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2024-2025学年安徽省固镇县毛钽厂实验中学高一下学期5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，且为纯虚数，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.下列说法中，正确的是( )
A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B. 一个多面体至少有个面
C. 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
3.在中，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为( )
A. B. C. D.
5.如图，已知扇环的内弧长为，外弧长为，扇环的宽为，将该扇环卷成圆台，则该圆台的高为( )
A. B. C. D.
6.已知是边长为的正三角形，为中点，且，则( )
A. B. C. D.
7.圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点是母线上一点，且一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是( )
A. B. C. D.
8.在正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.，是两条异面直线，，在直线上，，在直线上，、、、四点互不相同，则下列结论一定不成立的是( )
A. 、、、四点共面 B.
C. 与相交 D.
10.三角形有一个角是，这个角的两边长分别为和，则 ．
A. 三角形另一边长为 B. 三角形的周长为
C. 三角形内切圆周长为 D. 三角形外接圆面积为
11.如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下面四个命题中正确的是( )
A. 没有水的部分始终呈棱柱形 B. 水面所在四边形的面积为定值
C. 棱始终与水面所在平面平行 D. 当容器倾斜如图所示时，是定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足其中为虚数单位，则复数的共轭复数为 ．
13.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个论断：，，，以其中的两个论断作为命题的条件，作为命题的结论，写出一个真命题： ．
14.三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，向量．
若向量，求向量的坐标；
若向量与向量的夹角为，求．
16.本小题分
在中，分别是角所对的边，且满足．
求角的大小；
设向量，向量，且，判断的形状．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，底面，，，，是棱的中点．
证明：平面平面．
求三棱锥的体积．
18.本小题分
在中，内角、、的对边分别为、、，已知．
求角的值；
若，求面积的最大值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点为线段中点，．
证明：平面；
求二面角的正切值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.若，，则
14.
15.由，设，，
，，解得或
所以或．
，，，
，
，．
16.解：因为，
所以，
因为，
所以；
解：因为，，且，
所以，
所以，
所以或舍，
当时，，
所以为直角三角形．
17.底面，面，
．
，，，平面，
平面，
平面，
平面平面．
四边形为矩形，
，则，
即为等腰直角三角形
．
．
18.由正弦定理可得，，
又因为，
所以，
化简整理得，，由，故，
又因为，所以．
由正弦定理和中结论得，，
所以，，
因为，
所以，
化简整理得，，即，
由余弦定理可知，，即，
从而，
又因为，当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当时，等号成立，
故面积，当且仅当时，面积有最大值，
所以面积的最大值为．
19.证明：连接交于，连接，则为中点．
因为分别为中点，
所以．
因为平面平面，
所以平面．
取中点，连接，
取中点，连接，
可得．
因为平面平面，平面平面．
所以平面，
因此平面平面，所以．
过作交于，连接，
可得平面，所以，
所以就是所求二面角的平面角，如图所示，
，
在直角中，可得，
即二面角的正切值为．
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