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2024-2025学年七年级数学下册期末测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．若，，则约为（ ）
A．3260 B．32600 C．326000 D．0.326
2．已知点A，B的坐标分别为．将线段沿某个方向平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．当依次取1，3，5，7时，小淇算得多项式的值分别为0，5，11，17，经验证，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
4．某市教育局对七年级学生进行体质监测，共收集了名学生的体重数据，并绘制成频数分布直方图．若从左往右数每个小长方形的面积之比为，则其中第三组的频数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角的调节范围为12°~69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角，则反射光束GH与天花板所形成的角不可能取到的度数为（ ）
A．129° B．72° C．51° D．18°
6．已知a，b，c为三个实数，其中a、b均为负数，且满足，令，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（ ）
A． B． C． D．
8．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（ ）（式子中的“”，“”依次相间）
A．22 B． C．23 D．
9．用如图①中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）．现在仓库里有m张长方形纸板和n张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值有可能是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
10．如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中，正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若，其中a，b均为整数，则 ．
12．2024年4月8日，德胜中学迎来了第二届科技节的盛大开幕，从8日至10日，一系列精彩纷呈的活动如德胜模型展示、合作竞赛、微讲坛、科技小制作以及科技嘉年华等接踵而至，同学们热情高涨，纷纷踊跃参与，初二年级某班共有36名同学积极报名了科技微讲坛活动．其中有15名男生和5名女生参加了位于东校区的讲坛，另有16名男生和15名女生参加了位于西校区的讲坛，有以下几个说法：
①只在东校区参加了讲坛的男生比只在西校区参加了讲坛的男生少；
②只在东校区参加了讲坛的男生和只在西校区参加了讲坛的女生可能一样多；
③报名了科技微讲坛的男生人数一定比女生人数多；
④在两个校区都参加了讲坛的男生一定比在两个校区都参加了讲坛的女生多；
其中正确的是 ．
13．如图，是的网格，一只蚂蚁在网格左下角位置，每次能向上走一格或者向右走一格，要到达右上角的位置，则不同的走法共有 种．
14．某工厂生产I号、II号两种产品，并将产品按照不同重量进行包装，已知包装产品款式有三种：A款，B款，C款，且三款包装的重量及所含I号、II号产品的重量如下表：
包装款式 包装的重量（吨） 含I号新产品的重量（吨） 含II号产品的重量（吨）
A款 6 3 3
B款 5 3 2
C款 5 2 3
现用一辆最大载重量为28吨的货车一次运送5个包装产品，且每种款式至少有1个．
（1）若恰好装运28吨包装产品，则装运方案中A款、B款、C款的个数依次为 ；
（2）若装运的I号产品不超过13吨．同时装运的II号产品最多，则装运方案中A款、B款、C款的个数依次为 ．（写出一种即可）
15．如图，平分，交于点，点在线段上（不与点，点重合），连接，已知，若，且（为常数，且为正数），则的值为 ．

16．如图，在一单位为1的方格纸上，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）阅读下列材料：
可以通过下列步骤估计的大小：
第一步：因为，，，所以．
第二步：通过取和的平均数确定所在的范围：取和的平均数为，
因为，，所以．
(1)请仿照第一步，通过运算，确定介于哪两个相邻的整数之间？
(2)在的基础上，重复应用第二步中取平均数的方法，试确定，的值，使，且．
18．（6分）已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．
（1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．
（2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？
（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒．
19．（8分）在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，若，则轴，且线段的长度为，若，则轴，且线段的长度为．
【实践操作】
（1）若点，，则轴，的长度为______；
【拓展应用】
（2）如图，在平面直角坐标系中，，，
①如图1，的面积为______；
②如图2，点D在线段上，将点D沿x轴正方向向右平移3个单位长度至E点，若的面积等于14，求点坐标．
20．（8分）下面是李明同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务．
“整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，在解方程组时，运用“整体思想”通常会使解题更加简便快捷． 例1：解方程组 分析：在这个方程组中，方程②中的在方程①中也存在，此时运用整体思想，把看作一个整体，就可以直接代入方程①进行计算，避免了先去括号等复杂操作． 解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得．所以原方程组的解为 例2：解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得． ． 把代入①，得． 方程组的解为
任务：
(1)利用“例1”的方法，解方程组
(2)已知利用“例2”的方法，求的值．
21．（10分）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q坐标为，则称点Q为点P的“关联点”．例如，点，则点是点P的“关联点”．
(1)若点是点的“关联点”，则点的坐标为______；
(2)若点是点的“关联点”，且点在x轴上，求t的值；
(3)若点是点的“关联点”，且线段与x轴有交点，直接写出t的取值范围．
22．（10分）为了了解九年级学生寒假每周的锻炼情况，某校随机抽取九年级名女生和部分男生，对他们一周锻炼的时间进行了调查，四舍五入处理后制作了不完整（部分数据被覆盖）的统计表和统计图．已知一周锻炼2小时的女生人数占随机抽取学生总数的，一周锻炼4小时的男生和女生人数相等．请根据信息，解答下列问题：
女生一周锻炼时间频数分布表
分组（四舍五入后） 频数（学生人数） 频率
1小时 2
2小时 a
3小时 4
4小时 b
(1)求出统计表中a，b的值以及随机抽取学生的总人数；
(2)求随机抽取的男生一周平均锻炼时间为多少小时？
(3)为了激励学生加强锻炼，学校决定对全年级一周锻炼时间（四舍五入后）达到3小时及3小时以上的学生进行表彰，每人一份奖品，全年级共有名学生，请问学校应准备大约多少份奖品？
23．（12分）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售成人、儿童两种头盔，该商店第一季度的销售记录(有部分缺损)如表所示．
请解答下列问题：
日期 产品类别 销售量（单位：个） 销售额（单位：元）
1月 成人头盔 60 7400
儿童头盔 55
2月 成人头盔 48 7520
儿童头盔 64
3月 成人头盔 7200
儿童头盔
(1)该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为多少元？
(2)已知成人头盔的利润是10元/个，儿童头盔的利润是20元/个；并且该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元，则该商店3月份有多少种销售方案？
(3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种销售方案会使商店3月份利润最大，并求出最大利润．
24．（12分）太阳光和灯光都是我们生活中的光源，蕴含着很丰富的数学知识．
情境：当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生变化，这种现象叫做光的折射．
（1）如图1，直线与相交于点F，一束光线沿射入水面，在点处发生折射，沿射入水中，如果，，则的度数为______．
拓展：（2）光线从空气射入水产生折射，同时，光线从水射入空气也发生折射，如图2，光线从空气射入水中，再从水射入空气中，形成光线，根据光学知识有，，请判断光线与光线的位置关系，并说明理由；
应用：（3）如图3，出于安全考虑，在某段铁路两旁安置了A、B两座可旋转探照灯.假定主道路，连接，且．灯A发出的射线自顺时针旋转至，灯B发出的射线自顺时针旋转至后立即回转，当射线回转至后两条射线停止运动，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度/秒，灯转动的速度是度/秒.它们同时开始转动，设转动时间为秒，当与互相垂直时，求出此时的值．
参考答案
一．选择题
1．C
【分析】本题考查立方根，理解一个数扩大1000倍，则它的立方根扩大10倍是得出正确答案的关键．
根据立方根的定义，得出与被开方数的倍数关系，即一个数的立方根扩大10倍，则被开方数就扩大到1000倍，可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了平移的性质，根据点平移后的对应点的坐标为，得出平移规律，即可求解，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：∵点平移后的对应点的坐标为，
∴平移规律是向上平移个单位，
∴点B的对应点的坐标为，
故选：B．
3．A
【分析】此题主要考查二元一次方程组的求解，通过判断所解的、值是否相等即可得出原来多项式，即可判断哪个是否正确，所以此题的关键是要掌握解二元一次方程组．解组成的各个方程组，根据方程组的解逐个判断即可．
【详解】解：当分别等于3、5时，代数式的值是5、11，
代入得：，
解得：；
当分别等于5、7时，代数式的值是11、17，
代入得：，
解得：；
∴当分别等于3、5、7时，多项式的值分别为5，11，17，
而当时，多项式的值为，
当时，错误，
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了频数分布直方图的性质，理解频数分布直方图的意义，掌握频率是解答本题的关键．
求出第三组的频数占被调查人数的百分比，再根据频率进行计算即可．
【详解】解：第三组的频数为，
故选：A．
5．C
【分析】分当时，如图1所示，当时，如图2所示，两种情况，利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：当时，如图1所示，过点G作，
∵，
∴，
∴∠PGQ =∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，
∴∠PGB=∠PGQ+∠BGQ=30°+∠ABM，
由反射定理可知，∠AGH=∠PGB=30°+∠ABM，
∴∠PGH=180°-∠AGH-∠PGB=120°-2∠ABM，
∴∠HGQ=∠PGH+∠PGQ=150°-2∠ABM，
∴∠PHG=180°-∠HGQ=30°+2∠ABM，
∴
当时，如图2所示，过点G作，
同理可得∠PGQ=∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，∠PHG=∠HGQ，
∴∠AGP=∠HGB=∠HGQ+∠QGB=∠PHG+∠ABM，
∴∠PGH=180°-∠AGP-∠HGB=180°-2∠PHG-2∠ABM，
∴∠HGP=∠PGQ-∠PGH=2∠PHG+2∠ABM-150°，
∴∠PHG=150°-2∠ABM，
∴，
综上所述，或，
故选C．
6．B
【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据，求出，根据a、b均为负数，求出，解不等式组，得出，再根据，求出t的取值范围即可．
【详解】解：，
两个方程可得得，
又，
∴，
解得：，
，
∴，
．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了求一个角的余角与补角、垂直、对顶角相等，熟练掌握求一个角的余角与补角的方法是解题关键．先求出，再求出，根据垂直的定义可得，从而可得，最后根据对顶角相等即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，
∴，
∵，
∴，
∴，
由对顶角相等得：，
故选：B．
8．C
【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论．
【详解】，，
与之间共有个数，
，，
与之间共有个数，
，，
与之间共有个数，
，
，，
与之间共有个数，
．
故选C．
9．A
【分析】设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒y个，由所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再由x、y的系数表示出m+n并判断m+n为5的倍数，然后选择答案即可．
【详解】解：设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒为y个，
根据题意得：，
整理得：m+n＝5（x+y），
∵x、y都是正整数，
∴m+n是5的倍数，
∵2020、2021、2022、2023四个数中只有2020是5的倍数，
∴m+n的值可能是2020．
故选：A．
10．D
【分析】利用，BD平分，EF平分，可以判断出①②正确；再根据 与不一定相等，再利用 与相等，可判断出③不一定正确；根据，推出与是等底等高的三角形，最后利用等式性质可得到④正确．
【详解】∵，
∴，，
∵BD平分，EF平分，
∴，，
∴，
，
∴，
故①②正确；
∴ 与不一定相等，
由题意可知，
∴与不一定相等，
故③错误；
∵，
∴与是等底等高的三角形，
∴，
∴，
故④正确，
∴①②④正确．
故选：D．
二．填空题
11．0，2，4
【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解
【详解】解：∵，其中a，b均为整数，
又∵，
①当，时，
∴，
∴
②当，时，
∴或，
∴或
③当，时，
∴或，
∴或
故答案为：4或2或0
12．①④
【分析】本题考查了列代数式表达式以及一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先设名男生参加讲坛，则名女生参加讲坛，分别表示即有名男生同时参加东校区的讲坛和西校区的讲坛，名女生同时参加东校区的讲坛和西校区的讲坛，然后得出只参加一种讲坛的男生、女生的人生，结合各个说法进行分析，即可作答．
【详解】解：设名男生参加讲坛，则名女生参加讲坛，
∵有15名男生和5名女生参加了位于东校区的讲坛，另有16名男生和15名女生参加了位于西校区的讲坛，
∴，
即有名男生同时参加东校区的讲坛和西校区的讲坛，名女生同时参加东校区的讲坛和西校区的讲坛；
∴只在东校区参加了讲坛的男生为，只在西校区参加了讲坛的男生为，
∴
则只在东校区参加了讲坛的男生比只在西校区参加了讲坛的男生少是正确的；
同理，只在东校区参加了讲坛的女生为，只在西校区参加了讲坛的女生为，
∴当只在东校区参加了讲坛的男生和只在西校区参加了讲坛的女生可能一样多时，
则
解得，不是正整数，故舍去
∴②是错误的；
当报名了科技微讲坛的男生人数一定比女生人数多时，
则，解得
但题干没有条件说明
故③是错误的；
∵
解得23.5>x
∵在23.5>x的范围内
∴在两个校区都参加了讲坛的男生一定比在两个校区都参加了讲坛的女生多，
故④是正确的；
故答案为：①④
13．252
【分析】采用格点法，每点的走法都一一标出，依题意经过和出发的只有1种走法，则经过到只有2种不同的走法，经过点到有种不同的走法，经过点到有种不同的走法，经过和到有种不同的走法，……，最后把所有不同的走法相加，即可求解．
【详解】解：如图所示，
∴从到，不同的走法共有种
故答案为：．
14． 3，1，1 1，1，3
【分析】（1）设装运方案中A款、B款、C款的个数依次x、y、z，根据题意可得方程组，求解即可；
（2）设装运方案中A款、B款、C款的个数依次x、y、z，则，解得，然后由装运的I号产品不超过13吨，同时装运的II号产品最多，可得不等式组，进一步分析即得结果．
【详解】解：（1）设装运方案中A款、B款、C款的个数依次x、y、z，
则，解得，
由于x、y、z为整数，且每种款式至少有1个，
所以，
故答案为：3，1，1；
（2）设装运方案中A款、B款、C款的个数依次x、y、z，
则，解得，
∵装运的I号产品不超过13吨，同时装运的II号产品最多，
∴，
当时，，
符合题目要求；
故答案为：1，1，3．
15．
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，根据角平分线的定义结合题意推出，即可判定 ，过点作 ，根据平行线的性质及角的和差即可求出，进而根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵是的角平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴；
过点作，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴，
∵
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】本题是对点的坐标变化规律的考析，根据2024是偶数，求出点的下标是偶数时的变化规律是解题的关键．
根据下标确定出下标为偶数时的点的坐标，得到规律：当下标是2，6，10，…时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半的相反数，当下标是4，8，12，．．时，横坐标是2，纵坐标为下标的一半，然后确定出第2024个点的坐标即可．
【详解】解：观察点的坐标变化发现：
当下标为偶数时的点的坐标，得到规律：
当下标是2，6，10，…时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半的相反数，
当下标是4，8，12，．．时，横坐标是2，纵坐标为下标的一半，
因为，
所以横坐标为2，纵坐标为，
故答案为：．
三．解答题
17．（1）解：，，
，
，
介于和之间；
（2）解：
取和的平均数为，
，
，
，
取和的平均数为，
又，
，
，
，
18．解：（1）∵∠BOE=90°，
∴∠AOE=90°，
∵∠AOC=α＝30°，
∴∠EOC=90°-30°=60°，
∠AOD=180°-30°=150°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠FOD=∠AOD=×150°=75°；
故答案为：60，75；
（2）当，．
设当射线与射线重合时至少需要t秒，
可得，解得：；
答：当射线与射线重合时至少需要秒；
（3）设射线转动的时间为t秒，
由题意得：或或或，
解得：或12或21或30．
答：射线转动的时间为3或12或21或30秒．
19．解：（1）∵点，，
∴轴，
∴，
故答案为：3．
（2）①，，，
，，
，
②连接，，
设，
∵点D沿x轴正方向向右平移3个单位长度至E点，
∴，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
．
20．（1）解：，
把②代入①，得，解得．
把代入②，得．
所以原方程组的解为；
（2）解：，
将方程①变形为③，
将②代入③，得，
解得．
把代入②，得．
所以．
21．（1）解：的坐标为，
故答案为：；
（2）解：的“关联点”的坐标为：，
点在x轴上，
，
解得：，
t的值为；
（3）的“关联点”的坐标为：，
线段与x轴有交点，
的纵坐标异号或至少一个为0，
或，
解得：或，
t的取值范围为或．
22．（1）解：由题可得：表中给出“一周锻炼2小时”的女生频率为，故2小时的女生人数，
∵女生人数合计，
∴，
∵2小时的女生人数占随机抽取学生总数的，
∴随机抽取的学生总人数为人，
综上所述：，，随机抽取的学生总人数为人；
（2）解：抽取男生人数为人，
又给出“4 小时的男生人数与女生相等”，即男生4小时组有6人，
∴男生4小时所占比例为：，
∴男生3小时所占比例为：，
∴男生1小时人数为：人，
男生2小时人数为：人，
男生3小时人数为：人，
∴男生扇形图信息：1小时占，2小时占，其余两组（3小时、4小时）各占（因为总和须），故男生“四组”对应人数分别为 3， 15， 6， 6，
∴男生锻炼总时长为，平均锻炼时间为小时，
∴随机抽取的男生一周平均锻炼时间为小时；
（3）解：全年级需要准备的奖品份数
样本中“3小时及以上”的人数：女生(3小时4人，4小时6人)共人，男生(3小时6人，4小时6人)共人，合计人，
在人的样本中占比，若全年级有人，则预计有人达标，故应准备约份奖品
23．（1）解：设该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为x元，y元，
由题意得，，
解得，
答：该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为50元，80元；
（2）解；设该商店3月份销售儿童头盔m个，则销售成人头盔个，
∵该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元，
∴
解得，
∵是非负整数，
∴m必须是5的倍数，
∴当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
答：该商店3月份有8种销售方案；
（3）解：由（2）可知，8种方案中，儿童头盔每增加5个，成人头盔就减小8个，则利润增加元，
∴儿童头盔最多时，利润最多，
∴该商店3月份销售儿童头盔60个，成人头盔48个时，利润最大，最大利润为元．
24．解：（1）如图
，
，
故答案为：；
（2），理由如下：
如图2，延长交于点，延长交于点，
则，，
，
，
，
，
即，
；
（3）射线运动时间为：（秒），射线的运动时间为秒，
∴射线最多运动到，
当，未相遇时，设射线交于点，射线 交于点，
∵，
∴，
与互相垂直时，
，
，
解得，
②如图所示，当射线返回时，
，
，
解得；
③当回到时，刚好垂直，
，
综上所述，，，时，与互相垂直．

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