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2024-2025 学年广东省深圳市坪山区聚龙科学中学教育集团高一下学
期 5 月期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 i = 2 + i，则复数 的虚部为( )
A. 2 B. 2 C. 2i D. 2i
2.已知向量 = (3, ), = (2, 2)，若 + ⊥ ，则 =( )
A. 1 B. 1 C. 3 D. 7
3.某中学有高中生 1000 人，初中生 3000 人.为了解学生的身心发展情况，按比例采用分层随机抽样的方法
从该校学生中抽取一个容量为 80 的样本，则抽中的高中生人数为( )
A. 5 B. 10 C. 20 D. 30
4.如图，已知水平放置的四边形 的斜二测直观图为矩形 ′ ′ ′ ′，已知 ′ ′ = 2， ′ ′ = 1，
则四边形 的面积为( )
A. 4 2 B. 4 3 C. 8 2 D. 8 3
5.在正方体 1 1 1 1中，异面直线 1与 1 1所成角的度数为( )
A. π B. π6 4 C.
π π
3 D. 2
6.若 为正方形， 是 的中点，且 = ， = ，则 等于( )
A. + 1 3 1 3 2 B. 2 C. + 2 D. 2
7 1.如图所示， 中，点 是线段 的中点， 是线段 上的动点，若 = + 2 ，则 + 的值
为( )
A. 1 B. 3
C. 5 D. 8
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8.如图， 是坐标原点， ， 是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，则| + |的范围为( )
A. [0, 2) B. [0,2) C. [1, 2) D. [1,2)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，则下列结论正确的是( )
A.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // B.若 // ， ， ，则 //
C.若 // ， ⊥ ，则 ⊥ D.若 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
10.如图，在正方体 1 1 1 1中， ， 分别为棱 1 1, 1 的中点，则以下四个结论中，正确的有( )
A.直线 与 1是相交直线 B.直线 与 1是异面直线
C. 与 平行 D.直线 1 与 共面
11.对于 ，有如下判断，其中错误的是( )
A.若 > ，则 sin > sin B. 若 cos = cos ，则 是等腰三角形
C.若 = ，则 = D.若sin2 + sin2 < sin2 ，则 是锐角三角形
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (5,6)， = (3, )， = ( 1,2 )，若 ， ， 三点共线，则 = ．
13.在正四棱台 1 1 1 1中， = 3, 1 1 = 1, 1 = 3，则该棱台的体积为 ．
14.如图所示，在正方形 中， 是 的中点， 在 上且 = 2 ， 与 交于点 ，则
cos∠ = ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 = 3, = 2, ( ) (2 + 3 ) = 9．
(1)求 和 的夹角；
(2)若向量 为 在 上的投影向量，求 + ．
16.(本小题 15 分)
如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥．已知圆柱与圆锥的底
面大小相同，圆柱的底面半径为 6cm，高为 20cm，圆锥母线为 10cm．
(1)计算该模型的体积．
(2)现需使用油漆对 500 个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方厘米 0.03 元，总费用是多少？
17.(本小题 15 分)
在 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，(sin sin )( + ) = sin ( )， = 2 3, = 2 2．
(1)求角 ；
(2)求角 ；
(3)求 的面积．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， // ， ⊥ ， = = 1， = 2， ⊥
平面 ， = 2．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求证：平面 ⊥平面 ；
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(3)求二面角 所成角的余弦值．
19.(本小题 17 分)
如图，在正方体 1 1 1 1中， 为 1的中点， 为 1的中点．
(1)求证： 1//平面 ；
(2)求证：平面 //平面 1．
(3)若正方体的棱长为 2，求直线 1到平面 的距离．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 617
13.133
14. 2 110/ 10 2
15.(1)解：由向量 = 3, = 2，
2
则( ) (2 + 3 ) = 2 2 3 + = 18 12 + = 9，解得 = 3，
设向量 和
3 1 π
的夹角为 , ∈ 0, π ，则 cos = = = ，所以 = ，
2×3 2 3
π
所以向量 和 的夹角为3．

(2) = cos = 解：向量 为 在 上的投影向量，可得 =
1
3 ，
2
+ = + 1 = 1 + = 1 2 + 2 +
2
= 1 × 9 + 2 × 3 × 2 × 1则 3 3 9 3 9 3 2+ 4 = 7．
16.(1)设圆锥的高为 1，
由题意得圆锥母线为 10 ，
则 = 102 621 = 8cm，
= 20π × 62 1π × 62 × 8 = 624πcm33 ；
(2)圆柱的侧面积为 2π 20 = 240π，圆柱的上底面的面积为 36π，
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圆锥侧面积为 锥侧 = 60π．
∴ 总 = 240π + 36π + 60π = 336πcm
2，
故总费用为 336π × 500 × 0.03 = 5040π(元)．
17.(1)因为 sin sin ( + ) = sin ( )，
所以( + )( ) = ( )，整理为 2 + 2 2 = ．
cos =
2+ 2 2
由余弦定理可得 2 =
1
2，
π
因为 ∈ 0, π ，所以 = 3．
(2) = 因为sin sin ，
所以 sin = sin = 2 × 3 = 2 3 2 2 ，
π
因为 > ，所以 = 4．
(3)由(1)知 2 + 2 2 = , = 2 3, = 2 2，
所以 2 2 2 4 = 0，解得 = 2 + 6或 = 2 6(舍去)，
所 1 = 2 sin =
1
2 × 2 2 2 + 6 ×
3
2 ，
即 = 3 + 3．
18.(1)
由底面 是直角梯形， // ， ⊥ ， = = 1，，
结合勾股定理计算可得： = 2 + 2 = 2，
取 的中点 ，连接 ，
∵ ∠ = 90°， = = = 1， ，∴四边形 是正方形，
则 = 1，再由勾股定理可得： = 2 + 2 = 2，又因为 = 2，
则由 2 + 2 = 2 + 2 = 4 = 2，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥平面 , 平面 ，所以 ⊥ ，
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又因为 ∩ = ，且 , 平面 ，
所以 ⊥平面 ；
(2)由(1)知 ⊥平面 , 平面 ，所以平面 ⊥平面 ．
(3) ∵ ⊥平面 , 平面 , ∴ ⊥ ，又∵ ⊥ ，
∴ ∠ 为二面角 的平面角．
在 Rt 中， = 2, = = 2，
= 2 + 2 = 6, cos∠ = = 2 3 6 = 3 ．
19.(1)连接 交 于 ，连接 ．
因为 1 1 1 1为正方体，底面 为正方形，
对角线 、 交于 点，所以 为 的中点，又因为 为 1的中点，
在 1中， 是 1的中位线，则 ，
又 平面 , 1 平面 ，所以 平面 ；
(2) 1上的中点 即满足平面 平面 1.因为 为 1的中点， 为 1的中点，所以 ，
所以四边形 1 为平行四边形，所以 ，
又因为 平面 , 1 平面 ，所以 平面 ；
由(1)知 平面 ，又因为 1 ∩ 1 = 1， 1, 1 平面 1，
所以平面 平面 1．
(3)因为 平面 ，所以直线BD1到平面 的距离等于点 到平面 ，设为 ．
因为正方体棱长为 2， 为 的中点，所以 = 1, = = 22 + 121 = 5．
= 22 + 22 = 2 2， = 3． = 6， = 2.因为 = ，
1 1 6
所以3 × × = 3 × × ，求得 = 3 ．
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