资源简介

2024-2025 学年福建省永春第一中学高一下学期 5 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 = 2 + 3i，则复平面内复数 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量 = (1,3)， = ( , 1)，满足 = 0，则 =( )
A. 1 B. 3 C. 1 或 2 D. 1 或 2
3.某地为促进消费，向当地市民随机发放了面值 10 元、20 元、50 元的线下消费满减电子券，每位市民可
以领取一张，且每笔消费仅能使用一张.某支持使用该消费券的大型商场统计到某日使用了 10 元、20 元、50
元消费券的消费账单的数量之比为 5 ∶ 3 ∶ 2，若对这些账单用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽
取一个容量为 50 的样本，则样本中使用了 50 元消费券的消费账单的份数为( )
A. 5 B. 10 C. 20 D. 30
4.下列频率分布直方图中，平均数大于中位数的是( )
A. B.
C. D.
5.有下列命题，其中错误命题个数是( )①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②过圆锥顶点的截面是等
腰三角形；③以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥；④平行于母线的平面截圆锥，截面
是等腰三角形．
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
6.下列正方体中， ， 为正方体的两个顶点， ， ， 分别为其所在棱的中点，则能满足 //平面
的是( )
A. B. C. D.
7.某中学的学生社团准备进行一次针对本校学生在食堂加塞插队行为的调查，为了消除被调查者的顾虑，
第 1页，共 10页
使他们能如实作答，学生社团精心设计了一份问卷：
在回答问题前，请自行抛一个硬币：如果得到正面，请按照问题一勾选“是”或“否”；如果得到反
面，请按照问题二勾选“是”或“否”
(友情提示：为了不泄露您的隐私，请不要让其他人知道您抛硬币的结果．)
问题一：您的身份证号码最后一个数是奇数吗？问题二：您是否有在食堂加塞插队的行为？
“是” “否”
学生社团随机选取了 400 名学生进行问卷调查，问卷全部被收回，且有效．已知问卷中有 115 张勾选“是”.
根据上述的调查结果，估计该校学生在食堂有加塞插队行为的概率为( )
A. 3 3 23 2340 B. 20 C. 40 D. 80
8.已知 与 是平面内两个非零向量， = 2， = 3，∠ = 60°，点 是∠ 平分线上的动点.
当 + 取最小值时， 的值为( )．
A. 3 3 . B. 5 3 65 8 ． C. 4 . D.
6
5．
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 = i ,1 i5 是 的共轭复数，则下列说法正确的是( )
A. 1的虚部为 2 B. i = 2
C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 为方程 2 2 + 2 + 1 = 0 的一个根
10.甲、乙两名篮球运动员连续 5 场比赛的得分如图所示，则( )
A.甲得分的极差大于乙得分的极差 B.甲得分的平均数大于乙得分的平均数
C.甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D.甲得分的方差大于乙得分的方差
11.如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角 沿 向上翻折，得三棱锥 .设 = 2，
点 ， 分别为棱 ， 的中点．下列说法正确的是( )．
第 2页，共 10页
A.若平面 与平面 交于直线 ，则 //平面
B.当三棱锥 6体积取得最大值时， 与平面 成角的正切值为 3
C.存在某个位置，使 ⊥
D.若 为线段 上的动点，当 = 时， + 的最小值为 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知角 满足 tan = 2，则 tan( + 45 ) = ．
13.垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的
一系列活动的总称．垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．为进一步在社会上普
及垃圾分类知识，某中学学生积极到社会上举行垃圾分类的公益讲座，该校学生会为了解本校高一年级
1000 名学生课余时间参加公益讲座的情况，随机抽取 50 名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下：
参加场数 0 1 2 3 4 5 6 7
参加人数占调查人数的百分比8%10%20%26%18%12%4%2%
下列估计该校高一学生参加公益讲座的情况正确的是 ．
(1)参加公益讲座次数是 3 场的学生约为 360 人；
(2)参加公益讲座次数 2 场和 4 场的学生约为 480 人；
(3)参加公益讲座次数不高于 2 场的学生约为 280 人；
(4)参加公益讲座次数不低于 4 场的学生约为 360 人．
14.已知正三棱锥 ，底面边长为 3，二面角 的正切值为 2 3，则正三棱锥 的外接
球半径为 ， , 分别为正三棱锥 内切球，外接球球面上的动点，则线段 长度的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 和 ，且 = 2, = 2，< , > = 60 求：
(1) 的值
(2) 2 + 的值
(3)2 + 与 的夹角 的余弦值．
16.(本小题 15 分)
+
在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 tan 2 + tan 2 = 4．
(1)求 ；
(2)若 = 2，求 的面积 的取值范围．
第 3页，共 10页
17.(本小题 15 分)
云南师大附中在组织选拔数学英才班的过程中，对高一年级的 300 名学生进行了一次测试．已知参加此次
测试的学生的分数 ( = 1,2, , 300)全部介于 45 分到 95 分之间，学校将所有分数分成 5 组：
[45,55), [55,65)，…，[85,95]，整理得到如图所示的频率分布直方图(同组数据以这组数据的中间值作为代
表)．
(1)求 的值，并估计此次校内测试分数的平均值 ；
(2)学校要求按照分数从高到低选拔首 100 名的学生进行培训，试估计这 100 名学生的最低分数(计算结果
保留一位小数)；
(3)试估计这 300 名学生的分数 ( = 1,2, , 300)的方差 2，并判断此次得分为 63 分和 86 分的两名同学的
成绩是否进人到了[ , + ]范围内？
( 1参考公式： 2 = 2 =1 ，其中 为各组频数，参考数据： 129 ≈ 11.4).
18.(本小题 17 分)
如图 1，设半圆的半径为 2，点 ， 三等分半圆， ， ， 分别是 ， ， 的中点，将此半圆以 为
母线卷成一个圆锥(如图 2).在图 2 中完成下列各题．
(1)求证：平面 //平面 ．
(2)求四面体 的体积．
第 4页，共 10页
(3)若 是 的中点，在线段 上是否存在一点 ，使得 //平面 ？若存在，求 的值，并证明你的结
论；若不存在，说明理由
19.(本小题 17 分)
已知集合 = { | = ( 1, 2, , ), ∈ , = 1,2, , } ( ≥ 2).对于 = ( 1, 2, , )， =
( 1, 2, , ) ∈ ，定义 = ( 1 1, 2 2, , )； ( 1, 2, , ) = ( 1, 2, , ) ( ∈ )；
与 之间的距离为 ( , ) = =1 | |．
(Ⅰ)当 = 5 时，设 = (1,2,1,2, 5)， = (2,4,2,1,3).若 ( , ) = 7，求 5；
(Ⅱ)(ⅰ)证明：若 , , ∈ ，且 > 0，使 = ，则 ( , ) + ( , ) = ( , )；
(ⅱ)设 , , ∈ ，且 ( , ) + ( , ) = ( , ).是否一定 > 0，使 = ？说明理由；
(Ⅲ)记 = (1,1, , 1) ∈ .若 ， ∈ ，且 ( , ) = ( , ) = ，求 ( , )的最大值．
第 5页，共 10页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3
13.(4)
14.2；3
15.(1) ∵ = 2, = 2, < , > = 60 ．
∴ = 2 × 2 × cos60° = 2;
(2) ∵ (2 +
2
)2 = 4 2 + 4 + = 16 + 8 + 4 = 28，
∴ 2 + = 2 7;
(3) ∵ 2 +
2
= 2 + = 4 + 4 = 8，
→ → →
2 + 8 2 7
∴ cos = → → → = = .
2 + 2 7× 2 7
sinπ 16.(1) tan + cos sin因为 2 + tan

2 = tan
π
2 + tan
= 2 2 22 cosπ
+ tan 2 = +sin cos 2 2 2
cos2 2
= 2
+sin 2 = 1 1
sin cos
= 1 ，
2 2 sin2cos2 2sin
1 1 π
所以1 = 4，所以 sin = 2，因为 为锐角三角形，所以 = 6；
2sin
(2)因为 + + = π = π 5π， 6，所以 = 6 ，
= 2 由正弦定理sin sin 得sin = ，sin 5π6
第 6页，共 10页
2sin 5π
所以 = 6
cos + 3sin 1
sin = sin = 3 + tan ，
1 1 1 1 1
所以 = 2 sin = 2 × 2 × × 2 = 2 × 3 + tan ，
0 < < π2 π π 1 3
由
0 < 5π π
可得3 < < 2，所以 tan > 3，所以 0 < < tan
< 3 ，
6 2
3 < 1 1 2 3 3 2 3所以 2 2 × 3 + tan < 3 ，即 ∈ 2 , 3 ．
17.(1) ∵ (0.006 + 0.014 + + 0.036 + 0.020) × 10 = 1，所以 = 0.024，
所以该次校内考试测试分数的平均数的估计值为：
50 × 0.06 + 60 × 0.14 + 70 × 0.24 + 80 × 0.36 + 90 × 0.2 = 75 分.
(2) 300 100 2 2因为 300 = 3，0.06 + 0.14 + 0.24 = 0.44 < 3 < 0.8 = 0.06 + 0.14 + 0.24 + 0.36
设这 100 名学生的最低分数为 ，
则 0.06 + 0.14 + 0.24 + 0.036( 75) = 23，解得 ≈ 81.3
所以这 100 名学生的最低分数的估计值为 81.3 分.
1
(3) ∵ 2 =
2
=1
= 0.06 × (50 75)2 + 0.14 × (60 75)2 + 0.24 × (70 75)2 + 0.36 × (80 75)2 + 0.2 × (90 75)2
= 129，
∴ = 129 ≈ 11.4, ∴ = 63.6, + = 86.4，
故得分为 63 分的同学的成绩没有进入到[63.6,86.4]内，
得分为 86 分的同学的成绩进入到了[63.6,86.4]内.
即：得分为 63 分的同学的成绩没有进入到[ , + ]范围，
得分为 86 分的同学的成绩进入到[ , + ]范围了．
18.(1)证明：因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，同理得 //平面 ，
又 平面 ， 平面 ， ∩ = ，
所以平面 //平面 ．
(2)如图所示：
第 7页，共 10页
1
设圆锥的底面圆半径为 ，则 2π = 2 × 2π × 2，解得 = 1．
所以在图中， ， 为圆锥的底面圆周的三等分点，
所以 为等边三角形，所以sin60° = 2 = 2，所以 = 3．
1 3 3 3 2 2 = 2 × 3 × 3 × 2 = 4 ，圆锥的高 = 2 1 = 3，
1 3 3 3
所以 = 3 × 4 × 3 = 4，
1 1
所以 = 2 = 2 ×
1
2
1 3
= 4 = 16，
即四面体 3的体积为16．
(3)如图所示：
在线段 上存在点 ，且 = 3，使得 //平面 ，
理由如下：
取 的中点 ，且 是 的中点，连接 ，
所以 // ，2 = ．
取 的四等分点 ，使 = 3 ，连接 ， ．
因为 = 3 ，所以 // ，4 = ，
所以 2 = = 2 ， // ，所以四边形 是平行四边形，
所以 // ，又 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ．
第 8页，共 10页
19.(Ⅰ)当 = 5 时，由 ( , ) = 5 =1 | | = 7，
得|1 2| + |2 4| + |1 2| + |2 1| + | 5 3| = 7，即| 5 3| = 2．
由 5 ∈ ，得 5 = 1，或 5 = 5．
(Ⅱ)(ⅰ)证明：设 = ( 1, 2, , )， = ( 1, 2, , )， = ( 1, 2, , )．
因为 > 0，使 = ，
所以 > 0，使得( 1 1, 2 2, , ) = (( 1 1, 2 2, , ),
即 > 0，使得 = ( )，其中 = 1,2, , ．
所以 与 ( = 1,2, , )同为非负数或同为负数．
所以 ( , ) + ( , ) = =1 | | + =1 | | =

=1 (| | + | |)
= =1 | | = ( , )．
(ⅱ)设 , , ∈ ，且 ( , ) + ( , ) = ( , )，此时不一定 > 0，使得
= ．
反例如下：取 = (1,1,1, , 1)， = (1,2,1,1, , 1)， (2,2,2,1,1, , 1)，
则 ( , ) = 1， ( , ) = 2， ( , ) = 3，显然 ( , ) + ( , ) = ( , )．
因为 = (0,1,0,0, , 0)， = (1,0,1,0,0, , 0)，
所以不存在 > 0，使得 = ．
(Ⅲ)解法一：因为 ( , ) = =1 | |，
设 ( = 1,2, , )中有 ( ≤ )项为非负数， 项为负数．不妨设 = 1,2, , 时 ≥ 0； =
+ 1, + 2, , 时， < 0．
所以 ( , ) = =1 | |
= [( 1 + 2 + + ) ( 1 + 2 + + )] + [( +1 + +2 + + ) ( +1 + +2 + + )]
因为 ( , ) = ( , ) = ，
所以 =1 ( 1) =

=1 (

1)， 整理得 =1 = =1 ．
所以 ( , ) = =1 | | = 2[ 1 + 2 + + ( 1 + 2 + + )]．
因为 1 + 2 + + = ( 1 + 2 + + ) ( +1 + +2 + + )
≤ ( + ) ( ) × 1 = + ；
又 1 + 2 + + ≥ × 1 = ，
所以 ( , ) = 2[ 1 + 2 + + ( 1 + 2 + + )]
第 9页，共 10页
≤ 2[( + ) ] = 2 ．
即 ( , ) ≤ 2 ．
对于 = (1,1, , 1, + 1)， = ( + 1,1,1, , 1)，有 ， ∈ ，且 ( , ) = ( , ) = ， ( , ) = 2 ．
综上， ( , )的最大值为 2 ．
解法二：首先证明如下引理：设 , ∈ ，则有| + | ≤ | | + | |．
证明：因为 | | ≤ ≤ | |， | | ≤ ≤ | |，
所以 (| | + | |) ≤ + ≤ | | + | |，
即| + | ≤ | | + | |．
所以 ( , ) = =1 | | = =1 |( 1) + (1

)| ≤ =1 (| 1| + |1 | )
= =1 | 1| + =1 | 1| = 2 ．
上式等号成立的条件为 = 1，或 = 1，所以 ( , ) ≤ 2 ．
对于 = (1,1, , 1, + 1)， = ( + 1,1,1, , 1)，有 ， ∈ ，且 ( , ) = ( , ) = ， ( , ) = 2 ．
综上， ( , )的最大值为 2 ．
第 10页，共 10页

展开更多......

收起↑