资源简介

2024-2025 学年江苏省怀仁中学高一下学期 5 月阶段检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某学校高一年级选择“物化生”、“物化地”、“物化政”和“史政地”组合的同学人数分别为 240、120、
90 和 150.现采用分层抽样的方法选出 20 位同学进行一项调查研究，则“史政地”组合中选出的同学人数
为( )
A. 8 B. 4 C. 3 D. 5
2.已知一组数据分别是 2.65，2.68，2.68，2.72，2.73，2.75，2.80，2.80，2.82，2.83，则它们的 75 百分
位数为( )．
A. 2.75 B. 2.80 C. 2.81 D. 2.82
3.已知一个水平放置的四边形 ，用斜二测画法画出它的直观图是一个底角为 45 ，上底长为 1，下底
长为 2 的等腰梯形 ′ ′ ′ ′，则四边形 的面积为( )
A. 3 2 3 22 B. 4 C.
3 D. 42 3
4.已知 、 为两条不同的直线， 、 为两个不同的平面，则下列命题正确的是( )．
A.若 // ， ⊥ ，则 ⊥
B.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
C.若 ， ， // ， // ，则 //
D.若 // ， ， ，则 //
5.已知向量 与 的夹角为60 ， = (1,2)， = 0，则 = ( )．
A. 5 B. 2 5 C. 5或 2 5 D.以上都不对
6.已知一组数 1， 2， 3， 4的平均数是 = 1，方差 2 = 2，则数据 2 1 + 1，2 2 + 1，2 3 + 1，2 4 + 1
的平均数和方差分别是( )
A. 3，4 B. 3，8 C. 2，4 D. 2，8
7.已知 是单位向量，且 2 = 10, + 2 在 上的投影向量为 5 ，则 与 的夹角为( )
A. π B. π6 4 C.
π 5π
3 D. 12
第 1页，共 8页
8.已知锐角 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ， 2 = 2 + ，若 cos( ) + cos 存在最大
值，则实数 的取值范围是( )
A. 0, 2 B. 1, 3 C. (0,2) D. (2,4)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 为虚数单位，则下面命题正确的是( )
A.若复数 = 3 + 1 3 i，则 = 10 10
B.复数 满足| 2 | = 1， 在复平面内对应的点为( , )，则 2 + ( 2)2 = 1
C.若复数 1， 2，满足 1 = 2，则 1 2 ≥ 0
D.复数 = 1 3 的虚部是 3
10.在正方体 1 1 1 1中， ， ， 分别为 ， 1， 1的中点，则( )
A.直线 1 与直线 异面
B.直线 1 与平面 平行
C.平面 截正方体所得的截面是平行四边形
D.点 和点 到平面 的距离相等
11.某商家为了了解顾客的消费规律，提高服务质量，收集并整理了 2019 年 1 月至 2021 年 12 月期间月销
售商品(单位：万件)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列说法正确的是( )
第 2页，共 8页
A.月销售商品数量逐月增加
B.各年的月销售商品数量高峰期大致在 8 月
C. 2020 年 1 月至 12 月月销售数量的众数为 30
D.各年 1 月至 6 月的月销售数量相对于 7 月至 12 月，波动性大，平稳性低
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为 1，下底面半径为 2，且该圆台侧面
积为 3 5 ，则原圆锥的母线长为
13.已知正四棱柱 1 1 1 1中， = 1，直线 1与平面 所成角的正切值为 2，则该正四棱柱
的外接球的表面积为 ．
14.已知样本数据 1, 2, 40的平均数和方差分别为 77 和 123，样本数据 1, 2, , 30的平均数和方差分别
为 和 ，全部 70 个数据的平均数和方差分别为 74 和 138，则 = ， = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在 中，设角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知向量 = 3cos , sin ， = 1 , 1 ，且 ⊥ ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 7，3sin = 2sin ，求 的面积．
16.(本小题 15 分)
社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需
要进行笔试和面试，一共有 200 名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40,100]内，将笔试成绩按照
[40,50)、[50,60)、 、[90,100]分组，得到如图所示频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数(每组数据以区间中点值为代表)；
(3)若计划面试 150 人，请估计参加面试的最低分数线．
17.(本小题 15 分)
如图，三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ， ⊥ ，点 ， 分别是线段 1 1， 1 的中点．
第 3页，共 8页
(1)求证：平面 1 ⊥平面 1 ；
(2)设平面 1与平面 1 1的交线为 ，求证： // ．
18.(本小题 17 分)
我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了了解全市居民生活用水量分布情况，
通过抽样，获得 100 户居民月均用水量(单位：m3)，将数据按照[0,4), [4,8)，…，[32,36)分成 9 组，制成如
图所示的频率分布直方图．为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第
一阶梯为每户每月用水量不超过 20m3的部分按 3 元/m3收费，第二阶梯为超过 20m3但不超过 28m3的部分
按 5 元/m3收费，第三阶梯为超过 28m3的部分按 8 元/m3收费．
(1)求直方图中 的值；
(2)已知该市有 20 万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过 60 元的用户数；
(3)该市政府希望使至少有 95％的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准，请根据样本数据判断，现行收
费标准是否符合要求？若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少m3？
19.(本小题 17 分)
如图所示，在长方形 中， = 2, = 1， 为 的中点，以 为折痕，把 折起到 ′ 的位
置，且平面 ′ ⊥平面 ．
第 4页，共 8页
(1)求证： ′ ⊥ ；
(2)求四棱锥 ′ 的体积；
(3)在棱 ′上是否存在一点 ，使得 ′ //平面 ，若存在，求出点 的位置；若不存在，请说明理由．
第 5页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 5
13.10π
14.70；130
15.解：(1)由 ⊥ 可得， = 3cos sin = 0，所以 tan = 3，而 ∈ 0, π π，所以 = 3．
(2)由 3sin = 2sin 得 3 = 2 ，而 2 = 2 + 2 2 cos = 7 9 3，即 7 = 2 + 4
2 22 ，解得
2 = 4，所
以 = 2, = 3，故 1 1 3 3 3的面积为 = 2 sin = 2 × 2 × 3 × 2 = 2 ．
16.解：(1)解：由题意有(0.005 + 0.010 + + 0.030 + + 0.015) × 10 = 1，解得 = 0.020．
(2) 70+80解：应聘者笔试成绩的众数为 2 = 75，
应聘者笔试成绩的平均数为 45 × 0.05 + 55 × 0.1 + 65 × 0.2 + 75 × 0.3 + 85 × 0.2 + 95 × 0.15 = 74.5．
(3) ∵ 150解： 200 = 0.75，所以，面试成绩的最低分为 25％百分位数，
前两个矩形面积之和为 0.05 + 0.1 = 0.15，前三个矩形的面积之和为 0.15 + 0.2 = 0.35，
设 25％百分位数为 ，则 0.15 + ( 60) × 0.02 = 0.25，解得 = 65．
因此，若计划面试 150 人，估计参加面试的最低分数线为 65．
17.解：(1)三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ，而 平面 ，则 ⊥ 1，
第 6页，共 8页
又 ⊥ ， ∩ 1 = ， , 1 平面 1 ，于是得 ⊥平面 1 ，而 平面 1 ，
所以平面 1 ⊥平面 1 ．
(2)连接 1，如图，因点 ， 分别是线段 1 1， 1 的中点，则 // 1，因 1 平面 1 1，
平面 1 1，
因此， //平面 1 1，而平面 1 ∩平面 1 1 = ， 平面 1，
所以 // ．
18.解：(1)由直方图可知，
(0.010 + 0.020 + + 0.050 + 0.065 + + 0.015 + 0.010 + 0.005) × 4 = 1，
解得： = 0.0375；
(2)居民用水量为 20m3时，收费为 60 元，
所以用水费用不超过 60 元，则用水量小于等于 20m3，
由频率分布直方图可知，用水量小于等于 20m3的频率为(0.010 + 0.020 + 0.0375 + 0.050 + 0.065) × 4 =
0.73；
20 × 0.73 = 14.6 万户，
所以全市居民中月均用水费用不超过 60 元的用户数为 14.6 万户．
(3)抽取的 100 户居民月均用水量不超过 28m3的频率为：
(0.010 + 0.020 + 0.0375 + 0.050 + 0.065 + 0.0375 + 0.015) × 4 = 0.94，
0.94 < 0.95，所以现行收费标准不符合要求，
抽取的 100 户居民月均用水量不超过32m3的频率为：
(0.010 + 0.020 + 0.0375 + 0.050 + 0.065 + 0.0375 + 0.015 + 0.010) × 4 = 0.98，
0.95 0.94
0.98 0.94 × (32 28) = 1，
现行收费标准不符合要求，需将第二阶段用水量的上限至少上调到29m3．
第 7页，共 8页
19.解：(1)根据题意可知，在长方形 中， 和 为等腰直角三角形，
∴ ∠ = ∠ = 45 ，
∴ ∠ = 90 ，即 ⊥ ．
∵平面 ′ ⊥平面 ，
且平面 ′ ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ′ ，
∵ ′ 平面 ′ ，∴ ′ ⊥ ．
(2) 2如图所示，取 的中点 ，连接 ′ ，则 ′ ⊥ ，且 ′ = 2 ．
∵平面 ′ ⊥平面 ，且平面 ′ ∩平面 = ， ′ 平面 ′ ，
∴ ′ ⊥平面 ，
∴ 1 ′ 1 1 2 2 ′ = 3 = 3 × 2 × (1 + 2) × 1 × 2 = 4 ．
(3)连接 交 于点 ，假设在 ′ 上存在点 ，使得 ′ //平面 ，连接 ．
∵ ′ 平面 ′ ，平面 ′ ∩平面 = ，
∴ ′ // ，∴在 ′ = 中， ′ ．
∵ ∽△ ∴ ， =

=
1
2，
∴ = = 1，即 = 1 ′，
′ 2 3
∴在棱 ′上存在一点 ，且 = 1 ′3 ，
使得 ′//平面 ．
第 8页，共 8页

展开更多......

收起↑