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2024-2025 学年吉林省吉林市第十二中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若点 在直线 上，直线 在平面 内，则下列关系表示正确的是( )
A. B. ∈ C. ∈ D.
2.若 i i = + 5i , ∈ R ，则 + =( )
A. 6 B. 5 C. 6 D. 5
3.已知向量 = ( 2, 1), = ( 1, 1)，则向量 在向量 上的投影向量为( )
A. 6 55 ,
3 5
5 B.
2 5
5 ,
5 6 6 3
5 C. 5 , 1 D. 5 , 5
4.已知 ， ， 为三条不同的直线， ， 为两个不同的平面，若 ∩ = ， ， ，且 与 异面，
则( )
A. 至多与 ， 中的一条相交 B. 与 ， 均相交
C. 与 ， 均平行 D. 至少与 ， 中的一条相交
5.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图 1 所示，可抽象为如图 2 所示的几何体，该几何体是上、下
底面周长分别为 32cm，24cm 的正四棱台，若棱台的高为 3cm，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容
积为( )
A. 1483 cm
3 B. 148cm3 C. 222cm3 D. 298cm3
6.已知 ， ， 是直线 上三个不同的点，点 是直线 外的一点，若 = + (3 4) ∈ R ，则

=( )
A. 53 B.
4
3 C.
5
4 D.
5
2
7.为了测量 、 两岛屿之间的距离，一艘测量船在 处观测， 、 分别在 处的北偏西 15°、北偏东 45°方
向．再往正东方向行驶 48 海里至 处，观测 在 处的正北方向， 在 处的北偏西 60°方向，则 、 两岛屿
之间的距离为( )
A. 28 3海里 B. 28 6海里 C. 24 3海里 D. 24 6海里
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8.在三棱锥 中，平面 ⊥平面 ． = = = 3，∠ = 90°， = 2，则三棱锥
的外接球的表面积为( )
A. 5π B. 16π3 C. 8π D. 20π
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于复数的结论正确的是( )
A. 3 2i 的虚部是 2i
B. 1 2 = 1 2
C. 2 = | |2
D.方程 2 2 + 4 = 0 的根是 = 1 ± 3i
10.已知 是边长为 1 的正六边形 内一点(含边界)，且 = + ， ∈ ，则( )
A. 3的面积恒为 4 B.存在 ，使得
<
C. cos∠ ∈ 1 , 3 D. 2 2
的取值范围是 0, 3
11.如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 1 的正方形， ⊥底面 ， = 2 ，点
为线段 上的动点(不包括端点)，则下列结论正确的是( )
A. 2该四棱锥的体积为 3 B.一定存在点 ，使 //平面
C.一定存在点 ，使 ⊥平面 D. + 的最小值为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在复平面内，复数 2 3i、 1 + 2i 对应的向量分别是 、 ，其中 是坐标原点，则向量 对应的复
数为 ．
13.在 中， 为外心， 为 所在平面内一点，且 = + + ，则点 为 的 心．
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14.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 2， 为 1 1的中点，若过 1 的平面 /\ !/平面 1，则
截该正方体所得截面图形的面积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (2,1)， = ( 2,3)， = (3,1)，
(1)设 = + ，求 ， 的值；
→ → → →
(2)若( + )/\ !/(2 + )，求 的值．
16.(本小题 15 分)
如图所示， ′ ′ ′ ′为四边形 的直观图，其中 ′ ′ ′ ′， ′ ′ = 3， ′ ′ = 1， ′ ′ = 1．
(1)画出四边形 的平面图并标出边长，并求平面四边形 的面积；
(2)若该四边形 以 为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
17.(本小题 15 分)
如图，已知 ⊥平面 ， 为矩形， , 分别为 , 的中点．
(1)证明： ⊥ ；
(2)若∠ = 45°，求证：平面 ⊥平面 ．
18.(本小题 17 分)
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如图，在正方体 1 1 1 1中，点 , , , 分别为棱 , 1 1, 1 1, 1的中点，点 是棱 1 1上
的一点，且 1 = 3 1 ．
(1)求证： , , , 四点共面；
(2)求证： 1 //平面 ；
(3) 已知点 是棱 1 1上的一点，且平面 //平面 ，求 1 的值．1 1
19.(本小题 17 分)
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 = (sin sin , + 3 )， = ( + , sin )，且 ⊥ ．
(1)求 角的大小；
(2)若 = 7 1 ，点 是 的中点，且 = 2，求 的值；
(3)已知 的面积为 3，且 所在平面内的点 满足∠ = ∠ = 12∠ =
π
3，求( + )
2的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3 + 5i/5i 3
13.垂
14.2 6
15.(1) = + = ( 2,3) + (3,1) = ( 2 + 3 , 3 + ) = (2,1)，
= 1 2 + 3 = 2
所以 11
1 8
3 + = 1，解得 8，即 = = 11
， = 11；
11
(2) + = ( 2,3) + (3,1) = ( 2 + 3 ,3 + )，
2 + = 2(2,1) + ( 2,3) = (2,5)，
→ → → →
因为( + )/\ !/(2 + )，所以( 2 + 3 ) × 5 2 × (3 + ) = 0 16，解得： = 13．
16.(1)在直观图中 ′ ′ = 3， ′ ′ = 1， ′ ′ = 1 ′， ′/\ !/ ′ ′，
则在平面图形中 = 3， = ′ ′ = 1， = 2 ′ ′ = 2， ⊥ ， /\ !/ ，
于是 = 22 + 22 = 2 2，
所以平面四边形 的平面图形如下图所示：
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由上图可知，平面四边形 (1+3)×2为直角梯形，所以面积为 2 = 4．
(2)直角梯形 以 为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，
由(1)可知几何体底面圆半径为 = 2，圆柱母线长和高都为 1，即 1 = 1 = 1；
圆锥的高为 2 = 2，母线长为 2 = 2 2，
1
所以体积 = + = 2 + 2柱 锥 1 3 2 = 4 +
8 20
3 = 3 ；
所以表面积 = 2 + 2 1 + 2 = 4 + 4 + 4 2 = 8 + 4 2 ．
17.(1)设 为 的中点，连接 , ．
因为 , 分别为 , 的中点，
所以 // , = 12 ， // , =
1
2 ．
所以 // , = ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 // ．
因为 ⊥平面 ，
所以 ⊥ ．
又因为 ⊥ ，且 ∩ = , , 平面
所以 ⊥平面 ，
所以 ⊥ ．
因为 // ，
所以 ⊥ ．
(2)因为∠ = 45°，
所以 = ，
所以 ⊥ ．
又 ⊥平面 ， // ，
所以 ⊥平面 ，
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所以 ⊥ ．
又因为 ∩ = , , 平面
所以 ⊥平面 ．
因为 // ，
所以 ⊥平面 ．
又因为 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
18.(1)连接 1 1，因为点 , 分别为棱 1 1, 1 1的中点，
所以 // 1 1，
又在正方体 1 1 1 1中 1// 1且 1 = 1，
所以四边形 1 1为平行四边形，
所以 // 1 1，
所以 // ，所以 , , , 四点共面；
(2)连接 1 、 分别交 、 于点 、 ，连接 ，
在正方体 1 1 1 1中， 1 // 且 1 =
1
2 ，

所以 1 ∽△ ，则 1 =
1 1
= 2，
1
同理可得 = = 2，

所以 1 = ，所以 // 1 ，
又 平面 ， 1 平面 ，所以 1 //平面 ；
(3)因为平面 //平面 ，
平面 ∩平面 1 1 1 1 = ，平面 ∩平面 1 1 1 1 = ，
所以 // ，
又 // 1 1，所以 //
1 1 1
1 1，因为 1 = 3 1 ，所以 = = ．1 1 1 1 4
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19.(1)因为 ⊥ 所以 · = (sin sin ) ( + ) + ( + 3 )sin = 0，
角化边可得：( ) ( + ) + ( + 3 ) = 0，
整理可得 2 2 + 2 = 3 ，
2+ 2 2cos = = 3 又因为 2 2 =
3
2 ，
5π
又因为 为三角形的内角，所以 = 6 ．
(2) 5π在 中由余弦定理可得：7 = 2 + 2 2 cos 6，
整理得：7 = 2 + 2 + 3 ；
( 7)2+(1)2 2 4 2 2
在 中由余弦定理可得：cos∠ = 2 2
2× 7 1
=
× 7
，
2 2
( 7)2+(1)2 2 2
在 4 2 中由余弦定理可得：cos∠ = 2 2
2× 7 1
= 7 ，
2 ×2
又因为 cos∠ + cos∠ = 0，所以 2 + 2 = 4，
又因为 7 = 2 + 2 + 3 ，所以 = 3，
2 + 2 = 4 = 1
解方程组： ，解得 或 = 3 ,
= 3 = 3 = 1
3
所以 = 3或 = 3 ．
(3) 1 π方法一：因为点 满足∠ = ∠ = 2∠ = 3，所以点 在 的外部，
设 = ， = ， = ，
当 , 在直线 的异侧时，
在 中由余弦定理有： 2 = 2 + 2 + 3 ，
又因为 的面积为 3，即 3 = 1 sin 5π = 12 6 4 ，所以 = 4 3，
所以 2 = 2 + 2 + 12，
在 中由余弦定理有： 2 = 2 + 2 ，
在 中由余弦定理有： 2 = 2 + 2 ，
在 中由余弦定理有： 2 = 2 + 2 + ，
所以 2 = 2 + 2 + = 2 + 2 + 12 = 2 + 2 + 2 + 2 + 12，
整理得： + + 2 2 = 12，
又因为 + = + ，
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1 3
所以 3 + 2 2 =
1 3 + 1 32 2 2 2 ，
整理得：4 + = + ，即 = + 4，
又因为 + + 2 2 = 12
所以 + + ( + 4) 2 2 = 12 即 + 2 = ( + ) 2 = 8，
所以( + ) 2 = 8；
当 , 在直线 的同侧时，
分别在 ， ， ， 中用余弦定理及 的面积为 3
依然可以得出 + + 2 2 = 12，
又因为 = + + ，
1 3 = 1 3 1 3即2 2 2 2 + 2 2 + 3
整理得： = + + 4，又因为 + + 2 2 = 12，
所以 + + ( + + 4) 2 2 = 12，
即 + 2 = ( + ) 2 = 4，
所以( + ) 2 = 4．
综上所述( + ) 2的值为 8 或 4
1
方法二：因为 的面积为 3，所以2 sin = 3，所以 = 4 3，
若点 与点 在直线 的异侧，设∠ = ，
则∠ = 5π 2π6 ，∠ = 3 ，∠ =
2π 5π3 6 =
π
6，
在 2 中由正弦定理sin = 2π = π，所以 = 3 sin =
2 2π
sin sin
，
3 3
sin 3 ；
3
在 2 5π 2 π中由正弦定理 5π = = ，所以 = sin ， = sin ；sin sin π sinπ 3 6 3 66 6 3
所以( + ) 2 = + 2
4 π 4 5π 2π 4 π 2π
= 3 sin sin 6 + 3 sin 6 sin 3 3 sin 6 sin 3
16 3 3 1 3 1 3 1
= 3 [sin 2 sin 2 cos + 2 sin + 2 cos 2 cos + 2 sin
3 1 3 1
2 sin 2 cos 2 cos + 2 sin ]
16 3 3
= ( sin2
1 3 3 1 3 3
3 2 2 sin cos + 4 cos
2 + sin cos + sin24 2 sin cos 4 sin
2 + 4 cos
2 )
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= 16 3 3 cos2 + 3 sin23 2 2 = 8；
若点 与点 在直线 的同侧，设∠ = ，
则∠ = 7π6 ，∠ =
2π
3
π
，∠ = 2，
2 2 2π
在 中由正弦定理sin = 2π = = sin = sin sinπ
，所以 3 ， 3 sin3 3
；
3
2 7π 2 π在 中由正弦定理
sin 7π
= π = π，所以 = sin ， = sin ；
6 sin 6 22 sin3 3 3
所以( + ) 2 = + 2
4 π 4 7π 2π 4 π 2π
= 3 sin sin 2 + 3 sin 6 sin 3 3 sin 2 sin 3
16 3 3 1 3 1 3 1
= 3 [ sin cos 2 sin + 2 cos 2 cos + 2 sin + cos 2 cos + 2 sin ]
16 3 3 1 3 1 3
= 3 ( sin cos 4 cos
2 + 2 sin cos + 4 sin
2 + 2 sin cos +
2
2 cos )
= 16 3 33 4 cos
2 + 3 sin24 = 4；
综上可得( + ) 2的值为 8 或 4．
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