机变量，令函数，则下列选项正确的是 ．
A. B. 是增函数
C. 的图象关于轴对称 D. 的图象关于点中心对称
8.若对于任意的，总存在唯一的使得成立，则实数取值范围是 ．
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一个袋子中放有个不同的红球和个不同的黄球，现从中逐个摸取个小球方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为下列说法中，正确的有( )
A. ，
B.
C. ，其中
D.
10.已知数列满足，，其前项和为，其前项积为，则下列选项正确的是 ．
A. B. C. D.
11.在平面直角坐标系中，为曲线：上任意一点，则 ．
A. 曲线关于原点中心对称 B. 与曲线有个公共点
C. 点不可能在圆：外 D. 到轴的最大距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.已知圆：和点，由圆外一点向圆引切线，切点分别为，若，则的最小值是 ．
14.已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的展开式的二项式系数和为．
求展开式中含的项的系数；结果用数字作答
求展开式中系数绝对值最大的项．
16.本小题分
已知函数．
当时，求的解集；
当时，求的单调区间．
17.本小题分
已知数列的前项和为，且，在数列中，，满足．
求数列的通项公式；
证明：数列为等比数列；
求数列的前项和，并证明．
18.本小题分
甲和乙一起玩游戏，在不透明的盒子内放若干白球和黑球，每次摸一个球，每个球被摸到的概率相同，当每次从盒子中随机摸到一个球后，将球放回盒子里，并添加同样颜色的球个一起放回盒子里，设事件“第次摸到白球”．
现在甲、乙分别从、两个盒子中摸球，盒中有个白球和个黑球，盒中有个白球和个黑球，，请计算甲和乙第二次摸到白球的概率分别为多少，并比较大小；
甲和乙经过多次游戏，猜测不论初始时盒子里的白球黑球个数为多少，每次摸到白球的概率都相同．请通过计算验证他们的猜测是否正确；
若初始有个白球和个黑球，求第次摸球后，累计摸到白球个数的期望．用，，表示．
附：若随机变量服从两点分布，且，，
19.本小题分
已知、分别为椭圆：的左右顶点，为椭圆上异于、的动点，且直线和直线的斜率之积为．
求椭圆的方程；
若直线：，直线交于点，直线与交于点，椭圆在点处的切线与交于，求证：；
求面积取最小值时点的横坐标．
参考答案
1.
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14.
15.由题意可知，解得，
展开式的通项为，，，
令，解得，
故展开式中含的项的系数为；
可得系数的绝对值为，，．
设第项系数绝对值最大，
则．
即
解得，又，得，
所以系数绝对值最大的项为．
第二问可以写出后四项比较系数绝对值大小
16.当时，，，
所以在上单调递减，又，
则当时，；当时，，
故的解集为．
，
设，的对称轴，，
当，有，则，在单调递减．
当，则有两个不等正根，，
所以、上，上，
在、上单调递减，在上单调递增；
当，则有一个正根，即上，上，
在上单调递增，在上单调递减．
综上：
当，的单调减区间为，无单调递增区间；
当，的单调减区间为、，单调递增区间为；
当，的单调递增区间为，单调减区间为．
17.当时，，
当时，，
综上，
，，，，
设，
是首项为，公比为的等比数列．
由知，
，
为奇数时，是递减数列，，
为偶数时，是递增数列，，
．
18.第次摸到白球的概率是，则第次摸到黑球的概率是，
对于甲，，，
由全概率公式可得：
，
同理，对于乙：
，
故甲第二次摸到白球的概率大于乙第二次摸到白球的概率．
设第次摸球时盒子里有个白球和个黑球，
则，；
，，
由全概率公式可得：
．
所以，即每一次摸到白球的概率都相等．
由题意每次摸到白球的概率为
设第次摸到白球的个数为，或，所以服从两点分布，
且，
记第次摸球后，累计摸到白球个数是，
则，所以．
19.由，分别为椭圆：的左右顶点，可得，
设，则，所以
又由，解得，
所以椭圆的方程为．
由题意知，椭圆在点处的切线斜率存在，
可设切线的方程为，
联立方程组，整理得，
由直线与椭圆相切，则，
化简得，
由得，代入上式，整理得，
解得，所以，
令，可得，所以，
直线，令，可得；
直线，令，可得，
由，
故为线段的中点，，
得证．
由，，
可得，
又到直线的距离为，
所以的面积，
令，其中，可得，
由，解得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
故当时，函数取最小值．
即面积取最小值时点的横坐标为．

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