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2024-2025学年七年级数学下册期末测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．小文去水果店买西瓜，如图是称西瓜所用的电子秤显示屏上的数据，则常量是（ ）
A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．5、6、11 D．3，5，9
5．如图，已知直线与交于点，，平分．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，是高，点在线段上．若，，，则的周长为（ ）
A．10 B．20 C．24 D．28
7．如图，，平分，，，，下列结论中错误的是（ ）
A． B．平分
C． D．
8．3个人站成一排，其中小亮“站在中间”与“站在两端”这两个事件发生的可能性是（ ）．
A．一样大 B．“站在中间”的可能性大
C．“站在两端”的可能性大 D．无法确定
9．如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　）
A．3 B．2 C． D．1
10．观察下列几个算式： ③； ④， ．．．．．．，结合你观察到的规律判断 的计算结果为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若将展开的结果中不含有x项，则a值是 ．
12．一般情况下路口会设置红色、黄色、绿色三种颜色的信号灯．已知某路口三种信号灯的时长依次是：红灯秒、黄灯4秒、绿灯秒，一辆汽车行驶到该路口遇到绿灯的概率是 ．
13．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度（千米）与此高度处气温（）的关系：
海拔高度（千米） 0 1 2 3 4 5 …
气温（） 20 14 8 2 …
根据表格中两个变量之间的关系，当时，气温 ．
14．在中，，于点D，E在上，，，则 ．
15．如图，在 中，点在上，平分，延长到点，使得，连接．若 则 的度数是 ．
16．如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点逆时针旋转一周，速度分别为2度/秒和10度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过 秒时木棒a、b平行．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（1）若，求的值；
（2）已知，，求的值．
18．（6分）化简求值
(1)，其中
(2)，其中
19．（8分）2025年春节期间电影《哪吒2：魔童闹海》火热上映，现有一张《哪吒2》电影票，小明和小颖都想获得，小明为他们出了一个主意：从印有数字2，3，4，5，6，5，7，8的8个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字比5大，则小颖得到电影票；否则，小明得到电影票．
(1)求小明摸到球面数字为5的概率；
(2)你认为这种方法公平吗？请说明理由．
20．（8分）在一节数学课上，老师与同学们以“同一平面内，点O在直线上，用三角尺画，使；作射线，使平分”为问题背景，展开研究．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，请你通过所学习的相关知识说明．
21．（10分）如图，已知A、D、C、E在同一直线上，，，．
(1)求证：；
(2)连接，若，，求的度数．
22．（10分）小明同学用四张长为x，宽为y的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）．
(1)通过计算小正方形面积，可推出，三者的等量关系式为：______；
(2)利用（1）中的结论，当，时，______；
(3)利用（1）中的结论，当时，求的值．
23．（12分）如图，已知，直线交，于，．
(1)如图1，点在直线与直线之间，证明：；
(2)如图2，点在直线上，位于点右侧，点在直线上，且在直线上方，点在直线与直线之间，，，若，求．
(3)如图3，，点在直线上（在点左侧），点在直线与直线之间，与的角平分线交于点，请直接写出与的数量关系．
24．（12分）已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，，连接．
(1)发现问题：如图①，当点在边上时，
①请写出和之间的数量关系_____，位置关系_____；
②线段、、之间的关系是_____；
(2)尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展延伸：如图③，当点在边的延长线上且其他条件不变时，若，，求线段的长．
参考答案
一．选择题
1．D
【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义求解即可．
【详解】解：A.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．B
【分析】本题考查变量与常量，解答本题的关键要明确：变化的量叫变量，恒定不变的量叫常量．
根据变化的量叫变量，恒定不变的量叫常量逐个判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，金额单价数量，单价不变，数量与金额是变化的量，
∴单价常量，数量与金额是变量，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了幂的运算，幂的乘方，积的乘方，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
根据运算法则逐一运算判断即可．
【详解】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误；
故选：C．
4．B
【分析】此题主要考查三角形构成，解题的关键是熟知三角形的三边关系：较小的两边之和大于第三边．
根据三角形的三边关系即可判断．
【详解】解：A．，不能构成三角形；
B．，能构成三角形；
C．，不能构成三角形；
D．，不能构成三角形；
故选：B．
5．B
【分析】本题主要考查了垂直的定义、角的和差、角平分线的定义、对顶角的性质等知识点．由垂直的定义可得，易得，再根据角平分线的定义可得，然后运用角的和差可得，最后根据对顶角相等即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，求三角形的周长，正确理解全等三角形的性质是解题的关键．根据得出，的周长问题可解．
【详解】解：，
，
的周长，
的周长，
故选：C．
7．D
【分析】本题主要考查了平行线的性质、垂直的定义、角平分线的定义、几何图形中的角的计算等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
由于则，利用平角等于得到，再根据角平分线定义得到可判定A选项；利用可得，则，即平分即可判定B选项；利用，可计算出，则可判定C选项；根据，即可判定D选项．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，即A选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分，即B选项正确，不符合题意；
，
，
，
∴，即C选项正确，不符合题意；
，而，即，即D选项错误，符合题意．
故选D．
8．C
【分析】本题考查了可能性大小的判断，要求小亮“站在中间”与小亮“站在两端”这两个事件发生的可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可得到相应的可能性，比较即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：3个人站成一排，小亮站在哪个位置都有可能，“小亮站在正中间”的可能性为，“小亮站在两端”的可能性有，这两个事件发生的可能性不相等，
∵
∴“站在两端”的可能性大，
故选：C．
9．B
【分析】本题考查了三角形重心的性质．根据的两条中线，相交于点，得到点O是的重心，即，然后表示出，即可得解．
【详解】解：∵的两条中线，相交于点，
∴点O是的重心，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
故选：B．
10．B
【分析】本题主要考查了数字规律、整式的混合运算等知识点，找出计算规律是解题的关键．
根据已知的几个算式发现规律，然后运用规律解答即可．
【详解】解：；
②；
③；
④， ．．．
则．
故选B．
二．填空题
11．6
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，按照多项式乘多项式法则展开，再根据展开的结果中不含有x项即可得出，进而可得出a的值．
【详解】解：
，
，
∵展开的结果中不含有x项，
∴，
∴，
故答案为：6．
12．
【分析】本题考查简单概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键，根据题意找到事件中的部分和整体，利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：一辆汽车行驶到该路口遇到绿灯的概率是：，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，观察得到表格变量间的关系是解题的关键．先观察表格可得，海拔高度每增加千米，气温就下降，即可得到答案．
【详解】解： 观察表格可得：每增加千米，气温就下降，
海拔高度时，气温
当海拔高度时，气温
故答案为：．
14．10
【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，过点作，交于点，可证得，得，由，得，掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：过点作，交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
故答案为：10．
15．
【分析】本题考查了邻补角的定义、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，首先根据邻补角的定义可以求出，根据角平分线的定义可证，根据可证，根据全等三角形的性质可求，根据角的和与差可以求出．
【详解】解：，
，
平分，
，
在和中，
，
，
．
故答案为： ．
16．或或或
【分析】本题考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，准确找出角度之间的数量关系是解题关键．设从开始运动经过秒时木棒a、b平行，分四种情况讨论，利用同位角相等两直线平行，列方程求解即可得到答案．
【详解】解：设从开始运动经过秒时木棒a、b平行，
①当时，，
解得：；
②当时，，
解得：；
③当时，此时停止运动，
，解得：；
④当时，此时停止运动，
，解得：，
综上可知，从开始运动经过或或或秒时木棒a、b平行，
故答案为：或或或．
三．解答题
17．解：（1），
∴，
，
．
（2），，
．
18．（1）解：
，
当时，原式；
（2）解：
，
当时，原式．
19．（1）解：∵一共有8个小球，其中球面数字为5的小球有2个，且每个小球被摸到的概率相同，
∴小明摸到球面数字为5的概率为；
（2）解：这种方法不公平，理由如下：
由题意得，小颖得到电影票的概率为，
小明得到电影票的概率为，
∵，
∴这种方法不公平．
20．（1）解：由图1可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即；
（2）解：由图2知：
∵平分，
∴，
设，所以，
∵，
∴，
∴，
∵且，
∴；
21．（1）证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．（1）解：由图可知：小正方形的边长为：，大正方形的边长为，
∴小正方形的面积为；
（2）由（1）可知：
∵，，
∴；
（3）∵令，，则：，
∴，
∴，
∴．
23．（1）证明：如图所示，过点作
∴
∵
∴
∴
∴
（2）解：如图所示，过点作，
设，
∵
∴
设
∵，
∴，
∴，
∴
∵
∴
由（1）可得
∵
∴
∴
∴
（3）解：∵，
∴，
设
∵与的角平分线交于点，
设
如图所示，
∵
由（1）可得，
∴
；
如图所示，
由（1）可得，
∴
如图所示，
由（1）可得，
∴
综上所述，或或
24．（1）解：①如图1，∵，
∴，
∵，
，
在和中，
，
，
，
，
即；
故答案为：；
②由①可得，，
，
，
故答案为：；
（2）解：不成立，存在的数量关系为．
理由：如图2，，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，当点在边的延长线上时，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
．

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