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2024-2025 学年湖北省荆州市成丰学校高一下学期 5 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 = (2,3)，点 的坐标为(3,2)，则点 的坐标为( )
A. (6,4) B. (1, 1) C. (5,5) D. ( 1,1)
2.设复数 = + i( ∈ , i 为虚数单位)，若 1 + i 为纯虚数，则复数 的虚部为( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. i
3.已知在 中，sin : sin : sin = 4: 3: 2，则 cos 等于( )
A. 1116 B.
7
9 C.
21
16 D.
29
16
4 + 2 = 3 + i 3+i.已知复数 满足 ，则 =( )
A. 1 + 2i B. 1 2i C. 2 + i D. 2 i
5 π π.将函数 = 2sin + 3 ( > 0)的图像分别向左 向右各平移3个单位长度后，所得的两个图像的对称轴
重合，则 的最小值为( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 33 2
6.若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是( )
A. 球< 圆柱< 正方体 B. 正方体< 球< 圆柱
C. 圆柱< 球< 正方体 D. 球< 正方体< 圆柱
7.在正方体 1 1 1 1中，截面 1 与底面 所成二面角 1 的正切值为( )
A. 32 B.
2
2 C. 2 D. 3
8.如图，在正方形 中， , 分别为边 , 的中点，若 = + ，则 + =( )
A. 2 B. 3 C. 14 4 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在复平面内，复数 对应的点为( 1,2)，则( )
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A. + = 2 B. 2 = 5 C. = 5 D. 1 i =
3 + 12 2 i
10.有下列说法，其中错误的说法为( )．
A. 、 为实数，若 = ，则 与 共线
B.若 // 、 // ，则 //
C.两个非零向量 、 ，若| | = | + |，则 与 垂直
D.若 2 + + 3 = 0， 、 分别表示 、 的面积，则 : = 1: 6
11.下列各式中，化简结果为 3的是( )

A. 1+tan151 tan15 B. cos15
3sin15
C. tan25 + tan35 + 3tan25 tan35 D. 16sin10 cos20 cos30 cos40
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知复数 = 1 i 2 + i ∈ R 为纯虚数，则 = ；
13.在直角梯形 中， // , ⊥ , ∠ = 45 , = 2 = 2,点 为腰 的中点，则
→ →
= ．
14.如图，在空间四边形 中，平面 ⊥平面 ，∠ = 90 ，∠ = 90 ，且 = ，则
与平面 所成角的度数为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 ， ， 分别为 的三个内角 ， ， 的对边，且 2 + 2 + = 2．
(1)求角 ；
(2)若 = 2 3， + = 4,求 的面积．
16.(本小题 15 分)
已知 = (1,1)， = (0, 2)．
(1)若 与 + 2 共线，求 的值．
(2)若 3 与 3 + 的夹角为90 ，求 的值．
(3)求向量 在向量 上投影的数量．
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17.(本小题 15 分)
如图，在边长为 2 的正方体 1 1 1 1中， 为 1中点，
(1)证明： 1//平面 ；
(2)求三棱锥 的体积．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， /\ !/ ， ⊥ ， = 1， = 3， = 4， = 2．
( )求异面直线 与 所成角的余弦值；
( )求证： ⊥平面 ；
(Ⅲ)求直线 与平面 所成角的正弦值．
19.(本小题 17 分)
如图所示，在 中， = 1， = 3
， 与 相交于点 ， 的延长线与边 交于点 ．
(1)用 和 分别表示 和 ；
(2)如果 = + = + ，求实数 和 的值；
(3)确定点 在边 上的位置．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13.2
14.45
15.解：(1)由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 + ，
cos = 1 2π所以 2，又 0 < < π，所以 = 3．
(2)因为( + )2 = 2 + 2 + 2 = 16，所以 2 + 2 = 16 2 ，
2π
因为 = 23，由已知得 =
2 + 2 + ，故 12 = 16 ，故 = 4，
所以 1 = 2 sin = 3．
16.解：(1)因为 = (1,1)， = (0, 2)，
所以 = ( , + 2)， + 2 = (1, 3)，
因为 与 + 2 共线，所以 3 = + 2 1，解得 = 2；
(2)因为 3 = (3,3 + 2 )，3 + = (3,1)，
又 3 与 3 + 的夹角为90 ，
则 3 3 + = 3 × 3 + 3 + 2 = 0，解得 = 6；
(3)因为 = (1,1)， = (0, 2)，
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所以 = 2， = 2，

所以向量 在向量 上投影的数量为 = 1．
17.解：(1)在边长为 2 的正方体 1 1 1 1中，设 ， 交于点 ，连结 ，
是 中点，而 为 1中点，则 // 1，
又 平面 ， 1 平面 ，所以 1//平面 ．
(2)在边长为 2 的正方体 1 1 1 1中， ⊥平面 ，
1 1 1 2
所以三棱锥 的体积为 = 3 × × = 3 × 2 × 2 × 2 × 1 = 3．
18.解：(Ⅰ)如图，由已知 // ，故∠ 或其补角即为异面直线 与 所成的角．
因为 ⊥平面 ，所以 ⊥ ．
在 △ 中，由已知，得 = 2 + 2 = 5，
故 cos∠ = =
5
5 ．
5
所以，异面直线 与 所成角的余弦值为 5 ．
(Ⅱ)证明：因为 ⊥平面 ，直线 平面 ，所以 ⊥ ．
又因为 // ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ =
所以 ⊥平面 C.
(Ⅲ)过点 作 的平行线交 于点 ，连结 ，
则 与平面 所成的角等于 与平面 所成的角．
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因为 ⊥平面 ，故 为 在平面 上的射影，
所以∠ 为直线 和平面 所成的角．
由于 // ， // ，故 = = 1，
由已知，得 = – = 2．
又 ⊥ ，故 ⊥ ，
在 △ 中，可得 = 2 + 2 = 2 5，
在 △ 5中，可得 sin∠ = = 5 ．
所以，直线 与平面 5所成角的正弦值为 5 ．
19. 1 1解：(1) = = ， = 2 = 3
(2)由(1)知： = + 1 = (1 ) + 2 2
1 = + 3 = 3
+ (1 )
4
∴ (1 ) + =
1 = =
2 3 + (1 )
∴ 3 ，解得：
5
2 = 1 =
3
5
(3)设 = ， =
(2) 1 2由 知： = + 5 5
∴ = =
1 2 2
= 5 +
5 = 5 1
+ 5

又 = = =
2
∴
1 = =
1 + 2 = ∴ 5 ，解得： 35 5 2
5 = =
5
3
∴ = 2 3
，即 = 2
∴点 为靠近点 的 的三等分点
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