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2024-2025学年七年级数学下册期末复习题--解答压轴题
【题型1 相交线中的旋转问题】
1.如图，O，D两点在直线上，在的同侧作直角三角形和射线，使．
(1)分别求的余角和补角的度数；
(2)将绕点O按每秒的速度逆时针方向旋转．
①在旋转一周的过程中，第几秒时，直线恰好平分，则此时直线是否平分？请说明理由
②在旋转一周的过程中，满足在的内部，请探究此时与之间的数量关系，请说明理由．
2.“苍南1号”是我国第一个平价海上风电项目，服务于国家“双碳”战略，具有显著的环境效益和经济效益．如图1所示，风电机的塔架垂直于海平面，叶片，，可绕着轴心旋转，且．
(1)如图2，当时，求的度数．
(2)叶片从图3位置（与重合）开始绕点顺时针旋转，若旋转后与互补，则旋转的最小角度是多少度？
3.将三角板的直角顶点O放置在直线上．
(1)若按图1的方式摆放，且，射线平分，则________．
(2)如图2，，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转一个角度（即，）．
①当平分由，，其中两条射线组成的角时，求满足要求的所有的值．
②在旋转过程中是否存在？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．
4.【综合实践】根据以下素材，探索完成任务：
小江和小南在做物理实验时发现：当光发生反射时，反射光线与平面镜的夹角总是等于入射光线与平面镜的夹角．于是，他们想进一步探究转动的平面镜对光线反射的影响．如图1，点O为水平放置的平面镜上一点，将一块三角板的直角顶点摆放在O处，满足斜边，．现有一束光线经平面镜反射后沿射出，当光发生反射时，总是等于．若使光线从与重合处开始绕着点O以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒．
【探究1】当时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出此时入射光线和反射光线所在位置；
【探究2】当，且时，求出满足条件的t的值；
【探究3】若在光线开始转动的同时，平面镜也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当时，请直接写出和之间的数量关系．
【题型2 相交线中的角度综合问题】
1.）我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，，相交于点，连接，得到“8”字图形．
(1)如图1，试说明的理由；
(2)如图2，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索与、间的关系；
(3)如图3，点为延长线上一点，、分别是、的四等分线，且，，的延长线与交于点，请探索与、的关系．（直接写结论）
2.如图，相交于点O，，平分．

(1)求的度数；
(2)过点作的垂线，点N，E是垂线上的点，点在直线的上方，点在直线的下方，连接线段．
①依题意补全图形；
②线段与长度的大小关系为：_____（填“>”“=”或“<”），依据是_____；
③的度数是_____．
3.在一节数学课上，老师与同学们以“同一平面内，点O在直线上，用三角尺画，使；作射线，使平分”为问题背景，展开研究．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，请你通过所学习的相关知识说明．
4.已知直线相交于点，点在内部，作射线．
(1)如图①，，则_______；_______；
(2)如图②，，则_______；
(3)如图③，平分，求的度数及点到直线的距离．
【题型3 平行线中的辅助线构造】
1.如图，已知，点在射线上，．
(1)如图①，若，，求的度数；
(2)如图②，若，射线沿射线移动得到，点在射线上，探究和的关系；
(3)如图③，在（2）的条件下，作，垂足为，与的平分线交于点．若，试用含的式子表示的度数．
2.直线，点、分别是直线、上的点，点为直线、之间的点．
(1)如图1，判断、、之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，点为直线上一点，且点在点右侧，，的平分线交直线于点，点在点右侧，求的值．
(3)如图3，绕点转动，与交于点，且始终在的内部，平分，交直线于点，平分，交直线于点，若，，则 （用含α、β的代数式表示）．
3.已知点，，不在同一条直线上，．
(1)如图①，当 ， 时，求的度数；
(2)如图②，为的平分线，的反向延长线与的平分线交于点，试探究与之间的数量关系；
(3)如图③，在（2）的前提下，有，，直接写出的值．
4.在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线．
(1)如图1所示，当机械臂时，证明．
(2)如图2所示，当，，时，______（用含的式子表示）
(3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含的式子表示）
【题型4 平行线中的定值问题】
1.已知：点A在直线上，点都在直线上（点B在点C的左侧），连接，AC，AB平分，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点K为线段上一动点，连结，且始终满足，
①当时，在直线上取点，连接，使得，求此时的度数．
②在点K的运动过程中，与的度数之比为定值，请直接写出这个定值，不需要说明理由．
2.如图所示，将一副三角板中的两块直角三角板按图1放置，，，，，此时点A与点D重合，点A，C，E三点共线．

(1)对于图1，固定三角形的位置不变，将三角形绕点A按顺时针方向进行旋转，旋转至与首次垂直，如图2所示，此时的度数是______；
(2)若直线，固定三角形的位置不变，将图1中的三角形沿方向平移，使得点C正好落在直线上，再将三角形绕点C按逆时针方向进行旋转，如图3所示．
①若边与边相交于点G，试判断的值是否为定值，若是定值，则求出该定值；若不是定值，请说明理由；
②固定三角形的位置不变，将三角形绕点C按逆时针方向以每秒的速度旋转，至与直线首次重合时停止运动．设旋转时间为t．
问：当t为何值时，线段与三角形的一条边平行（选择你喜欢的一条边探究，如果符合条件的t不存在，只要理由充分，也可得分）
3.如图，，点E在直线和之间，且在直线的左侧，．
(1)如图1，求的度数（用含的式子表示）；
(2)连接，过点E作，交于点F，动点G在射线上，．
①如图2，若，平分，判断与的位置关系并说明理由．
②连接，若，于点G，是否存在常数k，使为定值，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
4.如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为t秒．
(1)______；
(2)在转动过程中，当射线与射线所在直线的夹角为，直接写出t的值______．
(3)在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H作交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值：如果改变，请说明理由．
【题型5 平行线中的角度综合问题】
1.【动手操作】在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点P画直线的平行线的方法，折纸过程如下：①②③④．
【问题初探】
（1）通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是________；如图④，________，则与的位置关系为平行．
【问题二探】
（2）张华在（1）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，射灯P发出的射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，射灯Q发出的射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转．两灯不停旋转交叉照射，射灯P、射灯Q转动的速度分别是秒、秒，若射线转动20秒后，射线开始转动，在射线第一次到达之前．当射灯Q转动t秒时，射线转动到如图⑤的位置．
①________（用含t的式子表示）；
②记射线与射线的交点为点O，在图⑥中画出时的图形，并求出此时的大小；
【问题三探】
（3）在（2）的条件下，在射线第一次到达之前，射灯Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由．

2.在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能．
(1)【问题初探】如图1，，，求证：．
(2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由．
(3)【迁移应用】
① 路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则 ；
② 一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数．
3.（1）问题情景：如图1，已知，．
①问题初探：请对说明理由；
②拓展探究：请对说明理由．
（2）迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为______．
4.学行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线．
(1)如图1，长方形纸条中，，，，将纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G．
①若，求的度数．
②若，则________（用含α的式子表示）．
(2)如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由．
(3)如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，直接写出和的数量关系．
【题型6 无理数的估算】
1.阅读材料：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．
请解答下列问题：
(1)的整数部分是_____，小数部分是_____；
(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
(3)已知，其中是整数，且，求的相反数．
2.大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，所以的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
请根据上述材料解答：
(1)已知的立方根是2，b是的整数部分，求的平方根；
(2)已知，其中x是整数，且，请你求出的值．
3.阅读下面的文字，解答问题：
（一）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分．
例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．
（1）如果的小数部分为，的整数部分为，则_____，_____．
（2）已知是的整数部分，是它的小数部分，求的平方根．
（二）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：
（1）由，，，能确定是两位数；
（2）由59319的个位上的数是9，能确定的个位上的数是9；
（3）如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由此你能确定的十位上的数是3；
（4）已知110592是整数的立方，按照上述方法，请你直接写出：_____．
4.阅读材料1．
是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为．
（1）已知，其中x是整数，且，求的值；
阅读材料2．
小李同学探索的近似值的过程如下：
∵面积为167的正方形的边长是且，
∴可设，其中，画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积；又∵，∴．由，可忽略，得，得到，即．
（2）仿照材料2中的方法，探究解答的近似值．（要求：画出图形，标明数据，结果保留两位小数）
【题型7 与实数有关的规律探究】
1.先观察下列等式，再回答问题：
①；②；③
(1)请写出第④个等式：_________；
(2)猜想第n个等式：________；（用含n的式子表示）
(3)根据上述规律计算：
2.（1）填表：
… 1 100 10000 …
… 100 …
（2）利用上表中的规律，解决下列问题：已知，，则的值为 ；
（3）当时，比较和的大小．
3.观察下列规律回答问题：
(1)_______，_______；
(2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______；
(3)根据规律写出与a的大小情况．
4.观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……
规律发现：
(1)根据上述规律，直接写出下列算式的值：
①______；
②______．
(2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：______．
(3)根据上述规律计算：
【题型8 与实数有关的应用】
1.2022年卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段的比赛．决赛阶段分为分组积分赛和复赛．32支球队通过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行分组积分赛，分组积分赛采取单循环比赛（同组内每2支球队之间都只进行一场比赛），各个小组的前两名共16支球队将获得出线资格，进入复赛；进入复赛后均进行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确定赛程，不再抽签，然后进行决赛，决赛，最后胜出的4支球队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队决出冠、亚军，另外2支球队决出三、四名．
(1)本届世界杯分在组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个组分组积分赛对阵表（不要求写对阵时间）．
(2)请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？
(3)请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？
2.座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，）
(1)求摆针摆动的周期．
(2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？
3.将一个半径为10cm的圆柱体容器里的药液倒进一个底面是正方形的长方体容器内，如果药液在两个容器里的高度是一样的，那么长方体容器的底面边长是多少？（结果精确到0.1）
4.我们知道，每个自然数都有正因数，将这个自然数的所有正奇数因数之和减去所有正偶数因数之和，再除以这个自然数所得的商叫做这个自然数的“完美指标"．例如：10的正因数有1，2，5，10，它的正奇数因数是1，5，它的正偶数因数是2，10． 所以10的“完美指标”是：．我们规定，若一个自然数的“完美指标”的绝对值越小，这个数就越“完美”．例如：因为6的“完美指标”是，没有正偶数因数，7的“完美指标”是，且，所以6比7更“完美”．
根据上述材料，求出18，19，20，21 这四个自然数中最“完美”的数．
【题型9 平面直角坐标系中点的坐标特征】
1.在平面直角坐标系xOy中，对于点，，将的值叫做点A与点B的“纵横距离”，记为，即．已知点，，．
(1)点A与点B的“纵横距离”的值为_______；已知点M在x轴上，的值为4，则点M的坐标为________．
(2)若平面上有一点D，使得最小，则D点坐标为________．
(3)如果P是不同于A，O的点，且满足，请用文字语言描述出所有符合条件的点P所在的位置．
2.若点的坐标满足，我们称点为“横和点”．
(1)已知点为“横和点”，求的值；
(2)在平面直角坐标系中，将三角形平移得到三角形，点的对应点分别是点，已知点，点，点，点为“横和点”，点的横坐标为．
①若点为“横和点”，且三角形的面积为8，求点的坐标；
②若点的坐标是，点在轴上，判断点是否为“横和点”，并说明理由．
3.在平面直角坐标系中，对于点和点，若点的坐标为，则称点N和点互为“对分点”．若图形W上存在一点T且点T的“对分点”恰好也在图形W上，则称图形W为“对分图形”．

已知点，，，，．
(1)①点A的“对分点”的坐标是______；
②若点A的“对分点”是点B，则点的坐标是______．
(2)点（其中b为非零整数）与线段组成的图形记为图形U，图形U是“对分图形”，则所有满足条件的点C坐标为______．
(3)已知点，，将线段，，，首尾顺次连接，组成正方形，正方形与线段组成的图形记为图形V．若图形V是“对分图形”，则k的取值范围为______．
4.在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且）．例如：点的“2阶智慧点”为点，即点．
(1)点的“3阶智慧点”的坐标为______．
(2)若点B的“4阶智慧点”为，求点B的坐标．
(3)若点的“阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值．
【题型10 平面直角坐标系中的面积问题】
1.如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，将点向右平行移动个单位长度到点，动点从点出发沿射线的方向以个单位长度/秒的速度运动，运动时间为秒．
(1)求四边形的面积；
(2)当三角形 的面积为四边形的面积的时，求的值；
(3)当为何值时，．
2.已知，如图，在直角坐标系中，轴，轴，，，有个点从运动，每秒钟1个单位，同时点从也以每秒1个单位运动，运动时间为，
(1)写出，，三个点坐标．
(2)当秒时，求的面积．
(3)当到轴距离等于到轴距离时，求时间．
3.如图，在平面直角坐标系中，已知点，且．点在第四象限．
(1)求a，b的值；
(2)若点C到y轴的距离是到x轴距离的两倍，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，点D从原点O出发以每秒2个单位的速度沿x轴负方向运动，连接交y轴于点E，则当点D运动多少秒时，三角形与三角形面积相等？
4.如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为．将线段向右平移3个单位，再向上平移1个单位后，得到线段．
(1)直接写出点E，F的坐标：
(2)如图2，将线段沿y轴向下平移个单位后得到线段（点A与点B对应），过点B作轴于点D．若，求a的值；
(3)如图1，在x轴上是否存在一点P，使得（和分别表示和的面积），若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型11 坐标与图形】
1.如图1，在平面直角坐标系中，，，将线段沿轴向右平移个单位得到线段，点为射线上一动点．
(1)填空：点的坐标为__________，点的坐标为__________．
(2)如图1，点是线段上一点（不与点、重合），当点在射线上运动时（点不与点重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系，直接写出答案；
(3)如图2，点在轴上，且，连接，，，当的面积等于的面积时，请求出点的坐标．
2.在平面直角坐标系中、，a、b满足．
(1)如图1，求点A、B的坐标；
(2)如图2，y轴上有一点E，的面积是6，求点E的坐标；
(3)如图3，将线段沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由．
3.如图1，在平面直角坐标系中；，且满足，过作轴于．
(1)___________，___________，三角形的面积___________；
(2)若过作交轴于，，分别平分，，如图2，求的度数；
(3)在轴上存在点，使得三角形和三角形的面积相等，则点坐标为___________．
4.如图1，点，，且满足．
(1)直接写出、的坐标：（0，______），（________，0）；
(2)点以每秒2个单位长度从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒3个单位长度从点向轴正半轴运动，直线，交于点，设点，运动的时间为秒．
①当时，求证：；
②如图2，当时，在线段上任取一点，连接．点为的角平分线上一点，连接，且满足．请将图2补全，直接写出、、之间的数量关系．
【题型12 二元一次方程（组）的解】
1.在解方程组时，甲由于粗心看错了方程组中的，求得方程组的解为；乙看错了方程组中的，求得方程组的解为；甲把看成了什么？乙把看成了什么？求出原方程组的正确解．
2.阅读下列材料：我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，由2，3互质，可知：为3的倍数，将，代入得．所以的一组正整数解为．
问题：
（1）请你直接写出方程的一组正整数解_______；
（2）若为自然数，则满足条件的正整数的值有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
（3）为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球作为奖品，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，写出购买方案．
3.已知二元一次方程（a，b均为常数，且a≠0）．
(1)当a＝3，b＝﹣4时，用x的代数式表示y；
(2)若是该二元一次方程的一个解，
①探索a与b关系，并说明理由；
②无论a、b取何值，该方程有一组固定解，请求出这组解．
4.阅读材料：
关于x，y的二元一次方程有一组整数解，则方程的全部整数解可表示为（t为整数）．问题：求方程的所有正整数解．
小明参考阅读材料，解决该问题如下：
解：该方程一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）．
因为解得．因为t为整数，所以t=0或-1．
所以该方程的正整数解为和 ．
(1)方程的全部整数解表示为：（t为整数），则= ；
(2)请你参考小明的解题方法，求方程的全部正整数解；
(3)方程的正整数解有多少组 请直接写出答案．
【题型13 求二元一次方程（组）中的参数】
1.已知关于，的方程组（是常数）．
(1)当时，则方程组可化为．
①请直接写出方程的所有非负整数解．
②若该方程组的解也满足方程，求的值．
(2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值．
2.阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为．问题：
（1）请你直接写出方程的正整数解___________．
（2）若为自然数，则求出满足条件的正整数的值．
（3）关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值．
3.在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①得：③，由②得：④．
③＋④得：⑤．
当时，
即，解得．
∴①②，得．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
(1)若有理数a、b满足，求a、b的值；
(2)母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
4.已知关于，的方程组
（1）请写出方程的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求的值；
（3）无论实数取何值，方程总有一个公共解，你能把求出这个公共解吗？
（4）如果方程组有整数解，求整数的值．
【题型14 二元一次方程组的特殊解法】
1.换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想．
(1)填空：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，，则原方程组可化为关于a、b的方程组解得a、b的值；这样可得，从而得到原方程组的解为．
(2)请用换元法解方程：．
2.解下列方程组：
(1)
(2)
(3)已知的解为，则关于的方程的解为___________．
3.阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组
解：由①②，得，即③，
③，得④，
②④得，
从而可得，
∴原方程组的解是．
(1)请你仿照上面的解题方法解方程组；
(2)请你仿照上面的解题方法解方程组；
(3)请大胆猜测关于的方程组 的解是什么？并用方程组的解加以验证．
4.规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．
(1)方程的共轭二元一次方程是 ；
(2)若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ；
(3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题：
解共轭方程组时，可以采用下面的解法：
②+①得：，所以③
③得：④
①-④得：，从而得
所以原方程组的解是
用上述方法求共轭方程组的解．
【题型15 二元一次方程（组）的应用】
1.图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为．
因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗）
【任务一】拟定裁切方案
（1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块．
（2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案：
方案一：裁切靠背板______块和座板______块．
方案二：裁切靠背板______块和座板______块．
方案三：裁切靠背板______块和座板______块．
【任务二】确定搭配数量
（3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材．
2.一个游乐场里有一段直线巡游路，琪琪和佳佳分别以相同速度相对而行，一辆巡游电车从琪琪身边通过用了3秒，5分钟后这辆车与佳佳迎面相遇，从佳佳身边通过用了2秒，巡游电车离开佳佳后多少分钟琪琪和佳佳碰面了？
3.一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．
4.列二元一次方程组解应用题：
爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下：
时刻
里程表上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9时看到的两位数中间多了个0
设：时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y，回答下列问题：
(1)用含x，y代数式表示：时里程碑上的数字______；时看到里程表上的数______；时看到里程表上的数______；
(2)列方程组并求出时里程碑上的数．
【题型16 求一元一次不等式（组）中参数】
1.我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解（两个不等式解集的公共部分），那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．
(1)在不等式①，②，③中，不等式的“云不等式”是_____________．（填序号）
(2)若，若关于的不等式与不等式互为“云不等式”，求的取值范围．
2.我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题：
(1)不等式组的“长度”______；“整点”为______；
(2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围；
(3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
3.阅读下面材料：
关于x的不等式的所有解都满足，求a的取值范围．

解：∵，∴当时，，当时，．
∵x的不等式的所有解都满足，
∴．
根据材料，完成下列各题：
(1)解关于x的不等式．
(2)关于x不等式的所有解都满足不等式，求a的取值范围．
(3)如果不等式组非负整数解的和为3，求a的取值范围．
4.若点的坐标满足．
(1)若点的坐标为，求，的值；
(2)若点在第二象限，且符合要求的整数只有五个，求的取值范围；
(3)若点为不在轴上的点，且关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集．
【题型17 解特殊不等式组】
1.阅读下列材料：
我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；
例 1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为的点对应的数为，所以方程的解为．
例 2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到对应的点的距离等于的点对应的数为或，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程的解为 ；
（2）解不等式：；
（3）解不等式：．
2.记表示正数x四舍五入后的结果，例如
(1) =_ , =
(2)若,则x的取值范围是 ．
(3)若则x的取值范围是
3.【阅读思考】阅读下列材料：
已知“x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：∵x﹣y＝2，
∴x＝y+2
又∵x＞1
∴y+2＞1
∴y＞﹣1
又∵y＜0
∴﹣1＜y＜0 ①
同理1＜x ＜2 ②
由①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2
∴x+y 的取值范围是0＜x+y ＜2
【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题：
已知x ﹣y ＝3，且x ＞ 2，y ＜1，则x+y的取值范围是 ；
【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题：
已知x+y＝2，且x＞1，y＞﹣4，试确定x﹣y的取值范围．
4.已知，若，则称x为a，b的偏小值；若，则称x为a，b的偏大值．
(1)已知x为和3的偏小值，且x为整数，求x的值；
(2)若m为整数，且在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数，请直接写出所有符合条件的m的值．
【题型18 一元一次不等式（组）的应用】
1.根据以下素材，探索完成任务．
背景 深外初中部与南科大物理系联合开发“高阶科学实验之旅”拓展课程，学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，带领学生走进南科大，了解量子物理全球前沿发展动态，参观高精尖实验室．
素材1 A型车最大载客量是60人，B型车的最大载客量是40人，已知A型车每辆的租金是500元，B型车每辆的租金是350元．
素材2 七年级的师生共有360人，根据学校预算，租车的费用需要控制在3300元（包含3300元）以内．
问题解决
任务1 根据素材2中该校七年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案．（用一元一次不等式组求解）
任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算3300元省多少钱？
2.某学校为庆祝办学周年校庆活动，特订购校庆纪念册和校庆纪念品．经了解，以纪念册和纪念品的平均单价计算，订购本纪念册和件纪念品共需元；订购本纪念册比件纪念品多花元．
(1)求平均每本校庆纪念册和每个校庆纪念品各是多少元．
(2)计划订购校庆纪念册和校庆纪念品总费用不超过元，其中订购校庆纪念册大于本，校庆纪念册的数量比校庆纪念品的数量多，请求出所有符合条件的订购方案．
3.随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下：
型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元）
型 27000
型 12000
已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%．
(1)求，两种型号的机器人的进价各是多少？
(2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？
4.据灯塔专业版数据，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元；且每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多5元．
(1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？
(2)因销售效果不错，某玩具店决定购进、两种哪吒玩偶共100个，且种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？
参考答案
【题型1 相交线中的旋转问题】
1.（1）解：，
的余角的度数是，补角的度数是；
（2）解：①有两种情况：
如图1，当在的下方时，
恰好平分，，
，
未旋转之前，，则未旋转之前，
旋转角，（秒，即在旋转一周的过程中，第15秒时，直线恰好平分，
，
，
∴，
平分；
当在的上方时，过点O作的垂线，
此时，
∴，
∴旋转角：，（秒，即在旋转一周的过程中，第51秒时，直线恰好平分，
∵，
∴，
而，
∴，
∴直线平分；
综上，在旋转一周的过程中，第15秒或51秒时，直线恰好平分，则此时直线平分；
②有两种情况：
当在的下方时，有，理由是：
如图2，在的内部，
，
，
，
，
．
当在的上方时，有，理由是：
如图3，在的内部，
，
．
2.（1）解：因为，
又因为，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以．
（2）解：设旋转的最小角度是，则，，
因为与互补，
所以，即，
解得，
所以旋转的最小角度是．
3.（1）解：∵，
∴，
∵射线平分，
∴，
故答案为：．
（2）解：①（Ⅰ）如图，当平分由，两条射线组成的角时，
∴，
∵，
∴，
∴；
（Ⅱ）如图，当平分由，两条射线组成的角时，
∴；
（Ⅲ）如图，当平分由，两条射线组成的角时，
∴，
∴此时旋转角大于，不符合题意，舍去；
综上，满足要求的所有的值为或．
②（Ⅰ）如图，当时，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
解得，符合题设；
（Ⅱ）如图，当时，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
解得，符合题设；
（Ⅲ）如图，当时，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
解得，不符合题设，舍去；
综上，在旋转过程中存在，此时的值为或．
4.解：探究1：如图所示，作的角平分线，再作，则入射光线和反射光线即为所求；
由平行线的性质可得，由题意得；
探究2：当时，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得；
当时，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得；
当时，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得（舍去）；
综上所述，或；
探究3：如图3-1所示，当射线恰好经过点B时，
由题意得，
∴，，
∴，
解得；
如图3-2所示，当时，
由题意得，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴；
如图3-3所示，当射线和重合时，则，
解得；
如图3-4所示，当时，
同理可得，
∴，
∵，
∴，，
∴；
综上所述，当时，；当时，．
【题型2 相交线中的角度综合问题】
1.（1）解：如图1，
，，
．
（2）解：如图2，
和的平分线相交于点，
，，
由（1）可得：，，
，
．
（3）由（1）得：，
，
，
设与的交点为点，则，
两式相减可得：，
，
，
，
，
即．
2.（1）解：（1）因为，，
所以，
因为平分，
所以；
（2）解：①如图所示：

②∵是垂线段，
∴（垂线段最短）；
故答案为：>，垂线段最短；
③∵，平分，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
3.（1）解：由图1可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即；
（2）解：由图2知：
∵平分，
∴，
设，所以，
∵，
∴，
∴，
∵且，
∴
4.（1）解： ，
当时，，
，
，
故答案为：100，50．
（2）解：，
，
，
故答案为：60．
（3）解：，平分，
，
，，
点到直线的距离等于的长，即为2，
∴的度数为，点到直线的距离为2．
【题型3 平行线中的辅助线构造】
1.（1）解：，
，
∵，
；
（2）解：如图②，过点作，
，，
，
，，
，
；
（3）解：如图所示，过点P作，延长到，
，，
∴，
∴，
是的平分线，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（2）可得，，
∴，
∴，
∴
．
2.（1）解：，理由如下：
过点作，
∵，，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴ ，
由（1）同理得，
∴，
∴；
（3）解：∵平分，平分，
∴，，
设，，则，，
∴，
∵，
∴，
由（1）同理得：，
∴；
故答案为：．
3.（1）解：如图，过点作，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵ ，，
∴ ．
（2）解：如图，过点作，
同理可得：．
∴，．
∵平分，平分，
∴，，
∴．
∴．
由（1）得，
∴，
∴ ．
（3）解：∵，
∴，，．
∵，
∴．
又∵，
∴，即，
∴，，
∴，
∴．
4.（1）证明：如图，延长交于E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解： ；
理由：如图，分别过点P、Q作，
∵，
∴，
∴，
当，，时，
；
（3）解：或或或；
理由如下：如图2-1，分别过点P、Q作，
∵，
∴，
∴，
当，时，
，
∴；
如图2-2，分别过点P、Q作，
∵，
∴，
∴，
当，时，
∴；
如图2-3，分别过点P、Q作，
∵，
∴，
∴，
当，时，
∴；
如图2-4，分别过点P、Q作，
∵，
∴，
∴，
当，时，
∴；
综上可得：或或或．
【题型4 平行线中的定值问题】
1.（1）证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）①如图1，当F在A点右边时，
∵，
∴，
又∵，
∴，
设，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴；
如图：当F在A点左侧时，
∵，
∴，
又∵，
∴，
设，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴；
综上，的度数为或；
②，理由为：
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴
∴．
2.（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
根据旋转可知，．
故答案为：．

（2）解：①是；；
过点G作，如图所示：

∵，
∴，
∴，，
∴，
即；
②当旋转到的位置，且时，如图所示：

∵，
∴，
∵，
∴，
∴此时C、，E在同一直线上，
∴旋转角为：，
∴（秒）；
当旋转到的位置，且时，如图所示：

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（秒）；
当旋转到的位置，且时，如图所示：

∵，
∴，
∴，
∴（秒），
综上分析可知，当t为3秒或5秒或9秒时，线段与三角形的一条边平行．
3.（1）解：如图所示，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：①，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，当在左侧时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴此时不存在常数k使得为定值，
如图所示，当在右侧时，
同理可得，
∴当，即时，，为定值；
综上所述，存在使得，为定值．
4.（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为135；
（2）解：设射线与射线所在直线的交点为点，
旋转时间为秒时，，，
即，
①如图，当时，过点P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
解得，

②如上图，当时，则，
由①可知，即，
解得，
综上所述，当时，射线与射线所在直线的夹角为，
（3）的值不变，理由为：
解：如图，由（2）可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
【题型5 平行线中的角度综合问题】
1.解：（1）如图，
∵折叠，
∴直线折叠重合为两个角，平角为，
∴，即，
∴与直线的位置关系是：垂直，
如图：
∵如图④所示：，
，
由折叠可知：，
，
（内错角相等，两直线平行），
故答案为：垂直；；
（2）①∵灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，
∴灯转动20秒后度数为，
又∵当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置，
∴此时灯再次转动了，
，
故答案为：；
②如图为大致图形：
当时，，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）当为10秒或85秒或130秒时，两灯的光束互相平行，理由如下：
设灯转动秒，两灯的光束互相平行，
①当时，如图，
，
，
，
，
∴，
解得：；
②当时，如图，
，
，
，
，
∴，
∴，
解得：；
③当时，如图，
，
，
，
，
∴，
∴
∴，
解得：，
综上所述：当为10秒或85秒或130秒时，两灯的光束互相平行．
2.（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：，
证明：过点F作交于点G，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：①如图，作，则，
，，
，
故答案为：；
② 过点E作，
由题意可知：，，，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即：与所成锐角的度数为．
3.（1）解：①证明：∵，
∴，
∴
∵
∴
∴；
②如图所示，过点作，
∴
∵
∴
∴
∴；
（2）解：如图所示，的顶点分别为，
依题意，，作，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
4.（1）解：①由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
②由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
由题意得：，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【题型6 无理数的估算】
1.（1）解：，
，即，
的整数部分是，小数部分是，
故答案为：4，；
（2）解：，
，即，
，
，
，即，
，
；
（3）解：，
，即，
．
，其中m是整数，且，
，，
，
∴的相反数为．
2.（1）解：∵的立方根是2，
∴，
解得，
∵，
∴的整数部分是3，
∴，
∴，
∵4的平方根为，
∴的平方根为；
（2）解：∵，其中x是整数，且，而，
∴，
∴，
∴，
∴，则的值为．
3.解：（一）（1）∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴
（2）∵，
∴，
∴，，
∴，
∴的平方根为．
（二）由，，而，
则110592的立方根也是两位数；
由110592的个位数字是2，因此可知110592的个位数字为8，
划去110592后面的三位592得到数110，而，，
由此可以确定义110592的十位数字为4
所以110592的立方根，即．
4.解：（1）∵
∴
∴
∵，其中x是整数，且，
∴，
∴；
（2）∵，
∴可设，其中，画出示意图，如图所示，
根据示意图，可得图中正方形的面积，
又∵，
∴，
由，可忽略，
∴，得到，即．
【题型7 与实数有关的规律探究】
1.（1）解：∵①；②；③
根据以上规律可得第④个等式是：．
（2）解：根据以上规律可得第n个等式是：．
（3）解：
．
2.解：（1）填表如下：
… 1 100 10000 …
… 100 …
（2）观察表格可得规律：当被开方数a的小数点向左或向右移动2位，它的算术平方根的小数点相应地向左或向右移动1位；
，，
即从19到1900小数点向右移动2位，则a的小数点向右移动了4位
；
（3）根据题意得：当时，；
当时，；
当或时，
3.（1）解：（1）；；
按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位，
故答案为：0.01、100；
（2）已知，若，用含的代数式表示，则，
故答案为：；
（3） ，，，，，
与的大小情况为：
当或时，；
当或或时，；
当或时，．
4.（1）解：①由题意得：；
②；
（2）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
第个等式：；
（3）解：
．
【题型8 与实数有关的应用】
1.（1）组分组积分赛对阵表：
阿根廷 沙特 墨西哥 波兰
阿根廷 阿根廷：沙特 阿根廷：墨西哥 阿根廷：波兰
沙特 沙特：阿根廷 沙特：墨西哥 沙特：波兰
墨西哥 墨西哥：阿根廷 墨西哥：沙特 墨西哥：波兰
波兰 波兰：阿根廷 波兰：沙特 波兰：墨西哥
（2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场，决赛，决赛，半决赛，决赛又踢了4场，
一共踢了（场），
本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛；
（3）分组积分赛每个小组6场，8个小组一共（场）；
决赛一共8场，决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各1场；
一共踢了（场）；
本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛．
2.（1）解：∵，
∴当时，；
（2）（次）．
答：该座钟大约发出了420次滴答声．
3.解：由题意得两个容器底面积相等，所以体积相同，再根据体积公式可得两个容器的底面积相等，即正方形面积为π×102＝100π
设长方体容器底面边长为x
∴x2=100π
∴x==
长方体容器底面边长为≈17.7cm．
答：长方体容器的底面边长约为17.7cm．
4.解：18的正因数有1、2、3、6、9、18，其中1、3、9是正奇数因数，
18的完美指标为；
19的正因数有1、19，其中1、19是正奇数因数，
19的完美指标为，
20的正因数有1、2、4、5、10、20，其中1、5是正奇数因数，
20的完美指标为；
21的正因数有1、3、7、21，其中1、3、7、21是正奇数因数，
21的完美指标为；
因为
所以四个自然数中最“完美”的数是18．
【题型9 平面直角坐标系中点的坐标特征】
1.（1）解： ，，
；
设点M，
，
，
，
或，
点M的坐标为或；
故答案为：；或；
（2）解：设点的坐标为，
，，，
由绝对值的几何意义可知：表示分别与的距离和，
表示分别与的距离和，
当时，其距离和最小，
最小，则D点坐标为；
故答案为：；
（3）解：设点的坐标为，且；，
，，
，
，
化简得：，
，
由绝对值的几何意义可知：
至0的距离与至2的距离之差比至3的距离与至0的距离之差小5，
满足的条件有或或，
符合条件的点P所在的位置为：轴负半轴或轴负半轴或第三象限．
2.（1）∵点是“横和点”，
，
．
∴q的值为4．
（2）①∵点和点是“横和点”，
，
，，
，
，
点和点的纵坐标相同，
轴
，
点的横坐标为
点，点分别对应点和点，
，
，解得：，
当时，
当时，
或．
②点是“横和点”，
理由：点，点分别对应点和点，
，
，
，
点的对应点，
，
，
，
点是“横和点”．
3.（1）解：①，
点A的“对分点”的坐标是．
故答案为：；
②点A的“对分点”是点B，，
点B的坐标为，
又，
，，
解得：，，
点的坐标是
故答案为：．
（2）解：图形U是“对分图形”，线段不是“对分图形”，
点的“对分点”在线段上，
点的坐标是，
b为非零整数
是整数，且，
若点与点重合，则，解得，
；
若点与线段的中点重合，则，解得，
；
若点与点重合，则，不符合题意，舍去；
所有满足条件的点C坐标为或．
故答案为：或．
（3）解：点，，
点的“对分点”坐标为，点的“对分点”坐标为，
图形V是“对分图形”，正方形和线段不是“对分图形”，
正方形与线段有交点，
当点在上，则；当点在上，则；
当点在上，则，解得；当点在上，则，解得；
结合图形可得，k的取值范围为或．
故答案为：或．
4.（1）解：点的“3阶智慧点”的坐标为，
即坐标为；
故答案为：；
（2）解：设点B的坐标为，
∵点B的“4阶智慧点”为，
∴，
解得，
∴点B的坐标为；
（3）解：∵点，
∴点C的“阶智慧点”为．
∵点C的“阶智慧点”到x轴的距离为1，
∴，
∴或．
解得或．
【题型10 平面直角坐标系中的面积问题】
1.（1）解：过点作交的延长线于，则，如图所示，
∵将点向右平行移动个单位长度到点，
∴，轴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，，交的延长线于，
∴，，
∴
，
∴四边形的面积为；
（2）解∵四边形的面积为，
∴，
∵点在任何位置(不包括点)，的边上的高的长都等于点到轴的距离，
即的边上的高的长都等于，
∵动点从点出发沿射线的方向以个单位长度/秒的速度运动，运动的时间为秒， ，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得或，
∴的值是或；
（3）解：时，如图，
∵，
∴两点的横坐标相同，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴当时，．
2.（1）解： 轴，轴，，，
，，
，，；
（2）解：当秒时，有个点从运动，每秒钟1个单位，同时点从也以每秒1个单位运动，
点走了6个单位长度，点走了6个单位长度，
点在线段上，此时，点在线段上，
的纵坐标为，，
，
；
（3）解：①时，点在线段时，到轴距离为，此时点在线段上，
当到轴距离等于到轴距离时，；
②，点在线段时，到轴距离为，此时点在线段上，
当到轴距离等于到轴距离时，，；
③，点在线段时，到轴距离为，此时点在线段上，
当到轴距离等于到轴距离时，，即，不符合题意；
④，点在线段时，到轴距离为，此时点在线段上, 到轴距离为8，不符合题意；
综上，或．
3.（1）解：∵式子有意义，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解；∵到y轴的距离是到x轴距离的两倍，且点C在第四象限，
∴，
解得，
∴，
∴点C的坐标为；
（3）解：如图所示，设与x轴交于H，
由（1）可得，由（2）得
∵，
∴，
∴；
∵三角形与三角形面积相等，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴运动时间为秒．
4.（1）解：由题知：平移方式为向右平移3个单位，再向上平移1个单位后，
∴点A进行该平移后对应的是点E，即坐标为，点O进行该平移后对应的是点F，即坐标为；
∴点E坐标为，点F坐标为．
（2）解：由题知：点B坐标为，点C坐标为，点D坐标为，
①当点D位于y轴正半轴，即时，
，
，
，
解得：；
②当点D位于y轴负半轴，即时，
，
，
，
解得：．
综上，a的值为或8．
（3）解：存在，理由如下：连接和，
线段平移得到线段，
，
；
①当点P位于x轴负半轴时，如图，
，
，
，
，
，
解得：；
②当点P位于x轴正半轴时，如图，
，
，
，
解得：；
点P的坐标为或．
【题型11 坐标与图形】
1.（1）解：，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段，
，
故答案为：；
（2）解：当点在点右边时，如图， 过点作
∴
∵平移，
∴
∴
∴
，
∴，
∴
∴
∵
∴
即
当点在点左边时，如图，
同理可得，，
∴
即
综上所述，或
（3）解：∵，，
∴
，
∵
∴，，
∵
∴
①点在点右边，在正半轴时，如图，
可得，
设，则
可得方程，
解得，
；
在负半轴时，点在的下方时，如图，
可得，
设，
可列方程，
解得，
∴
④点在点右边，点在的上方时如图，连接，
可得，
设，
可列方程，
解得，
，
综上，点的坐标为或，．
2.（1）解：∵，且，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，；
（2）解：设E为，
分以下两咱情况讨论：
①如图，当E在直线上方时，作轴，作连接，
则
，
∴，，
②当E在直线下方时，同样可得，
∴，，
∴点E的坐标为或；
（3）解：存在，设点P的坐标为，由平移得、，则、，
依题意知点P不可能在梯形的上方或线段的右上方或线段左方，故分以下两种情形：
①如图，当点P在梯形的内部时，
∵，
∴，
∴，，
∵，
，
∴，
解得，
∴；
②如图，当点P在梯形的下方时，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴点在x轴上，
如图，作轴于G，连接，
，
，
∴，
解得，
∴，
综上所述，P点的坐标为或．
3.（1）解：∵，
∴，，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴三角形的面积．
故答案为：，5，20；
（2）过点作，如下图，
∵，，
∴，
∴
∴，
同理，，
又∵平分，平分 ，
∴，
∴；
（3）设点，分两种情况讨论：
当点在轴上方时，如图，
过点作，过点作于点，延长交于点，
由题意，
则，，，，
∵，
∴，
解得，即；
当点在轴下方时，如图，
过点作，过点作于点，延长交于点，
由题意，，
则，，，，
∵，
∴，
解得，即．
综上所述，点坐标为或．
故答案为：或．
4.（1）解：∵，，
∴
∴，，
解得：，，
∴点，
故答案为：；
（2）①当时，，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②如图，补全图形如下：
当点在上方时，
∵点为的角平分线上一点，
∴设，
∵，
设，则，
如图，∵，
∴，
过作，
∴，
∴，，
∴，
过作，而，
∴，
∴，，
∴，
而，
∴，
∴ ，
∴；
当点在下方时，
∵点为的角平分线上一点，
∴设，
∵，
设，则，
∵，
∴，
过作，
∴，
∴，，
∴，
过作，而，
∴，
∴，，
∴，
而，
∴，
∴ ，
∴．
【题型12 二元一次方程（组）的解】
1.解：把代入方程得，，
∴，
∴甲把看成了；
把代入方程得，，
∴，
∴乙把看成了；
把代入方程得，，
∴，
把代入方程得，，
∴，
∴方程组为，
得，，
∴，
把代入得，，
∴，
∴原方程组的正确解为．
2.解：（1）由3x-y=6，得：y=3x-6，
当x=3时，可得y=3；
故答案为：（答案不唯一）；
（2）由题意可知x-3是12的因数，
则x-3=1,x-3=2,x-3=3,x-3=4,x-3=6,x-3=12;
则x的取值有6种可能性
故答案为B；
（3）设购买蓝球个，排球个，依题意
，即x=10- 、均为非负整数.
∴，，，
∴、购买有4种方案
①买蓝球10个，不买排球；
②买蓝球7个，排球4个；
③买蓝球4个，排球8个；
④买蓝球1个，12个排球.
3.（1）解：当，时，原方程为：，
∴；
（2）①关系是a =b，理由：
把代入二元一次方程得
，
，
，
，
∴；
②由①知道，
∴原方程可化为：，
∴
∵该方程组的解与与的取值无关，.
∴．
4.（1）解：把代入方程得，，
解得，
∵方程的全部整数解表示为：（t为整数），
则，
故答案为：；
（2）解：方程一组整数解为，
则全部整数解可表示为（t为整数）．
因为，解得．
因为t为整数，
所以，，0，
所以方程的全部正整数解为或或；
（3）解：方程一组整数解为，
则全部整数解可表示为（t为整数）．
∵，解得．
因为t为整数，
所以，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，
∴方程的正整数解有13组．
【题型13 求二元一次方程（组）中的参数】
1.（1）解：①∵，为非负整数，
∴方程的所有非负整数解为
，；
②∵根据题意可得，
解得，
将代入中，
解得 ；
（2）当时，原方程组可化为，
由，可得 ，
整理可得，
∵方程组由整数解，且为整数，
∴或，
当时，解得，此时方程组的解为；
当时，解得，此时方程组的解为（舍去）；
当时，解得，此时方程组的解为；
当时，解得，此时方程组的解为（舍去）．
综上所述，整数的值为或0．
2.解：（1）由方程得，（、为正整数）．
要使为正整数，则为正整数，
可知：为2的倍数，从而，代入．
所以的正整数解为，
故答案为：；
（2）若为自然数，则的值为6，3，2，1，
则满足条件的正整数的值有9，5，6，4；
（3），
：，
解得：，
∵，是正整数，是整数，
∴．．
但时，不是正整数，故．
3.（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，解得；
（2）解：设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元，
由题意得，求的值．
设①得：③
②得：④
③＋④得：⑤
当时，
即，解得，
∴，
答：购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需12元．
4.（1）由已知方程x+2y=5，移项得x=5-2y，
∵x，y都是正整数，则有x=5-2y＞0，又∵x＞0，
∴0＜y＜2.5，
又∵y为正整数，根据以上条件可知，合适的y值只能是y=1、2，
代入方程得相应x=3、1，
∴方程2x+y=5的正整数解为；
(2) ∵x+y=0
∴x+2y=5变为y=5
∴x=-5
将代入得.
(3) ∵由题意得二元一次方程总有一个公共解
∴方程变为(m+1)x-2y+9=0
∵这个解和m无关，
∴x=0，y=
(4) 将方程组两个方程相加得
∴
∵方程组有整数解且m为整数
∴，，
①m+2=1，计算得：（不符合题意）
②m+2=-1，计算得：（不符合题意）
③m+2=2，计算得：（不符合题意）
④m+2=-2，计算得：（不符合题意）
⑤m+2=4，计算得：（符合题意）∴m=2
⑥ m+2=-4，计算得：（符合题意）∴m=-6
【题型14 二元一次方程组的特殊解法】
1.（1）解：依题意，设，，
则原方程组可化为关于a、b的方程组，
由得，
解得
把代入，
得，
∴
∴，
整理得，
两式子相加得，
∴，
把代入，
得，
解得，
∴原方程组的解为．
故答案为：，；1，3．
（2）解：∵，
∴设，
则原方程组可化为关于a、b的方程组，
由得，
解得，
把代入，
得，
∴
∴，
整理得，
两式子相加得，
∴，
把代入，
得，
解得，
∴原方程组的解为．
2.（1）解：
①代入②得，
解得：
将代入①得，
所以原方程组的解为：；
（2）解：
原方程组可化为：
①②得：，
将代入①得，
解得：
所以原方程组的解为：；
（3）解：∵，
∴，
而关于，的方程组的解是，
∴，解得：；
故答案为：．
3.（1）解：
，得，
，
得，
得，
把代入②得，
解得：，
方程组的解是；
（2）解：；
得，即③，
得，
得，
把代入③得，
解得，
原方程组的解是；
（3）解：猜测方程组的解是，
检验：把代入方程得左边，右边，左边＝右边，
把代入方程，得左边，右边，左边＝右边，
是关于的方程组 的解．
4.（1）解：根据共轭二元一次方程的定义，方程的共轭二元一次方程是
故答案为：；
（2）解：根据共轭二元一次方程组的定义，得，，
解得，，
故答案为：；
（3）解：
得 ，
，
，得 ，
，得 ，
把代入③，得，
∴原方程组的解为．
【题型15 二元一次方程（组）的应用】
1.解：任务一：
（1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，如图，
则可裁切靠背板块．
故答案为：30；
（2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，如图，
余下的，设一张该板材裁切靠背板块，座板块，
根据题意得：，
，
，为正整数，
或或，
方案一：裁切靠背板23块和座板2块．
方案二：裁切靠背板16块和座板4块．
方案三：裁切靠背板9块和座板6块；
故答案为：23，2；16，4；9，6；
任务二：
设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块，
根据题意得：，
解得：，
张，
需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块．
设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块，
根据题意得：，
解得：，
张，
需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块．
设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块，
根据题意得：，
解得：(不合题意，舍去)，
综上，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块．
2.解：设电车每秒行米，人步行每秒米，
依题意得：，
∴，
∴电车的速度是人步行的速度的5倍．
302×5=1510（秒）
（1510-302）÷2
=1208÷2
=604（秒）
=（分钟）．
答：巡游电车离开佳佳后分钟琪琪和佳佳碰面了．
3.解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，
依题意，得： ，
解得： ．
答：妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．
4.（1）解：∵时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y，
∴时里程碑上的数可表示为；
∵时看到的两位数十位与个位数字与时所看到的正好互换了
∴十位数字为y，个位数字为x，
∴时看到里程表上的数表示为；
∵看到的数字是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个0，
∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y，
∴时看到里程表上的数；
故答案为；，，．
（2）解： ，
解得：．
∴小明在时看到里程碑上的两位数．
答：小明在时看到里程碑上的两位数是51．
【题型16 求一元一次不等式（组）中参数】
1.（1）解不等式①得：，
∴一元一次不等式和一元一次不等式有公共解为：，
∴①是不等式的“云不等式”；
一元一次不等式和一元一次不等式有公共解为：，
∴②是不等式的“云不等式”；
解不等式③得：
∴一元一次不等式和一元一次不等式没有公共解，
∴③不是不等式的“云不等式”．
故答案为：①②；
（2）由得：，
由得：，
分类讨论：①当即时，．
∵其与互为“云不等式”，
∴，
解得：．
∴；
②当，即时，．
此时与一定互为“云不等式”
综上所述，当或时，两不等式互为“云不等式”．
2.（1）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴，整点为，
故答案为：；，；
（2）解：
解不等式得：，
当时，即时，，
∵，，，
∴，
解得：，
∴，
当时，即时，，
∵，，，
∴，
解得，,
∴
当时，方程组解为：，
满足题意，
综上所述：的取值范围．
（3）解：存在，理由如下：
当时，不等式的解集为，
∴，不符合，
当时，不等式的解集为，
∵，
∴，
解得：，
当时，不等式的解集为，
∴，
解得：，
当，不等式的解集为，
∴，
解得：，当时，，不符合，
当或，方程组无解，
综上所述：，
∴为，
解不等式组得：，
∵关于y的不等式组恰有4个“整点”，
∴，
解得：．
3.（1）解：∵，
∴当时，，
当时，．
（2）解：∵，
∴，
∵关于x不等式的所有解都满足不等式，
∴且，
∴；
∴；
（3）解：
由①得，，
由②得，，
∵不等式组非负整数解的和为3，
∴不合题意，，
∵非负整数解的和为3，
∴①非负整数解为0,1,2，
∴，
解得，∴无解；
②非负整数解为1,2，
∴，
解得，
∴；
③非负整数解为3，
∴
∴，
解得，
综上或．
4.（1）解：解方程组得：，
∵点的坐标为
∴，解得：；
（2）∵点P在第二象限，则，
∴，，
∴，
∵符合要求的整数a只有五个，
∴，1，2，3，4；
∴，
即b的取值范围为；
（3）由（1）得：，，
∵点P为不在x轴上的点，
∴，即，
∵关于z的不等式的解集为，
∴，
∴，则，
∴，
代入得：，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【题型17 解特殊不等式组】
1.解：（1）∵在数轴上到-3对应的点的距离等于5的点的对应的数为2或-8
∴方程的解为x=2或x=-8
（2）∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点的对应的数为-1或5
∴方程的解为x=-1或x=5
∴的解集为-1≤x≤5.
（3）由绝对值的几何意义可知，方程就是求在数轴上到4和-2对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值.
∵在数轴上4和-2对应的点的距离是6
∴满足方程的x的点在4的右边或-2的左边
若x对应的点在4的右边，可得x=5；若x对应的点在-2的左边，可得x=-3
∴方程的解为x=5或x=-3
∴的解集为x＞5或x＜-3.
故答案为（1）x=2或x=-8；（2）-1≤x≤5；（3）x＞5或x＜-3.
2.解：（1）∵π≈3.14
∴=3；
∵
∴=2
即：=3；=2
（2）∵,
∴
解得：
（3）∵
∴
∴
∵为整数
∴=7或=8
∴
∴
3.解：（1）∵x-y=3，
∴x=y+3，
∵x＞2，
∴y+3＞2，
∴y＞-1，
又∵y＜1，
∴-1＜y＜1①
同理可得：2＜x＜4②
由①+②得：-1+2＜x+y＜1+4，
∴x+y的取值范围是：1＜x+y＜5，
故答案为：1＜x+y＜5；
（2）∵x+y＝2，
∴x＝2﹣y，
又∵x＞1，
∴2﹣y＞1，
∴y＜1，
又 ∵y＞﹣4，
∴﹣4＜y＜1，
∴﹣1＜﹣y＜4①，
同理得：1＜x＜6②，
由①+②得：0＜x﹣y＜10，
∴xy的取值范围是：0＜x﹣y＜10．
4.（1）解：根据题意得：，
解得：，
∴；
（2）当时，根据题意得：，
当时，即，不成立；
∴，即，
∵在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数，
∴，
∵m为整数，
∴或，
∴或；
当时，根据题意得：，
当时，即，不成立；
∴，即，
当时，，不成立；
当时，，此时，成立；
当时，，此时，成立；
当时，，不成立；
综上可得：或2或或．
【题型18 一元一次不等式（组）的应用】
1.解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，
根据题意得：
解得：
又∵a为整数，
∴或3
∴共有2种租车方案，
方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；
方案2：租用A型车3辆，B型车5辆；
任务2：选择方案1所需总租金为（元）；
选择方案2所需总租金为（元）．
∵，则（元），
∴花费最少的方案比预算3300元省200元钱．
2.（1）解：设每本纪念册元，每件纪念品元，
根据题意可得：。
整理得：，
得：，
得：，
解得：，
把代入方程得：，
解得：，
方程组的解为，
答：平均每本校庆纪念册元，平均每个校庆纪念品元；
（2）解：设订购了本纪念册，份校庆纪念品，
根据题意可得：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
又为整数，
或或，
当时，，
当时，，
当时，，
订购方案有：
购买校庆纪念册本，校庆纪念品个；
购买校庆纪念册本，校庆纪念品个；
购买校庆纪念册本，校庆纪念品个．
3.（1）解：设B型机器人进价为元，购进B型机器人台，则型机器人进价为元，购进型机器人台，
根据题意，可列方程，
解得，
即B型机器人进价为3000元，型机器人进价为元．
（2）解：设再次购买型机器人a台，则购买型机器人台，
根据题意，得，
解得，
由于为整数，所以，
总费用为元，
故商场应购买型机器人3台，B型机器人2台，总费用为19500元．
4.（1）解：设每个种娃娃的进价为x元，则每个B种娃娃的进价为元，
由题意得，，
解得，
∴，
答：每个种娃娃的进价为20元，则每个B种娃娃的进价为25元；
（2）解：设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个．
根据题意，得，
解得，
∵y为正整数，
∴y的值可以为48或49或50，
当时，，此时费用为元，
当时，，此时费用为元，
当时，，此时费用为元，
∵，
∴一共有3种方案：购买A种娃娃48个，购买B种娃娃52个或购买A种娃娃49个，购买B种娃娃51个或购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个，其中购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个这种方案最省钱．

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