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2024-2025 学年江苏省常州市北郊高级中学高一下学期 5 月阶段调研
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1+i.已知复数 在复平面内对应的点是(0,1)，则 =( )
A. 1 + i B. 1 i C. 1 + i D. 1 i
2.已知 , 表示两个不同的平面， , , 表示三条不同的直线，( )
A.若 // , ，则 // B.若 , , ⊥ , ⊥ ，则 ⊥
C.若 , , // , // ，则 // D.若 ⊥ , // , ，则 ⊥
3.如图，某四边形 的直观图是正方形 ′ ′ ′ ′，且 ′(1,0), ′( 1,0)，则原四边形 的面积
等于( )
A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2
4.已知 , 是单位向量，满足 ⊥ 2 ，则 与 的夹角为( )
A. π B. π C. 2π6 3 3 D.
5π
6
5.如图是一个边长为 2 的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的是( )
A.直线 与直线 相交； B.直线 与直线 平行；
C.直线 与直线 垂直； D.直线 与直线 垂直；
6 tan 1 π.已知1+tan = 2，则 cos(2 + 4 )的值为( )
A. 7 2 2 2 7 210 B. 10 C. 10 D. 10
7.已知 , 为锐角，cos = 17，sin( + ) =
5 3
14 ，则 cos =( )
A. 12 B.
1 71 1 71
2 C. 98 D. 2或98
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8.如图，在三棱锥 中， = = = 2 2, = = 2，二面角 的正切值是 2，则
三棱锥 外接球的表面积是( )
A. 12π B. 4π C. 4 3π D. 4 33 π
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 1， 2，则下列命题正确的有( )
A.若 21 + 22 = 0，则 1 = 2 = 0 B.若 1 = i 2，则 1 = 2
C.若 1 = 2，则 1 2 = 21 D.若 1 = 2 ，则 2 21 = 2
10.在 π中， = 6， = 2，下列结论正确的是( )
A.若 = 3，则 = 1
B.若 = 2，则 = π4
C.若 有两解，则 ∈ (1,2)
D.若 是锐角三角形，则 ∈ 3, 4 33
11.如图，点 是棱长为 2 的正方体 1 1 1 1的表面上一个动点， 是线段 1 1的中点，则( )
A.若点 满足 ⊥ 1 ，则动点 的轨迹长度为 4 2 + 4
B.当点 在棱 1上时， + 1的最小值为 5
C.当直线 与 所成的角为 45°时，点 的轨迹长度为π + 4 2
D.当 在底面 上运动，且满足 //平面 1 1时，线段 长度最大值为 2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知圆锥的底面半径为 2，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的表面积为 ．
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13.已知正三棱柱 1 1 1的各条棱长都是 2，则直线 1与平面 1 1 所成角的正切值为 ．
14.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽
的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点 是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上 ，
两点与点 在同一条直线上，且在点 的同侧.若在 ， 处分别测得球体建筑物的最大仰角为60 和30 ，且
= 40，则根据测得的球体高度可计算出球体建筑物的体积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在 中， = 2 ， 是 的中点，设 = ， = ．
(1)试用 ， 表示 ， ；
(2)若 = = 1， 与 的夹角为 60°，求 ．
16.(本小题 15 分)
在直棱柱 中，底面 为平行四边形， ⊥ ， , , 分别为线段 , , 的中点．
(1)证明： = ；
(2)证明：平面 //平面 ．
17.(本小题 15 分)
已知 sin 的内角 , , 所对的边分别为 , , ，且sin +sin sin = + ．
(1)求 ；
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(2)若 + 2 = 2 3sin + 4 3sin ，求 周长的最大值．
18.(本小题 17 分)
如图，四边形 是圆柱 的轴截面，点 在底面圆 上，圆 的半径为 1， = 3，点 是线段 的中
点．
(1)证明： //平面 ；
(2)若直线 与圆柱底面所成角为 45°，求三棱锥 的体积．
19.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ， ⊥ ，底面 为等腰梯形， /\ !/ ，且 =
2 = 2 = 2．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2) 3若点 到平面 的距离为 2 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.6π
13. 155
14.32000π3
15.(1)因为 = 2 ，所以 = 2 3 ，
所以 = + = + 2 = + 2 ( ) = 1 + 2 = 1 2 3 3 3 3 3 + 3 ．
因为 是 的中点，
1
所以 = + = 1 2 2 2 + 3
= 1 + 1 ( 2 3 )
= 5 1 56 + 3 = 6 +
1
3 ．
(2)因为 = = 1， 与 的夹角为 60°，
= cos , = 1 × 1 × 1 = 1所以 2 2，
(1) = 1 + 2由 知， ， 5 1 3 3 = 6 + 3 ，
所以 = 1 + 2
2
3 3
56 +
1
3
= 518
2 4 + 2 9 9
= 518
4 × 19 2 +
2 5
9 = 18．
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16.(1)连接 ， ，
因为底面 为平行四边形，且 为 的中点，
所以 为 的中点，
因为棱柱 为直棱柱，
所以 ⊥平面 ，且 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ，且 ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 为 的中点，所以 是 边上的中线，
所以 = ．
．
(2)因为 中， , 分别为线段 , 的中点，所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
因为 中， , 分别为线段 , 的中点，所以 // ，
因为直棱柱 ，所以 // ，所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
因为 ∩ = ，且 平面 ， 平面 ，
所以平面 //平面 ．
．
17.(1) sin 由正弦定理及sin +sin sin = + ，得 + = + ，
∴ = ( + )( + ) = 2 ( )2 = 2 2 + 2 2 ，
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2 2 2
∴ 2 + 2 2 = , ∴ cos = + 12 = 2，
∵ ∈ (0, π), ∴ = π3．
(2)设 的外接圆半径为 ，
由 + 2 = 2 3sin + 4 3sin 及正弦定理，
得 2 sin + 4 sin = 2 3sin + 4 3sin ，
∴ = 3, ∴ = 2 3sin = 2 3 × sin π3 = 3．
由余弦定理得， 2 = 2 + 2 = ( + )2 3 ≥ ( + )2 3 ( + )2 = 1 ( + )24 4 ，
∴ ( + )2 ≤ 36，当且仅当 = = 3 时取等号，∴ + ≤ 6，
∴△ 周长的最大值为 9．
18.(1) 1如图，取 的中点 ，连接 , ，则 // 且 = 2 ，
又 // 且 = 12 ，所以 // 且 = ，
所以四边形 为平行四边形，则 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)如图，连接 , ，过 作 ⊥ 于点 ，
因为 ⊥底面圆 ， 底面圆 ，所以 ⊥ ，
又 ∩ = , 、 平面 ，所以 ⊥平面 ．
1
则 = = 3 ．
因为直线 与圆柱底面所成角为45°， ⊥底面圆 ， 底面圆 ，
所以 ⊥ ，则∠ 即为直线 与圆柱底面所成角，
即∠ = 45°，由 = 3，得 = = 3，
所以 =
1
2 = 3，
在 中， = 3, = 2, ⊥ ，所以 = 1，
1由 = 2 , =
1
2
1
，得2 =
1
2 ，
3
解得 = 2 .所以 = =
1 1 3 1
3 = 3 3 2 = 2．
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19.(1)因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
又 平面 ， ⊥ ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ，
3 1
过 作 ⊥ 交 于点 ，则由题意 = 2 , = 2，
所以 = 2 2 = 32 ， =
2 + 2 = 3，
所以 2 + 2 = 2，即 ⊥ ，又 ∩ = ， 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
(2)过 作 ⊥ 交 于点 ，
由(1)可得平面 ⊥平面 ，又平面 ∩平面 = ，
3
所以 ⊥平面 ，点 到平面 的距离为 2 ，
3
所以 = 2 ，
又由(1) ⊥平面 可得 ⊥ ，
sin∠ = = 1所以 2，所以 tan∠ =

=
3
3 = 1，
延长 , 交于点 ，则 =平面 ∩平面 ，
1 3又由 为等腰梯形，且 = 2 = 2 = 2 以及 = 2， = 2 可得
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= = = 2， , 分别为 , 的中点，
连接 ，则 ⊥ ，且 = 3，
又由 ⊥平面 ，可得 ⊥ ，又 ∩ = ， 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ，过 作 ⊥ ，交 于点 ，连接 ，
则由 ∩ = 得 ⊥平面 ，所以∠ 为二面角的 的平面角，
又在 Rt 和 Rt 中 2 = ， = +
2 = 5，
= · 5 2 2 4 5所以 = 5 ，故 = + = 5 ，
1
所以 cos∠ = = 4．
故平面 1与平面 夹角的余弦值为4．
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