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2024-2025 学年上海市晋元高级中学高一下学期 5 月考试
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.用斜二测画法画三角形 的直观图 ′ ′ ′，如图所示，已知 ′ ⊥ ′ ′， ′ ′ = 2，则 =( )
A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4
2.已知 ， 是两条不同的直线， 为一个平面， ，则“ // ”是“ ， 无公共点”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.若复数 满足 = 1，则 2i 的取值范围为( )．
A. 1, 2 B. 1, 3 C. [1,2] D. [1,3]
4.如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， 、 分别为 1 1、 的中点，则过点 、 、 1的平
面 与侧面 1 1的交线长为( )
A. 133 B.
5 5
6 C. 2 D. 2
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5.已知向量 = (1, 1)， = ( 3,1)，若 + 与 垂直，则实数 的值为 ．
6.已知向量 ， 的夹角为 45°，且 = 1， = 2，则 + 2 = ．
7.设向量 = (3,5)， = ( 2, )，若 与 共线，则实数 的值为 ．
8.平行于同一平面的两直线的位置可能是 ．
9.下列命题中正确的命题为 ．
①若 在平面 外，它的三条边所在的直线分别交 于 、 、 ，则 、 、 三点共线；
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②若三条直线 、 、 互相平行且分别交直线 于 、 、 三点，则这四条直线共面；
③若直线 、 异面， 、 异面，则 、 异面；
④若 ⊥ , ⊥ ，则 // ．
10.如图，在三棱锥 中， = 3 ，且 ⊥ ， ， 分别是棱 ， 的中点，则 和 所成
的角等于 ．
11 1.设 是复数 的共轭复数．在复平面内，复数 + 2 与 + 2i 对应的点关于 轴对称，则 = ．
12.如图，在长方形 中， = 4, = 2，以 为直径在长方形内作半圆 ，以 为直径在长方形外作
半圆 ， ， 分别是半圆 和半圆 上的动点，则 的最大值为 ．
13.如图，半径为 2 的圆 上的点到直线 的最小距离恰好也是 2， 是圆 的任意一直径， 是 上动点，则
的最小值为 ．
14.已知∠ = 90°， 为平面 外一点， = 2，点 到∠ 两边 ， 的距离均为 3，那么 到平
面 的距离为 ．
15.如下图所示，矩形 中， = 2 2， = 2，沿 将 折起，使得点 在平面 上的射影落
在 上，则直线 与平面 所成的角为 ．
16.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2 3, , 为体对角线 1的三等分点，动点 在三角形 1内，
且三角形 的面积 2 6 = 3 ，则点 的轨迹长度为 ．
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三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
已知 i 为虚数单位，关于 的方程 2 + 10 = 0( ∈ )的两根分别为 1， 2．
(1)若 1 = 3 + i，求实数 的值；
(2)若 1 2 = 2，求实数 的值．
18.(本小题 14 分)
如图，在 中， = 0，| | = 8, | | = 6， 为线段 的垂直平分线， 与 交与点 , 为 上异
于 的任意一点．
(1)求 的值；
(2)判断 的值是否为一个常数，并说明理由．
19.(本小题 14 分)
正方体 ′ ′ ′ ′中，求证：
(1) ⊥平面 ′ ′ ；
(2) 与 ′ 的夹角的余弦值．
20.(本小题 14 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ⊥平面 ， 为 的中点．
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(1)设平面 与直线 相交于点 ，求证： // ；
(2)若 = 2，∠ = 60°， = 4 2，求直线 与平面 所成角的大小．
21.(本小题 12 分)
已知点 是边长为 2 的菱形 所在平面外一点，且点 在底面 上的射影是 与 的交点 ，已知
∠ = 60°， 是等边三角形．
(1)求证： ⊥ ；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)若点 是线段 上的动点，问：点 在何处时，直线 与平面 所成的角最大？求出最大角的正弦值，
并求出取得最大值时线段 的长．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.73
6. 13
7. 103
8.平行或相交或异面
9.①②
10.30°/π6
11. 1 12 2 i
12.2( 5 + 1)
13.12
14. 2．
15.45°
16.2 63
17.解：
(1) ∵ 21为方程 + 10 = 0( ∈ )的根，所以 3 + i 2 3 + i + 10 = 0，
整理得到：18 3 + (6 )i = 0，由 ∈ 可得 = 6．
2 2(2)由方程 2 + 10 = 0( ∈ )可得 2 = 4 10，
2 2
若 4 10 ≥ 0 即 ≤ 2 10 ≥ 2 10
1
或 ，则 2 =± 4 10 =±
2
2 40，
则 1 2 =± 2 40，即 21 2 = 40 = 2，解得 =± 2 11，
2
若 4 10 < 0 即 2 10 < < 2 10，则 1 2 =± 40
2i，即 1 2 = 40 2 = 2，解得 =± 6，
综上所述，实数 的值为±2 11或±6．
18.解：法 1：(1) 1由已知可得 = ( + )， = 2 ，
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∴ = 1
2 2
2 (
+ ) ( ) = 12 (
) = 12 (64 36) = 14，
(2) 的值为一个常数∵ 为线段 的垂直平分线， 与 交与点 ， 为 上异于 的任意一点，
∴ = 0，
故： = ( + ) = + = = 14
解法 2：(1)以 点为原点， 所在直线为 轴， 7 24所在直线为 轴建立直角坐标系，可求 ( 5 , 5 )，
= ( 7 , 24此时 )， = ( 10,0)， 5 5 =
7
5 × ( 10) + (
24
5 ) × 0 = 14
(2)设 点坐标为(0, )( ≠ 0)，
∴ = ( 7 245 , 5 )，
∴ = 75 × ( 10) + (
24
5 ) × 0 = 14(常数)．
19.解：(1)因为四边形 为正方形，所以 ⊥ ，
因为 ′ ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ′，
因为 ′ ∩ = ， ′、 平面 ′ ′ ，故 ⊥平面 ′ ′ ．
(2)连接 ′，如下图所示：
在正方体 ′ ′ ′ ′中， ′// ′， ′ = ′，
故四边形 ′ ′ 为平行四边形，所以 ′ ′// ，
所以 与 ′ 的夹角为∠ ′ ′或其补角，
′ ′
易知 为等边三角形，故∠ ′ ′ = 60 ．
1
因此， 与 ′ 的夹角的余弦值为 cos60 = 2．
20.(1)证明：∵平面 与直线 相交于点 ，∴平面 ∩平面 = ，
∵四边形 是菱形，∴ // ，
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∵ 平面 ， 平面 ，∴ //平面 ，
∵ 平面 ，平面 ∩平面 = ，
∴ // ；
(2)连接 ，取 中点 ，连接 、 ，
∵菱形 中， = ，∠ = 60°，∴△ 是等边三角形，
∵ 是 中点，∴ ⊥ ，
∵ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
∵ 、 平面 ， ∩ = ，∴ ⊥平面 ．
∴ ∠ 是直线 与平面 的所成角，
∵ 1是 中点， = 4 2，∴ = 2 = 2 2．
∵ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
∵ 为 中点，∴ = 12 = 1，Rt 中， =
2 + 2 = 3，
∵ 3等边 中，高 = 2 = 3，
∴ Rt tan∠ = 中， =
3
3 ，
可得∠ = π6，即直线 与平面
π
的所成角等于6．
21.解：(1) ∵点 在底面 上的射影是 与 的交点 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ⊥ ，
∵四边形 为菱形，
∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ， 、 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，
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∴ ⊥ ；
(2)由题意可得 与 都是边长为 2 的等边三角形，
∴ = = = 3 1， = 2 × 2 × 3 = 3，
∴ = 2 + 2 = 6，
∵ = = 2，
2
∴ 1 2 6 = 2 × 6 × 2 2 =
15
2 ，
设点 到平面 的距离为 ，
1 1由 = 得3 = 3 ，
15 2 15
即 2 = 3 × 3，解得 = 5 ．
2 15
故点 到平面 的距离为 5 ．
(3)设直线 与平面 所成的角为 ，
∵ /\ !/ /\ !/平面 ，
∴ 到平面 的距离即为 到平面 的距离 ．
过 作垂线 ⊥平面 交于点 ，则 = ∠ ，
2 15
此时 sin = = 5 ，要使 最大，则需使 最小，此时 ⊥ ．
由题意可知： = 1， = 3，
∵ ⊥平面 ，且 = 3，
∴ = 2 + 2 = 6， = 2 + 2 = 2，
在 中，由余弦定理可得：
2 2 2
cos∠ = + = 6+4 4 62 2× 6×2 = 4 ，
∴ sin∠ = 1 cos2∠ = 104 ，
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1
由面积相等 = 2 sin∠ =
1
2 ，
1 × 6 × 2 × 10 = 1 × 2 × = 15即2 4 2 ，解得： 2 ，
= 2 2 = 4 15 = 14 2，sin =
4
5，
4 1即点 在线段 上靠近点 的 4 分点处，此时 sin = 5， = 2．
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