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2024-2025学年广西南宁市第三中学高一下学期月考(三)
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = |0 ≤ ≤ 4 ， = | 2 2 3 ≤ 0 ，则 ∩ =( )
A. [ 1,4] B. [ 1,0] C. [0,3] D. [3,4]
2.已知复数 = 1+3i2+i ，则| | =( )
A. 1 B. 2 C. 25 D.
2 2
5
3.某学校有高中学生 1000 人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为 320，300，380，为了
调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个样本量为 200 的样
本，那么应抽取高二年级学生的人数为( )
A. 50 B. 60 C. 70 D. 80
4.水平放置的四边形 的斜二测直观图是直角梯形 ′ ′ ′ ′，如图所示．其中 ′ ′ = ′ ′ = 1，
则原平面图形的面积为( )
A. 3 28 B.
3 2
4 C. 3 2 D. 6 2
5.如图，在 中， = 2 ，过点 的直线分别交直线 ， 于不同的两点 ， .设 = ， = ，
则 2 + 的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.在正三棱锥 中， = 4， = 6， 是 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是( )
A. 3 B. 3 C. 69 3 9 D.
6
3
7.在 中，若∠ = 60°， = 3， 13边上的中线长为 2 ，则 sin =( )
A. 2114 B.
7 3 21
14 C. 14 D. 7
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8.已知 ， ， 是函数 ( ) = 2 log3 图象上的三点， 在 轴上，且 // 轴，若 = 24，则
的值为( )
A. 0 B. 1 C. 107 D. 82
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组样本数据 1,2,3, 2,1,2,2，则( )
A.该样本数据的平均数为 1 B.该样本数据的众数与中位数相同
C.该样本数据的方差大于极差 D.该样本数据的标准差小于众数
10. 的内角 , , 的对边分别为 , , ，且(2 )cos = cos ， = 2，若边 的中线 = 3，则
下列结论正确的有( )
A. = π3 B. =
π
6
C. = 2 D. 的面积为 3
11.如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中，点 为线段 1上的动点，动点 在平面 1 中，则
下列说法中正确的是( )
A.当 为线段 1中点时，平面 1截正方体所得的截面为平行四边形
B.当四面体 的顶点在一个体积为 36π的球面上时， = 1
C.当 ∈ 1 时， + 取得最小值 2 2 + 2
D. 1 +
2
的最小值为9 33
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知向量 ， 的夹角为 45°，且 = 1， = 2，则 + 2 = ．
13.将扇形纸壳 剪掉扇形 后得到扇环 ， = = 6 π，∠ = 3，如图 1，用扇环 制成
一个圆台的侧面，如图 2，则该圆台的体积为 ．
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14.如图，在三棱锥 中， = = 5， ⊥ ， = = 2，二面角 的大小为 120°，
则三棱锥 的外接球表面积为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点．
(1)证明： 1 ⊥ 1 ；
(2)求点 到平面 1 的距离．
16.(本小题 15 分)
对于居民生活用水，某市实行阶梯水价．具体来说，季度用水量在 40m3及以下的部分，收费标准为 3 元/m3；
季度用水量超过 40m3但不超过 80m3的部分，收费标准为 4 元/m3；季度用水量超过 80m3的部分，收费标
准为 6 元/m3．
(1)求某户居民用水费用 (单位：元)关于季度用水量 (单位：m3)的函数关系式；
(2)为了了解居民的用水情况，通过抽样获得了 2024 年第三季度本市 1000 户居民每户的季度用水量，统
计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这 1000 户居民中，季度用水费用超过 200 元的有 400 户，
求直方图中 , 的值以及季度用水量的第 75 百分位数．
17.(本小题 15 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 2 = 2 + 2 ．
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(1)若 = 2 3，求△ 面积的最大值；
(2)若∠ 的角平分线交 于点 ，且 = 3， = 4，求 边的长度．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ⊥底面 ， = 1， = = 2， 是 的中点，
作 ⊥ 交 于点 ．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求 的长；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．
19.(本小题 17 分)
设 为坐标原点，定义非零向量 = ( , )的“相伴函数”为 ( ) = sin + cos ， ∈ R，函数 ( ) =
sin + cos , ∈ R 的“相伴向量”为 = ( , ).记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为 ．
(1)设 ( ) = sin + cos ，若 ( )的值域为[ 1,1]，求证：其“相伴向量” 为单位向量；
(2)设 ( ) = cos( + ) + 2cos ，若 ( ) ∈ ，求其“相伴向量” 的模的取值范围；
(3)设 = ( , ), ∈ 0, 3 ，若 的“相伴函数” ( )在 = 0处取得最大值，求 cos2 0 + tan
2 0的取值
范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 13
13.7 35π3
14.49π/49 3 3
15.解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为 2，则 (2,1,0)， (1,2,0)， 1(2,0,2)， 1(0,2,2)， (0,1,0)，
1 = ( 1,2, 2)， 1 = (2, 1, 2)
故 1 1 = ( 1,2, 2) (2, 1, 2) = 2 2 + 4 = 0，因此 1 ⊥ 1 ，故 1 ⊥ 1
(2)因 1 = (0,0,2)， = ( 2,1,0)，设平面 1 的一个法向量 = 1, 1, 1 ，
·
则 1
= 2 1 = 0
，则满足条件的一个 = (1,2,0)， · = 2 1 + 1 = 0
1 3 3 5
因为 1 = ( 1,2, 2)，故点 到平面 1 的距离 = = 5 = 5 ．
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16.解：(1)当 0 ≤ ≤ 40 时， = 3 ；
当 40 < ≤ 80 时， = 3 × 40 + 4( 40) = 4 40；
当 > 80 时， = 3 × 40 + 4 × 40 + 6( 80) = 6 200；
3 , 0 ≤ ≤ 40
所以 与 之间的函数关系式为 = 4 40,40 < ≤ 80．
6 200, > 80
(2)由(1)知，当 = 200 时， = 60，即季度用水量超过 60m3的占 40％，
0.005 × 20 + 20 + 0.015 × 20 = 0.6
结合频率分布直方图知 20 + 20 + 0.0025 × 20 = 0.4，解得 = 0.0075, = 0.0100．
设第 75％分位数为 ，
因为季度用水量低于 60m3的所占比例为 60％，低于 80m3的占 0.6 + 20 × 0.01 = 80％，
所以第 75％分位数 在[60,80)内，故 0.6 + ( 60) × 0.01 = 0.75，解得 = 75，
即季度用水量的第 75％分位数为 75m3．
2 2 2
17.解：(1)因 2 = 2 + 2 ，即 2 + 2 2 = ，由余弦定理可知 cos = + 12 = 2，
又 ∈ 0, π ，则 = π；又因为 23 =
2 + 2 ≥ 2 = ，
故 1 1 3 = 2 sin ≤ 2 × 12 × 2 = 3 3(当且仅当 = = 时等号成立)
所以△ 面积的最大值为 3 3
(2)由已知∠ π的角平分线交 于点 ，则∠ = ∠ = 6，
又在△ 1 1 1中， = + ，即2 sin = 2 sin∠ + 2 sin∠ ，
1 3 1
即2 × 3 × 4 × 2 = 2 × 4 × ×
1 1 1 12 3
2+ 2 × 3 × × 2，解得 = 7 ．
18.解：(1)以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示空间直角坐标系 ．
由题意知： (0,0,2)， (1,2,0)， (0,1,1)，
则 = (1,2, 2)， = (0,1,1)．
∵ = 0 + 2 2 = 0
∴ ⊥
又∵ ⊥ , ∩ = , , 平面 ，
∴ ⊥平面 ．
(2)由题意知： = ( 1, 2,2)， = (1,1, 1)．
设 = (0 ≤ ≤ 1)，
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则 = + = (1,1, 1) + ( 1, 2,2) = (1 , 1 2 , 2 1)．
∵ ⊥ ，
∴ = 0，
即(1 , 1 2 , 2 1) ( 1, 2,2) = 0，
展开有： 1 + 4 2 + 4 2 = 0，
5
解得： = 9．
故 = 5 9 ，
则有 = 5 9
= 53；
(3)由题意知： = (1,2,0), = (0,1,1)，
设平面 的法向量 = ( , , )，
有 = 0
+ 2 = 0
则 + = 0，令 = 1，则 = ( 2,1, 1)， = 0
由(1)知 ⊥ 平面 ，则平面 的一个法向量为 = ( 1, 2,2)，
设平面 与平面 所成的角为 ，

则 cos = cos , = = 2 2 2 6
6×3
= 9 ，
6所以平面 与平面 夹角的余弦值为 9 ．
19.解：(1) ( ) = sin + cos = 2 + 2sin( + )的值域为[ 1,1]，所以 2 + 2 = 1，所以函数 ( )
的相伴向量 = ( , )， = 2 + 2 = 1，
所以函数 ( ) = sin + cos , ∈ R 的“相伴向量” 为单位向量；
(2) ( ) = cos( + ) + 2cos = cos cos sin sin + 2cos = cos + 2 cos sin sin ，所以 ( )的

“相伴向量” = sin , cos + 2 ，
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= ( sin )2 + (cos + 2)2 = 5 + 4cos ，
∴ | |max = 5+ 4 = 3，| |min = 5 4 = 1，
∴ 的取值范围为[1,3]；
(3) 的“相伴函数” ( ) = sin + cos = 2 + 2sin( + ) cos = sin = ，其中 ， ，
2+ 2 2+ 2
tan = ．
当 + = 2 π + π π2， ∈ Z 即 0 = 2 π + 2 ， ∈ Z 时 ( )取得最大值．
sin 2 π+π 2 2
所以 tan 0 = tan 2 π +
π 2 cos 2 2 cos 0 sin 0
2 = =cos 2 π+π sin = ，tan 0 + cos2 0 = tan 0 +2 cos
2 20+sin
=
0
1 tan2tan2 00 + 1+tan2 0

当 ∈ 0, 3 , tan
2 ∈ (0,3) 1 20 时，设tan2 0 = ∈ (0,3)，令 = + 1, + 1+ = + 2
又 = + 1 ∈ (1,4)
2
，因为 = + 2 在 1, 2 上单调递减，在 2, 4 上单调递增，
2 5
所以当 = 2时 tan2 0 + cos2 20 min = 2 2 2，当 = 4 时 tan 0 + cos2 0 max = 4 + 4 2 = 2，
所以tan2 0 + cos2 0 ∈ [2 2 2,
5
2 )．
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