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2024-2025 学年江西省南昌市第十中学高一下学期第二次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 1 2i = + i(i 为虚数单位)，其中 ， 为实数，则 + 的值为( )
A. 1 B. 3 C. 1 D. 3
2 π.已知角 的终边经过点 ( 3,4)，则 cos 2 + =( )
A. 35 B.
4
5 C.
3 4
5 D. 5
3.化简向量 + 等于( )
A. B. C. D.
4.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中 = = 2，则原平面
图形的面积为( )
A. 3 22 B. 3 2 C. 12 2 D. 6 2
5.已知向量 = ( 1, ), = ( 4,2)，若向量 , 的夹角是锐角，则 的取值范围是( )
A. ( 2, + ∞) B. 12 , + ∞
C. 2, 12 ∪
1
2 , + ∞ D. 2,
1
2 ∪
1
2 , + ∞
6 5.若 ， 都是锐角，且 cos = 5 ，sin( ) =
10
10 ，则 cos =( )
A. 22 B.
2
10 C.
2
2 或
2 2 2
10 D. 2 或10
7.已知复数 1 = 3 i，在复平面内，复数 1, 2对应的点分别为 ， ，且点 与点 关于直线 = 对称，
则 1 + 2 =( )
A. 4 2 B. 2 10 C. 2 2 D. 10
8.如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为
1
直角三角形 的斜边 直角边 ，已知以直角边 为直径的半圆的面积之比为4，记∠ = ，
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sin 2cos
则 cos +sin 的值为( )
A. 1 B. 2 C. 0 D. 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = 3sin2 cos2 , ∈ ，则( )
A. 2 ≤ ( ) ≤ 2 B. ( )在区间(0, )上只有 1 个零点
C. ( ) 的最小正周期为 D. ∈ , 3 + =

3
10.下列结论正确的是( )
A.若 的内角 , , 满足sin2 + sin2 sin2 < 0，则 一定是钝角三角形
B.绕直角三角形一条边所在直线旋转一周所形成的几何体是圆锥
C.若( 2 2 3) + ( 2 3 )i 是纯虚数，则 = 1
D.若向量 = (1,0), = ( 2,2 3) 1，则向量 在向量 上的投影向量是 8
11.已知 为 所在平面内的一点，则下列结论正确的是( )
A. + + = 0，则 为 内心
B. (

若 + ) = 0，则 为等腰三角形| | | |
C.若 = = ，则 为 的外心

D. = ( +

若 )( ∈ R)，则点 的轨迹经过 的重心| |sin | |sin
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.一个圆台的母线长为 5，上、下底面圆直径长分别为 2，8，则圆台的高为 ．
13.已知锐角 ， 满足(tan –1)(tan –1) = 2，则 + 的值为 ．
14 1.已知函数 ( )满足： tan = cos2 ，则
(2) + (3) + + (2024) + 12 +
1
3 + +
1
2024 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 = 2 + i( ∈ , i 为虚数单位)，其共轭复数为 ．
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(1)若复数 3 + 2i 是实数，求实数 的值；
(2) = 若 1 1 i，且复数 1在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数 的取值范围
16.(本小题 15 分)
已知向量 = cos2 , 2cos ， = 2 3, sin ，函数 ( ) = ．
(1)求 ( )的单调递减区间；
(2)将函数 ( ) 1 π图象上所有点的横坐标缩短为原来的2，再向右平移12个单位得到 ( )的图象，求 ( )在
π π12 , 6 上的值域．
17.(本小题 15 分)
1 1
如图， 、 分别是 的边 、 上的点，且 = 4 ， = 2 ， 交 于 ．
(1)若 = + ，求 的值；
(2)若 = 4， = 3，∠ = 60 ，求 的值．
18.(本小题 17 分)
已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， sin ，且 2 + cos = 1， sin + 4sin = 4 sin ．
(1)求边长 和角 ；
(2)若 3的面积为 2 ，求中线 的长度；
(3)若 = 1，求角平分线 的长度．
19.(本小题 17 分)
定义函数 ( ) = sin + cos 的“积向量”为 = ( , )，向量 = ( , )的“积函数”为 ( ) = sin +
cos ．
(1)若 = 1， = 3，求 ( )最大值及对应 ¨的取值集合；
π
(2)若向量 = ( , )的“积函数” ( ) 7 = tan 13π 满足 9π 42，求 的值； 14
(3)已知 = 2cos , 2sin ， = 2cos , 2sin ，设 = + ( > 0, > 0)，且 的“积函数”为
( )，其最大值为 ，求( 2)( + )的最小值，并判断此时 ， 的关系．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4
13.3π4
14.0
15.(1)由 = 2 + i 可得 = 2 i，
所以 3 + 2i = 3 + 2i 2 i = 6 3 i + 4i 2 i2 = 6 + 2 + (4 3 )i，
若复数 3 + 2i 是实数，可得 4 3 = 0，
4
解得 = 3；
2+ i 2+ i 1+ i 2+ 2i + i + i2 2 + (2+ )i
(2) 1 = 1 i = 1 i = 1 i 1+ i = =1 i2 2
= 2 2+ 2 + 2 i，
2 , 2+ 易知复数 1在复平面内所对应的点坐标为 2 2 ，
2 > 0
又复数 1在复平面内所对应的点位于第四象限，可得 22+ ,
2 < 0
解得 < 2，
即实数 的取值范围为( ∞, 2)．
16.(1)因为向量 = cos2 , 2cos ， = 2 3, sin ，函数 ( ) = ，
所以 ( ) = 2 3cos2 + 2sin cos = 3cos2 + sin2 + 3
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= 2sin 2 + π3 + 3，
π
令2 + 2 π ≤ 2 +
π 3π
3 ≤ 2 + 2 π， ∈ ，
π 7π
解得 ∈ 12+ π, 12 + π ， ∈ ，
所以 ( ) π 7π的单调递减区间为 12+ π, 12 + π ， ∈ ．
(2)由(1)知 ( ) = 2sin 2 + π3 + 3，
1 π
函数 ( )图象上所有点的横坐标缩短为原来的2，再向右平移12个单位，
则 ( ) = 2sin4 + 3，
∴当 ∈ π12 ,
π π 2π
6 时，4 ∈ 3 , 3 ，∴ sin4 ∈
3
2 , 1 ，
则 ( ) = 2sin4 + 3 ∈ 0,2 + 3 ．
π π
所以 ( )在 12 , 6 的值域为 0,2 + 3 ．
17.(1) = + = + 1 4 = +
1 = 3 4 4 +
1
4 ，
∴ = 34， =
1
4，因此， =
3
4
1
4 =
1
2；
(2)设 = = 34
+ 1 4
，
再设 = ，则 = ，即 = (1 ) + = 1 2
+ ，
3 = 1 4
所以， 4 2
=
，解得 7
3 1
1 1，所以
= 7
+ 7 ，
4 = = 7
因此， = 1 3 +
2
= 1
2 1 2 1
7 7 + 2 3 = 7 × 3 + 2 × 4 × 3 × 2 3 ×
42 = 277．
18.(1) ∵ sin + 4sin = 4 sin ，
∴由正弦定理得 2 + 4 = 4 ．∵ ≠ 0, ∴ 2 + 4 = 4 , ∴ ( 2)2 = 0,
可得 = 2．
sin 由 + cos = 1，得 sin + 1 2sin2 2 2 2 = 1，

得 sin 2 2sin 2 1 = 0，
sin 1得 2 = 2或 sin
π
2 = 0，故 = 3或 0(舍去)．
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(2)由 1 = 2 sin =
3 3
4 = 2 ，得 = 2，
由余弦定理可知， 2 = 2 + 2 2 cos ，
由(1)可得 4 = 2 + 2 2，所以 2 + 2 = 6，
又 = 1 + 2
，
2 1 2 1
所以 = + =
2 2
+ + 2 = 1 2 24 4 4 + + 2 cos
= 14 6 + 2 × 2 ×
1
2 = 2，
即 = 2，
所以中线 的长度为 2；
(3)若 = 1，由余弦定理， 2 = 2 + 2 2 cos ，
可知 2 + 2 = 5，所以( + )2 = 2 + 2 + 2 = 7，即 + = 7，
因为 为角平分线，所以 = + ，
1 π 1
即2 sin 3 = 2 sin
π+ 1 π6 2 sin 6，
3 = ( + ) = 21则 ，所以 7 ．
19.(1)若 = 1， = 3，则 ( ) = sin 3cos = 2sin π3 ，
π π 5π当 3 = 2 + 2 π时，即 = 6 + 2 π， ∈ Z，函数有最大值，
5π
函数的最大值为 2，对应 的取值集合为 = 6 + 2 π , ∈ Z ；
π sinπ+ cosπ π7 7 7 sin7+ cos
π tanπ+
(2) = 7 7 9π 9π 9π = cosπ sinπ = π = tan
13π
，
14 sin 4214+ cos14 7 7 1 tan7
tan
π+tan
令 tan = π 13π ，所以
7
1 tan tanπ = tan 7 + = tan7 42
，
π 13π
所以7 + = 42 + π， ∈ Z，
即 = π π π 36 + π， ∈ Z，所以 = tan 6 + π = tan 6 = 3 ；
(3)因为 = 2cos , 2sin ， = 2cos , 2sin ，
所以 = + = 2 cos , 2 sin + 2 cos , 2 sin
= 2 cos + 2 cos , 2 sin 2 sin ，
所以 ( ) = 2 cos + 2 cos sin + 2 sin 2 sin cos
= 2 sin( + ) + 2 sin( ) ≤ 2 + 2 ，
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0 + =
π
2 + 2 1π此时存在 0满足 π , 1 ∈ Z, 2
∈ Z,
0 = 2 + 2 2π
当且仅当 = 0时等号成立，
所以 + = 2 1 2 π，
即 = + 2 π， ∈ Z，
所以 2 sin( + ) + 2 sin( ) = (2 + 2 )sin( ) ≤ (2 + 2 )成立，
且 = ，
则 = 2 + 2 ，
2
( 2)( + ) = ( 2) = ( 1) 12 2 2，
当 = 1 时有最小值，
所以( 2)( + ) 1的最小值为 2．
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