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2024-2025学年七年级数学下册期末复习题--解答压轴题
【题型1 巧用幂的逆向运算】
1.如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
(1)______ ；若，则______ ；
(2)已知，，，若，求的值；
(3)若，，令，求的值．
2.对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如．
（1）填空：当，时，
（2）__________；
(3)若，，求的值．
3.请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系．
(1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______；
“劳格数”有如下运算性质：
若m、n为正数，则，；
(2)根据运算性质，填空：______．（a为正数）
(3)若，分别计算，．
4.在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题．
(1)已知，
①求 m， n 的值；
②若，，求的值．
(2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k．
【题型2 利用幂的运算比较大小】
1.阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论：
①若，则．（底数相同，指数大的幂大）
②若，则．（指数相同，底数大的幂大）
尝试应用：试比较与的大小．
解：因为，
，……（第1步）
又，
所以……（第2步）
问题解决：
(1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______．
(2)请比较下面各组中两个幂的大小：
①与；
②与．
2.都是正数，且，则中最大的是哪个？
3.比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化成同底数（或指数）幂，进行比较，如：比较与的大小，因为，，所以，即．
(1)比较，的大小；
(2)比较，，的大小．
4.请阅读下列材料：若，，比较，的大小关系；
解：，，且
类比阅读材料的方法，解答下列问题：
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质______．
A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C．幂的乘方；D．积的乘方
(2)已知，，试比较a，b的大小．
【题型3 整式乘法中不含某项问题】
1.小华同学在计算后，爱思考的他发现：是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算， ，x项的系数为；用他发现的方法计算：，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题．
(1)直接写出相乘，积中x项的系数
(2)若，直接写出的值；
(3)若的积中不含x项，求p的值；
(4)拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示，
A B
进价（元/箱） 24 30
售价（元/箱） 48 57
该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值．
2.若的乘积中不含 与 项，求的值．
3.定义，如．
(1)若，求的值；
(2)若的值与无关，求值．
4.【知识回顾】
我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．
通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．
具体解题过程是：原式，
代数式的值与x的取值无关，
，解．
【理解应用】
（1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为_________．
（2）已知，且的值与x的取值无关，求m的值．
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【题型4 多项式乘法中的规律性问题】
1.（1）【知识生成】将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为的正方形和两个长方形．用两种方法表示该大正方形的面积，可得．
若，则该大正方形的边长为___________；
（2）【知识运用】两正方形如图2方式摆放．正方形边长记为，正方形边长记为，点在一条直线上，点为的中点，若，求图中阴影部分的面积；
（3）【知识拓展】如图3，观察棱长为的大正方体的分割，可得到．
若已知，则___________．
（4）【民族骄傲】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等．
下列说法：正确的有
①展开式各项系数之和为64；
②展开式各项中，系数最大的项是第四项和第五项；
③；
④若，则 ；
⑤能被28整除．
2.观察并验证下列等式：
(1)续写等式__________．
(2)根据上述等式中所体现的规律，猜想结论
__________．
(3)利用（2）中的结论计算：
①
②
3.（1）计算并观察下列各式填空：
；
；
；
（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填写下面的空格：
（ ）；
（3）利用你发现的规律计算： ；
（4）利用该规律计算：的值．
4.“字母表示数”的系统化阐述是16世纪提出的，被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展．经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示数可以分析从特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算．请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；
(1)请用此方法拆分．
(2)请你用上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）并运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【题型5 巧用乘法公式求值】
1.阅读理解：
条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；
条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；
我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界．
例如：
，
，
（满足条件①）
当时，（满足条件②）
是的下确界．
又例如：
，
由于，所以，（不满足条件②）
故4不是的下确界．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)求的下确界．
(2)若代数式的下确界是1，求m的值．
(3)求代数式的下确界．
2.（1）问题探究：已知，，可利用完全平方公式得：______．
（2）自主推导：______．
根据上面的公式计算：已知，，求______ ．
（3）问题解决：已知，，求的值．
3.我国著名数学家曾说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读材料完成：
(1)算法赏析：若x满足，求的值．
解：设则
∴
请继续完成计算．
(2)算法体验：若满足，求的值；
(3)算法应用：如图，已知数轴上A、B、C表示的数分别是m、10、13．以AB为边作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，延长ED交FC于P．若正方形ACFG与正方形ABDE面积的和为117，求长方形AEPC的面积
4.结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式．

(1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；
(2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x满足，可设，，则，．则______．
(3)若x满足，则的值为______；
(4)小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为的大长方形，则______；
(5)如图3，已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积．
【题型6 乘法公式的几何背景】
1.【观察】如图①是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图②所示，请直接写出，，之间的等量关系____________________________；
【应用】若，，则_______________；
【拓展】如图③，正方形的边长为x，，，长方形的面积是200，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积．
2.如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形．
(1)用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_______________；
(2)将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为______________；
(3)比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式________________．
(4)【问题解决】利用（3）的公式解决问题：
①已知，，则的值为___________．
②直接写出下面算式的计算结果：．
3.两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．
(1)用含a，b的代数式分别表示；
(2)若，求的值；
(3)当时，求出图3中阴影部分的面积．
4.【知识生成】
我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
(1)根据图1，可以得到等式：，从而验证了完全平方公式．这体现的数学思想是______（填选项）：
A．分类讨论 B．转化 C．由特殊到一般 D．数形结合
(2)根据图2，可以得到等式：______；
(3)①图3是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，可以得到等式______；
②已知，．利用①中所得到的等式，直接写出代数式的值为______；
(4)画出一个几何图形，使它的面积能表示．
【知识迁移】
(5)①类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图4，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为的大正方体．用不同的方法表示这个大正方体的体积，可以得到的等式为______；
②已知，，利用①中所得的等式，直接写出代数式的值为______．
(6)图5表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______．
【题型7 相交线中的旋转问题】
1.如图，O，D两点在直线上，在的同侧作直角三角形和射线，使．
(1)分别求的余角和补角的度数；
(2)将绕点O按每秒的速度逆时针方向旋转．
①在旋转一周的过程中，第几秒时，直线恰好平分，则此时直线是否平分？请说明理由
②在旋转一周的过程中，满足在的内部，请探究此时与之间的数量关系，请说明理由．
2.“苍南1号”是我国第一个平价海上风电项目，服务于国家“双碳”战略，具有显著的环境效益和经济效益．如图1所示，风电机的塔架垂直于海平面，叶片，，可绕着轴心旋转，且．
(1)如图2，当时，求的度数．
(2)叶片从图3位置（与重合）开始绕点顺时针旋转，若旋转后与互补，则旋转的最小角度是多少度？
3.将三角板的直角顶点O放置在直线上．
(1)若按图1的方式摆放，且，射线平分，则________．
(2)如图2，，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转一个角度（即，）．
①当平分由，，其中两条射线组成的角时，求满足要求的所有的值．
②在旋转过程中是否存在？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．
4.【综合实践】根据以下素材，探索完成任务：
小江和小南在做物理实验时发现：当光发生反射时，反射光线与平面镜的夹角总是等于入射光线与平面镜的夹角．于是，他们想进一步探究转动的平面镜对光线反射的影响．如图1，点O为水平放置的平面镜上一点，将一块三角板的直角顶点摆放在O处，满足斜边，．现有一束光线经平面镜反射后沿射出，当光发生反射时，总是等于．若使光线从与重合处开始绕着点O以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒．
【探究1】当时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出此时入射光线和反射光线所在位置；
【探究2】当，且时，求出满足条件的t的值；
【探究3】若在光线开始转动的同时，平面镜也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当时，请直接写出和之间的数量关系．
【题型8 相交线中的角度综合问题】
1.我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，，相交于点，连接，得到“8”字图形．
(1)如图1，试说明的理由；
(2)如图2，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索与、间的关系；
(3)如图3，点为延长线上一点，、分别是、的四等分线，且，，的延长线与交于点，请探索与、的关系．（直接写结论）
2.如图，相交于点O，，平分．

(1)求的度数；
(2)过点作的垂线，点N，E是垂线上的点，点在直线的上方，点在直线的下方，连接线段．
①依题意补全图形；
②线段与长度的大小关系为：_____（填“>”“=”或“<”），依据是_____；
③的度数是_____．
3.在一节数学课上，老师与同学们以“同一平面内，点O在直线上，用三角尺画，使；作射线，使平分”为问题背景，展开研究．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，请你通过所学习的相关知识说明．
4.已知直线相交于点，点在内部，作射线．
(1)如图①，，则_______；_______；
(2)如图②，，则_______；
(3)如图③，平分，求的度数及点到直线的距离．
【题型9 平行线中的辅助线构造】
1.如图，已知，点在射线上，．
(1)如图①，若，，求的度数；
(2)如图②，若，射线沿射线移动得到，点在射线上，探究和的关系；
(3)如图③，在（2）的条件下，作，垂足为，与的平分线交于点．若，试用含的式子表示的度数．
2.直线，点、分别是直线、上的点，点为直线、之间的点．
(1)如图1，判断、、之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，点为直线上一点，且点在点右侧，，的平分线交直线于点，点在点右侧，求的值．
(3)如图3，绕点转动，与交于点，且始终在的内部，平分，交直线于点，平分，交直线于点，若，，则 （用含α、β的代数式表示）．
3.已知点，，不在同一条直线上，．
(1)如图①，当 ， 时，求的度数；
(2)如图②，为的平分线，的反向延长线与的平分线交于点，试探究与之间的数量关系；
(3)如图③，在（2）的前提下，有，，直接写出的值．
4.在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线．
(1)如图1所示，当机械臂时，证明．
(2)如图2所示，当，，时，______（用含的式子表示）
(3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含的式子表示）
【题型10 平行线中的定值问题】
1.已知：点A在直线上，点都在直线上（点B在点C的左侧），连接，AC，AB平分，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点K为线段上一动点，连结，且始终满足，
①当时，在直线上取点，连接，使得，求此时的度数．
②在点K的运动过程中，与的度数之比为定值，请直接写出这个定值，不需要说明理由．
2.如图所示，将一副三角板中的两块直角三角板按图1放置，，，，，此时点A与点D重合，点A，C，E三点共线．

(1)对于图1，固定三角形的位置不变，将三角形绕点A按顺时针方向进行旋转，旋转至与首次垂直，如图2所示，此时的度数是______；
(2)若直线，固定三角形的位置不变，将图1中的三角形沿方向平移，使得点C正好落在直线上，再将三角形绕点C按逆时针方向进行旋转，如图3所示．
①若边与边相交于点G，试判断的值是否为定值，若是定值，则求出该定值；若不是定值，请说明理由；
②固定三角形的位置不变，将三角形绕点C按逆时针方向以每秒的速度旋转，至与直线首次重合时停止运动．设旋转时间为t．
问：当t为何值时，线段与三角形的一条边平行（选择你喜欢的一条边探究，如果符合条件的t不存在，只要理由充分，也可得分）
3.如图，，点E在直线和之间，且在直线的左侧，．
(1)如图1，求的度数（用含的式子表示）；
(2)连接，过点E作，交于点F，动点G在射线上，．
①如图2，若，平分，判断与的位置关系并说明理由．
②连接，若，于点G，是否存在常数k，使为定值，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
4.如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为t秒．
(1)______；
(2)在转动过程中，当射线与射线所在直线的夹角为，直接写出t的值______．
(3)在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H作交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值：如果改变，请说明理由．
【题型11 平行线中的角度综合问题】
1.【动手操作】在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点P画直线的平行线的方法，折纸过程如下：①②③④．
【问题初探】
（1）通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是________；如图④，________，则与的位置关系为平行．
【问题二探】
（2）张华在（1）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，射灯P发出的射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，射灯Q发出的射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转．两灯不停旋转交叉照射，射灯P、射灯Q转动的速度分别是秒、秒，若射线转动20秒后，射线开始转动，在射线第一次到达之前．当射灯Q转动t秒时，射线转动到如图⑤的位置．
①________（用含t的式子表示）；
②记射线与射线的交点为点O，在图⑥中画出时的图形，并求出此时的大小；
【问题三探】
（3）在（2）的条件下，在射线第一次到达之前，射灯Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由．

2.在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能．
(1)【问题初探】如图1，，，求证：．
(2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由．
(3)【迁移应用】
① 路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则 ；
② 一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数．
3.（1）问题情景：如图1，已知，．
①问题初探：请对说明理由；
②拓展探究：请对说明理由．
（2）迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为______．
4.学行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线．
(1)如图1，长方形纸条中，，，，将纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G．
①若，求的度数．
②若，则________（用含α的式子表示）．
(2)如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由．
(3)如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，直接写出和的数量关系．
【题型12 与三角形有关的线段】
1.已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，．
(1)求m，n的值；
(2)当边长小于边长时，以，，为三角形的三边长，求边长a取值范围．
2.如图，在中，是的高线，是的角平分线，若 ，求的度数．
3.若关于，的二元一次方程组的解都是正数．
(1)求的取值范围；
(2)化简：；
(3)查阅资料发现：若要三条线段首尾相接构成一个三角形，必须满足任意两边之和大于第三边．如果上述二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和底边的长，且这个等腰三角形的周长为12，求的值．
4.新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条线段叫做该平面图形的二分线．
解决问题：
(1)①三角形的中线、高线、角平分线中．一定是三角形的二分线的是___________；
②如图1，已知中，是边上的中线，点，分别在，上，连接，与交于点．若，则___________（填“是”或“不是”）的一条二分线．
(2)如图2，四边形中，，点是的中点，射线交射线于点，取的中点．连接．求证：是四边形的二分线．
(3)如图3，在中，，、分别是线段、上的点，且，是四边形的一条二分线，求的长．
【题型13 与图形角度有关的计算】
1.如图，，的平分线交于点，．
(1)如图1，判断与是否相等，并说明理由；
(2)如图2，过点作交于，连接，恰好平分，，求的度数；
(3)如图3，过点作，交于点．线段上有一点，点在射线上，，且满足，求与的比值．
2.如图，若正五边形和长方形按如图所示的方式叠放在一起，求的度数．
3.如图，在中，．
(1)求的度数；
(2)若，求证：．
4.（1）如图1，在中，已知，点E在线段的延长线上，和的角平分线交于点D，则 ；
（2）如图2，，且，和的平分线交于点F，则等于多少（用α，β表示）？
（3）如图3，，且，和的平分线交于点F，则等于多少（用α，β表示）？
【题型14 全等三角形的性质与判定的综合运用】
1.如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒 的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、．
(1)用含的式子表示、；
(2)若点的运动速度也为每秒，为何值时，；
(3)若点的运动速度和点的速度不相等，要使，则点的运动速度为多少 全等时为多少
2.如图，的边关于的对称线段是，边关于的对称线段是，连接．若点落在所在的直线上，，求的度数．
3.如图，点、分别在正五边形的边、上，连结、相交于点，且．求的度数．
4.如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图①，当______时，的面积等于面积的三分之二；
(2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度．
【题型15 设计轴对称图案】
1.轴对称（或称对称轴）的概念早在古希腊时期就已经出现．古希腊哲学家柏拉图在其著作《会晤篇》中，就提到了“对称”的概念，并阐述了对称的重要性．在数学和物理学等领域中，轴对称一直都是一个重要的概念，被广泛应用于各种理论和实践中．如图是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．
2.如图，这是由五个大小相同的小正方块拼凑而成的．
(1)该图是轴对称图形吗？如果是，请画出对称轴．
(2)若移动一个小方块重新拼凑成一个新的轴对称图形，共有几种方法（相同方法算一种）？请你画出图形和对称轴．
3.请从如图①所示的两种瓷砖中各选2块，拼成一个新的正方形地板图案，使拼铺的图案是轴对称图形（如图②）．要求：分别在图③、图④中各设计一种与图②不同的拼法的轴对称图形．
4.如图，在正方形网格中，有大小各异的三角形．

(1)请写出图①、图②、图③中的图案都具有的一个特征：______；
(2)已知图③中有两个小三角形被涂黑，请你再将其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个新轴对称图形（作出两种不同的）；
(3)开动你的想象力，将图④中的三角形涂黑4个，设计出你喜欢的图案，使整个被涂黑的图案依旧构成一个轴对称图形．
【题型16 简单的轴对称图形】
1.综合与实践
【操作实践】
如图1，数学兴趣小组成员用四根木条钉成一个“筝形”（有两组邻边分别相等的四边形）道具，其中，，，相邻两根木条的连接处是可以转动的，连接，．
（1）试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．
【实践应用】
（2）小组成员尝试使用这个“筝形”道具检测教室门框是否水平．如图2，，，在道具上的点A处绑一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，道具上的点B，D紧贴门框，线绳恰好经过点C．由于是铅锤线，所以是水平的，即门框是水平的．在上述的判断过程中，得出的依据是_______．（填字母）
A．等角对等边 B．垂线段最短 C．等腰三角形“三线合一”
【实践拓展】
（3）如图3，在中，，．若E，F分别是边，上的动点，当四边形为“筝形”时，求的度数．
2.在中，， 的作图痕迹如图所示，交于点N，垂直平分边，交于点D，交于点E，交于点O，连接．
(1)若，，求与的面积比；
(2)若，求的度数．
3.小红学行线的证明之后，对三角形的内角和定理及外角进行了如下探究：
【问题解决】（）如图①，平分，点是上任意一点，过点作交于点，请写出一个与相等的角；
【操作思考】（）如图②，为锐角，射线在内部，，点是边上任意一点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接．根据题意补全图形；
【联系拓广】（）在（）的条件下，猜想直线与的位置关系，并证明你的结论．
4.如图1是光的反射示意图，点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点，点叫入射点，已知反射角等于入射角，法线．
(1)若，则______．
(2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为______．
(3)如图3，点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点，请用无刻度直尺和圆规作出入射点，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗）
(4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达处．则______．
【题型17 变量之间的关系】
1.某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表：
印刷数量（张）
收费（元）
(1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是
(2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而
(3)若要印制张宣传单，收费 元
2.如图所示，在一个半径为的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去一个小圆的半径由小变大时，剩下的一个圆环面积也随之发生变化．
(1)在这个变化过程中，因变量是 ．
(2)写出剩下的圆环面积与小圆的半径的关系式： ．
(3)当挖去圆的半径为时，剩下的圆环面积为多少？结果保留
3.为了节约用水，某城市采用分段收费标准，某户居民每月应交水费元与用水量吨之间关系的图象如图所示，根据图象回答：
该市自来水收费时，每户使用不足吨时，每吨收费多少元？超过吨时，每吨收费多少元？
若某户居民每月用水吨，则应交水费多少元？若某月交水费元，该户居民用水多少吨？
4.下表是苏州市地铁收费标准：
分段 乘坐里程公里 单程票票价
里程 元
里程 元
里程 元
里程 元
里程 元
里程公里以上，每公里分段 加元
备注：普通乘客刷卡乘车可享受单程票票价折优惠
小明的妈妈每天乘坐地铁上下班，单程公里，每月按天上下班计算．
求小明的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费；
地铁公司有三种计次月票可供选择，月票元次，月票元次，月票元次．月票仅限当月使用，每次不限里程，月底清零，小明的妈妈每月用于上下班的地铁交通费最少是多少元？请说明理由．
参考答案
【题型1 巧用幂的逆向运算】
1.（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴；
故答案为：3，125；
（2）解：∵，，，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴；
（3）解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
2.（1）解：
，
故答案为：3；
（2），，
，，
整理得：，，解得：，
．
3.（1）解：∵如果，那么b为n的“劳格数”，记为，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
，
故答案为：1，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：3；
（3）解：∵，，
∴，
∵，，
∴．
4.（1）解：①∵，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
两式相乘可得：，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵为正整数，为常数，为任意非零有理数，
∴；
综上：．
【题型2 利用幂的运算比较大小】
1.（1）解：根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大，
故答案为：指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大．
（2）解：①∵，，
根据底数相同，指数大的幂大
∴，
∴．
②解：∵，
根据指数相同，底数大的幂大，
∴，
∴．
2.，，所以；，所以；，，所以.综上，，最大的是．
3.（1）解：，，
，
．
（2）解：，，，
，
，
．
4.（1）解：和利用的是幂的乘方的逆用，
故选：C．
（2）解：∵，，
∴，，且，
∴，
∴．
【题型3 整式乘法中不含某项问题】
1.（1）由题中计算方法知：，
故答案为：13；
（2）∵是由2024个相乘，
又由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和，
∴它的展开式的一次项系数为2024个1的和，
∴；
（3）由题干中计算方法知：中x的系数为，
∵x的系数为零，
∴，
∴；
（4）∵设购进A型号矿泉水有a箱，
∴购进B型号矿泉水有箱，
∴
，
∵无论a为多少，w都不变，
∴中，a的系数为0，
∴,
∴，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，都为元，
∴，．
2.解：原式，
，
∵乘积中不含 与 项，
∴，，
解得：，，
∴．
3.（1）解： ，
，即，
解得；
（2）解： ，
，
的值与无关，
，
解得，
．
4.解：（1）
，
关于的代数式的值与的取值无关，
，
解得：，
故答案为：4；
（2），
，
的值与x无关，
，
即；
（3）设，由图可知，
，
当的长变化时，的值始终保持不变．
取值与x无关，
，
【题型4 多项式乘法中的规律性问题】
1.解：（1），
由于，则；
故答案为：8．
（2）∵，点为的中点，
∴；
阴暗部分面积
；
∵，
∴，
即；
阴暗部分面积；
答：图中阴暗部分面积为45；
（3）∵
又，
即，
∴；
故答案为：95；
（4）的各项系数分别为1，6，15，20，15，6，1，
其和为；
故①正确；
展开式各项中，各系数分别为1，7，21，35，35，21，7，1，系数最大的项是第四项和第五项；
故②正确；
；
故③正确；
，
上式中取，得；取，得
则；
故④错误；
∵，
而，
∴
即
∴能被28整除；
故⑤正确；
综上，正确的有①②③⑤．
2.（1）解：由题意得：，
故答案为：；
（2）解：∵
∴可以推出
故答案为：
（3）解：①
；
②∵
，
又∵，
∴
．
3.解：（1），
故答案为：；
（2）
故答案为：；
（3），
故答案为：；
（4）．
4.（1）根据材料中等式反映的规律知，
（2）．理由：
∵右边，
左边
，
∴左边＝右边，
∴成立．
【题型5 巧用乘法公式求值】
1.（1），
，
（满足条件①）
当时，（满足条件②）
是的下确界．
（2）∵代数式的下确界是1，
∴设，
∵，
∴，
∴，
解得：，
即：；
（3）
，
，，
（满足条件①）
当，，即，时，（满足条件②）
是的下确界．
2.解：（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵
，
∵，，
∴，
∴,
∴，
故答案为：，；
（3）∵，，
∴，
∴，
∵
，
∴，
答：的值是
3.（1）解：设则
∴
=（a+b）2-2ab
=（-4）2-2×2
=16-4
=12．
（2）解：设，
则，a+b=10，
；
（3）解：正方形ACFG的边长为13-m，面积为（13-m）2，正方形ABDE的边长为10-m，面积为（10-m）2，则有（13-m）2+（10-m）2=117，
设13-m=p，10-m=q，则p2+q2=（13-m）2+（10-m）2=117，p-q=13-m-10+m=3，
所以长方形AEPC的面积为： ．
4.（1）解：方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即；
方法二：阴影部分也可以看作边长为的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，即，
两种方法可得出：；
（2）解：由（1）可得，
∵，，
∴；
（3）解：设，，
∵x满足，
∴，
∵，
∴，
∴的值为；
（4）解：，
A纸片的面积为，B纸片面积为，C纸片面积为，
根据可知要拼出一个面积为的大长方形，需要3张A纸片，1张B纸片，4张C纸片，
则；
（5）解：由图知，，
∴，
∵长方形的面积是24，
∴，
设，，
则，，
由，得，
∴，
∴，
即，
∴阴影部分的面积为．
【题型6 乘法公式的几何背景】
1.解：观察：由图形知，大正方形的面积为，中间小正方形的面积为，
大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积，
∴，
故答案为：；
应用：∵，
∴，
将，代入得：，
∴，
∴，
故答案为：；
拓展：∵正方形的边长为x，
∴，，
∴，
设，，，
∴，
∴
，
∴图中阴影部分的面积为900．
2.（1）
（2）经分析，拼接后的长方形长为、宽为．
∴
（3）∵阴影部分图形拼接前后，面积不变，
∴．
（4）①解：①∵，，
∴
∴，
②
故答案为：①3；②．
3.（1）解：由图可得，，
；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：由图可得，，
∵，
∴．
4.（1）解：这体现的数学思想是数形结合；
故选：D；
（2）解：由题意得阴影部分的面积．
故答案为：；
（3）解：①∵正方形面积为，
小块四边形面积总和为，
∴由面积相等可得：；
故答案为：；
②由①可知，
∵，，
∴，
故答案为：29；
（4）解：面积为的长方形如图所示：
∴；
（5）解：①用不同的方法表示这个大正方体的体积，
得到的等式为；
②∵，，
∴
．
故答案为：；35；
（6）解：左边体积大正方体的体积小长方体的体积；
右边体积长方体的体积；
∴，
故答案为：．
【题型7 相交线中的旋转问题】
1.（1）解：，
的余角的度数是，补角的度数是；
（2）解：①有两种情况：
如图1，当在的下方时，
恰好平分，，
，
未旋转之前，，则未旋转之前，
旋转角，（秒，即在旋转一周的过程中，第15秒时，直线恰好平分，
，
，
∴，
平分；
当在的上方时，过点O作的垂线，
此时，
∴，
∴旋转角：，（秒，即在旋转一周的过程中，第51秒时，直线恰好平分，
∵，
∴，
而，
∴，
∴直线平分；
综上，在旋转一周的过程中，第15秒或51秒时，直线恰好平分，则此时直线平分；
②有两种情况：
当在的下方时，有，理由是：
如图2，在的内部，
，
，
，
，
．
当在的上方时，有，理由是：
如图3，在的内部，
，
．
2.（1）解：因为，
又因为，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以．
（2）解：设旋转的最小角度是，则，，
因为与互补，
所以，即，
解得，
所以旋转的最小角度是．
3.（1）解：∵，
∴，
∵射线平分，
∴，
故答案为：．
（2）解：①（Ⅰ）如图，当平分由，两条射线组成的角时，
∴，
∵，
∴，
∴；
（Ⅱ）如图，当平分由，两条射线组成的角时，
∴；
（Ⅲ）如图，当平分由，两条射线组成的角时，
∴，
∴此时旋转角大于，不符合题意，舍去；
综上，满足要求的所有的值为或．
②（Ⅰ）如图，当时，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
解得，符合题设；
（Ⅱ）如图，当时，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
解得，符合题设；
（Ⅲ）如图，当时，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
解得，不符合题设，舍去；
综上，在旋转过程中存在，此时的值为或．
4.解：探究1：如图所示，作的角平分线，再作，则入射光线和反射光线即为所求；
由平行线的性质可得，由题意得；
探究2：当时，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得；
当时，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得；
当时，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得（舍去）；
综上所述，或；
探究3：如图3-1所示，当射线恰好经过点B时，
由题意得，
∴，，
∴，
解得；
如图3-2所示，当时，
由题意得，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴；
如图3-3所示，当射线和重合时，则，
解得；
如图3-4所示，当时，
同理可得，
∴，
∵，
∴，，
∴；
综上所述，当时，；当时，．
【题型8 相交线中的角度综合问题】
1.（1）解：如图1，
，，
．
（2）解：如图2，
和的平分线相交于点，
，，
由（1）可得：，，
，
．
（3）由（1）得：，
，
，
设与的交点为点，则，
两式相减可得：，
，
，
，
，
即．
2.（1）解：（1）因为，，
所以，
因为平分，
所以；
（2）解：①如图所示：

②∵是垂线段，
∴（垂线段最短）；
故答案为：>，垂线段最短；
③∵，平分，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
3.（1）解：由图1可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即；
（2）解：由图2知：
∵平分，
∴，
设，所以，
∵，
∴，
∴，
∵且，
∴
4.（1）解： ，
当时，，
，
，
故答案为：100，50．
（2）解：，
，
，
故答案为：60．
（3）解：，平分，
，
，，
点到直线的距离等于的长，即为2，
∴的度数为，点到直线的距离为2．
【题型9 平行线中的辅助线构造】
1.（1）解：，
，
∵，
；
（2）解：如图②，过点作，
，，
，
，，
，
；
（3）解：如图所示，过点P作，延长到，
，，
∴，
∴，
是的平分线，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（2）可得，，
∴，
∴，
∴
．
2.（1）解：，理由如下：
过点作，
∵，，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴ ，
由（1）同理得，
∴，
∴；
（3）解：∵平分，平分，
∴，，
设，，则，，
∴，
∵，
∴，
由（1）同理得：，
∴；
故答案为：．
3.（1）解：如图，过点作，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵ ，，
∴ ．
（2）解：如图，过点作，
同理可得：．
∴，．
∵平分，平分，
∴，，
∴．
∴．
由（1）得，
∴，
∴ ．
（3）解：∵，
∴，，．
∵，
∴．
又∵，
∴，即，
∴，，
∴，
∴．
4.（1）证明：如图，延长交于E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解： ；
理由：如图，分别过点P、Q作，
∵，
∴，
∴，
当，，时，
；
（3）解：或或或；
理由如下：如图2-1，分别过点P、Q作，
∵，
∴，
∴，
当，时，
，
∴；
如图2-2，分别过点P、Q作，
∵，
∴，
∴，
当，时，
∴；
如图2-3，分别过点P、Q作，
∵，
∴，
∴，
当，时，
∴；
如图2-4，分别过点P、Q作，
∵，
∴，
∴，
当，时，
∴；
综上可得：或或或．
【题型10 平行线中的定值问题】
1.（1）证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）①如图1，当F在A点右边时，
∵，
∴，
又∵，
∴，
设，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴；
如图：当F在A点左侧时，
∵，
∴，
又∵，
∴，
设，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴；
综上，的度数为或；
②，理由为：
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴
∴．
2.（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
根据旋转可知，．
故答案为：．

（2）解：①是；；
过点G作，如图所示：

∵，
∴，
∴，，
∴，
即；
②当旋转到的位置，且时，如图所示：

∵，
∴，
∵，
∴，
∴此时C、，E在同一直线上，
∴旋转角为：，
∴（秒）；
当旋转到的位置，且时，如图所示：

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（秒）；
当旋转到的位置，且时，如图所示：

∵，
∴，
∴，
∴（秒），
综上分析可知，当t为3秒或5秒或9秒时，线段与三角形的一条边平行．
3.（1）解：如图所示，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：①，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，当在左侧时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴此时不存在常数k使得为定值，
如图所示，当在右侧时，
同理可得，
∴当，即时，，为定值；
综上所述，存在使得，为定值．
4.（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为135；
（2）解：设射线与射线所在直线的交点为点，
旋转时间为秒时，，，
即，
①如图，当时，过点P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
解得，

②如上图，当时，则，
由①可知，即，
解得，
综上所述，当时，射线与射线所在直线的夹角为，
（3）的值不变，理由为：
解：如图，由（2）可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
【题型11 平行线中的角度综合问题】
1.解：（1）如图，
∵折叠，
∴直线折叠重合为两个角，平角为，
∴，即，
∴与直线的位置关系是：垂直，
如图：
∵如图④所示：，
，
由折叠可知：，
，
（内错角相等，两直线平行），
故答案为：垂直；；
（2）①∵灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，
∴灯转动20秒后度数为，
又∵当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置，
∴此时灯再次转动了，
，
故答案为：；
②如图为大致图形：
当时，，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）当为10秒或85秒或130秒时，两灯的光束互相平行，理由如下：
设灯转动秒，两灯的光束互相平行，
①当时，如图，
，
，
，
，
∴，
解得：；
②当时，如图，
，
，
，
，
∴，
∴，
解得：；
③当时，如图，
，
，
，
，
∴，
∴
∴，
解得：，
综上所述：当为10秒或85秒或130秒时，两灯的光束互相平行．
2.（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：，
证明：过点F作交于点G，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：①如图，作，则，
，，
，
故答案为：；
② 过点E作，
由题意可知：，，，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即：与所成锐角的度数为．
3.（1）解：①证明：∵，
∴，
∴
∵
∴
∴；
②如图所示，过点作，
∴
∵
∴
∴
∴；
（2）解：如图所示，的顶点分别为，
依题意，，作，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
4.（1）解：①由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
②由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
由题意得：，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【题型12 与三角形有关的线段】
1.（1）解：当与8、与10分别是对应边时，则，
∴；
当与10、与8分别是对应边时，则，
∴；
综上，或；
（2）因为边长小于边长，所以取，；
当时，以a，m，n为三角形的三边长，
则边长a取值范围为．
∴．
2.解： ，
设，
，，
，
解得：，
，
，，
是的角平分线，
，
是的高线，
，
，
，
故的度数为．
3.（1）解：
则得，
∴，
把代入，得，
解得，
∵关于，的二元一次方程组的解都是正数，
∴
解得，
∴
解得
即；
（2）解：∵
∴
；
（3）解：①当为腰，为底时，
根据题意，得，
即，
解得：；
此时，，，三边长为5、5、2可以构成等腰三角形；
②当为腰，为底时，
根据题意，得．
即，
解得：．
此时，，，三边长为6、3、3不能构成等腰三角形；
综上所述：．
4.（1）解：①三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；
三角形的中线是三角形的二分线，
故答案为：三角形的中线
②是边上的中线
，
，
，
，
是的一条二分线
故答案为：是
（2）解：∵的中点F，
∴，
∵，
∴，
∵G是的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是四边形的二分线．
（3）解：∵
∴，
又∵
∴
∴，
∵是四边形的一条二分线，
∴，
∴
∴．
【题型13 与图形角度有关的计算】
1.（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵的平分线交于点F，
∴，
∴；
（2）解：∵的平分线交于点F，，
∴，
∵，
∴，
∵，恰好平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：依题意有以下两种情况：
①当点M在线段上时，如图3①所示：
设，则，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）的结论得：，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点M在的延长线上时，如图3②所示：
设，则，
∴，
设，则，
同理可得：，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：与的比值为或3．
2.解:∵正五边形的内角和为,
∴其每个内角为,即
∴
∵长方形的每个内角为即
∴
∴.
3.（1）解：，，
．
又，
；
（2）证明：，，
．
，
．
，
，
，即．
4.解：（1）如图1，
∵分别平分和，
∴．
∵是的一个外角，
∴．
∵是的一个外角，
∴．
∴．
故答案为：．
（2）由题意，如图2，
∵是的一个外角，
∴．
又∵分别平分和，
∴．
∴．
又∵，
∴．
又∵，
∴．
（3）由题意，如图3，
∵是的一个外角，
∴．
又∵，
∴．
又∵分别平分和，
∴．
∴．
又∵，
∴
又∵，
∴．
【题型14 全等三角形的性质与判定的综合运用】
1.（1）解：由题意得：，；
（2）解：∵点的运动速度也为每秒，
∴，，
∵；
∴，
∴，解得，
∴时，；
（3）解：由点的运动速度和点的速度不相等，则，
∵，
∴，，
∴为中点，
∴，解得：，
∴点的速度为每秒．
2.解：如图，连接，设与的交点为O．
因为关于的对称线段是，
所以．
因为，
所以
因为边关于的对称线段是，
所以，
所以，
所以，
所以．
又因为点落在所在的直线上，，
所以，
所以，
所以．
3.解：正五边形的内角和为，
，
，
，
，
．
4.（1）解：当点P在上时，
∵的面积等于面积的三分之二，
∴，
∴点P移动的距离为，
∴移动的时间为：；
当点P在上时，
∵的面积等于面积的三分之二；
∴，
∴点P移动的距离为，
∴移动的时间为：；
故答案为：或；
（2）解：∵，
∴对应顶点为与，与，与；
①当点在上，如图所示：

此时，，，
点移动的速度为，
②当点在上，如图所示：

此时，，，
即，点移动的路程为，点移动的路程为，
点移动的速度为，
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好，点的运动速度为或．
【题型15 设计轴对称图案】
1.解：如下图所示，
（答案不唯一）
2.（1）解：该图是轴对称图形，对称轴如图所示：
（2）解：共有四种方法，如图所示：

3.解：（答案不唯一）如图所示．
4.（1）解：由图知，图①、图②、图③中图案都是轴对称图形，
故答案为：都是轴对称图形；
（2）解：根据题意作图如下：（答案不唯一）

（3）解：根据题意作图如下：（答案不唯一）

【题型16 简单的轴对称图形】
1.解：（1）猜想：，理由如下：
∵，，，
∴
∴；
（2）由（1）同理可得：，
∵，，
∴是等腰三角形
∴，依据是等腰三角形“三线合一”性质
故选：C；
（3）∵，，
∴
四边形为“筝形”，
∴①当，时，如图，
四边形为“筝形”，
∴
∴
∴；
②当，时，如图，
四边形为“筝形”，
∴
∴
∴；
综上：的度数为或．
2.（1）解：如图，过点作于点，
由作图可知，平分，
又垂直平分边，，
，
，，
，
△与△的面积比；
（2）解：，，
，，
平分，
，
垂直平分边，
，
，
．
3.解：（）∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：或；
（）如图所示，点即为所求；
（）当在线段上时，；当在射线上时，，理由如下：
第一种情况：
如图③，延长交于点，
设，则，
，
，
在中，，
，
，
在中，
，
，
；
第二种情况：
如图④，由题知，
，
，
，
，
，
，
．
4.（1）解：根据题意可知：，
∵，
则，
∴，
故答案为：40．
（2）解：由题意可得：，
∴，
∴．
故答案为：46．
（3）解：以点A为圆心，适当半径为弧，交l与点C与点D，分别以点C，点D为圆心，以大于为半径画弧交点G，连接交l与点E，再以点E为圆心，为半径画弧交与点，连接交l与点O，点O即为所求．
（4）解：如下图：
小球从长方形的点A沿射出，到的点E，．
从E点沿与成射出，到边的F点，，
从F点沿与成射出，到边的G点，，
从G沿与成射出，到边的H点，
从H点沿与成射出，到边的M点，
从M点沿与成射出，到B点，
由（1）中的结论以及轴对称的性质可知：
，，．
根据图可知5次碰撞后是2个半以为边长的正方形，
∵，
∴．
【题型17 变量之间的关系】
1.（1）解：根据表格中的数据变化可得：
上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费，
故答案为：印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费；
（2）解：从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而增加，
故答案为：增加；
（3）由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为（元），
所以印刷1000张的费用为：（元），
故答案为：150．
2.（1）解：∵圆环的面积随着挖去小圆的半径增大而减小，
∴因变量是剩下的圆环面积；
故答案为：剩下的圆环面积；
（2）解：由题意得，，
故答案为：；
（3）把代入中得：，
∴剩下的圆环面积为．
3.每户使用不足吨时，每吨收费：元，
超过吨时，每吨收费：元
元
吨
吨
4.由表格可知，
小明的妈妈每次单程票票价为元，
故小明的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费为：元，
即小明的妈妈刷卡乘车一个月的地铁交通费是元；
小明的妈妈每月用于上下班的地铁交通费最少是元，
理由：小明妈妈一个月需要坐地铁次，
当选择月票时较低的费用为：元，
当选择月票时较低的费用为：元，
当选择月票时的费用为元；
，
小明的妈妈每月用于上下班的地铁交通费最少是元．

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