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2024-2025学年七年级数学下册期末检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
2．如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积.他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（ ）
A． B． C． D．
3．要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案：
方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接，并延长到点C，使，连接图1：，并延长到点D，使；③连接，测量的长度即可．
方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接，，并分别延长到点F，E，使，；③连接，测量的长度即可．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　）

A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行
4．如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5． 如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（ ）
A． B． C． D．
6．高原反应是人到达一定海拔高度后，由于机体对低压低氧环境的适应能力不足而引起的．下面是反映海拔高度与空气含氧量之间关系的一组数据：
海拔高度 0 1000 2000 3000 4000
空气含氧量
下列说法不正确的是（ ）
A．海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量；
B．海拔高度每上升，空气含氧量减少；
C．在海拔高度为的地方空气含氧量是；
D．当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了．
7．如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角的调节范围为12°~69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角，则反射光束GH与天花板所形成的角不可能取到的度数为（ ）
A．129° B．72° C．51° D．18°
8．如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中，正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④
10．在矩形内将两张边长分别为和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．一个不透明的口袋中有3种颜色的小球，其中红球个，黄球个，白球个（小球除颜色外，其它完全相同）．随机摸出一个小球，若摸出白球的概率为，则的的值为 ．
12．有甲、乙两只大小不同的水箱，容量分别为升、升，且已各装有一些水，若将甲水箱中的水全倒入乙水箱，乙水箱只可再装升的水；若将乙水箱中的水倒入甲水箱，装满甲水箱后，乙水箱还剩升的水．则与之间的数量关系是 ．
13．如图，平分，交于点，点在线段上（不与点，点重合），连接，已知，若，且（为常数，且为正数），则的值为 ．

14．观察等式：，，…，若，则 （用含m的代数式表示）
15．将一张长方形纸片按如下步骤折叠：（1）如图①，将纸片对折，点C 落在点 B 处，得到折痕AP 后展开纸片；（2）如图②，将对折，点 B 落在折痕上的点处，得到折痕；（3）如图③，将对折，点C落在折痕上的点C处，得到折痕，则 ° ．
16．如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）一架飞机停机前一段时间内的速度和经过时间之间的关系如下表：
0 1 2 3 4 …
42 39 36 33 30 …
(1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______；
(2)飞机运行的时间每增加，飞机的速度是如何变化的？
(3)根据表格估计经过多长时间，飞机的速度变为？
18．（6分）轴对称（或称对称轴）的概念早在古希腊时期就已经出现．古希腊哲学家柏拉图在其著作《会晤篇》中，就提到了“对称”的概念，并阐述了对称的重要性．在数学和物理学等领域中，轴对称一直都是一个重要的概念，被广泛应用于各种理论和实践中．如图是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．
19．（8分）已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．
（1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．
（2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？
（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒．
20．（8分）【阅读材料】若满足，求的值．
解：设，．则，．
．
【类比探究】解决下列问题：
（1）若满足，则的值为 　　．
（2）若，求的值．
【拓展应用】
（3）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积．
21．（10分）如图，在 中， ，，点 在线段 上运动 不与 ， 重合，连接，作 ，与交于点．
(1)当 时， ；当点 从 向 运动时，逐渐变 (填大或小)．
(2)当 时， 与 是否全等？ 请说明理由．
(3)在点 的运动过程中， 的形状可以是等腰三角形吗？ 若可以，请直接写出 的度数；若不可以，请说明理由．
22．（10分）根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】和【拓展应用】．
【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘．
【核心概念】
素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”．
素材2：我们知道，，利用多项式的乘法运算，还可以得到：当时，将计算结果中多项式以a降次排序各项的系数排列成表，可得到如图2：
【任务规划】
（1）任务：请根据素材1和素材2直接写出：
①展开式中的系数是______；
②展开式中所有项的系数和为______；
【项目成效】
（2）成果展示：若，求的值．
【拓展应用】
（3）“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图3中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记，求的值．
23．（12分）综合与实践
【操作实践】
如图1，数学兴趣小组成员用四根木条钉成一个“筝形”（有两组邻边分别相等的四边形）道具，其中，，，相邻两根木条的连接处是可以转动的，连接，．
（1）试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．
【实践应用】
（2）小组成员尝试使用这个“筝形”道具检测教室门框是否水平．如图2，，，在道具上的点A处绑一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，道具上的点B，D紧贴门框，线绳恰好经过点C．由于是铅锤线，所以是水平的，即门框是水平的．在上述的判断过程中，得出的依据是_______．（填字母）
A．等角对等边 B．垂线段最短 C．等腰三角形“三线合一”
【实践拓展】
（3）如图3，在中，，．若E，F分别是边，上的动点，当四边形为“筝形”时，求的度数．
24．（12分）太阳光和灯光都是我们生活中的光源，蕴含着很丰富的数学知识．
情境：当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生变化，这种现象叫做光的折射．
（1）如图1，直线与相交于点F，一束光线沿射入水面，在点处发生折射，沿射入水中，如果，，则的度数为______．
拓展：（2）光线从空气射入水产生折射，同时，光线从水射入空气也发生折射，如图2，光线从空气射入水中，再从水射入空气中，形成光线，根据光学知识有，，请判断光线与光线的位置关系，并说明理由；
应用：（3）如图3，出于安全考虑，在某段铁路两旁安置了A、B两座可旋转探照灯.假定主道路，连接，且．灯A发出的射线自顺时针旋转至，灯B发出的射线自顺时针旋转至后立即回转，当射线回转至后两条射线停止运动，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度/秒，灯转动的速度是度/秒.它们同时开始转动，设转动时间为秒，当与互相垂直时，求出此时的值．
参考答案
一．选择题
1．B
【分析】本题考查了利用平方差公式求面积，由题意得出，表示出，即可得出答案，采用数形结合的思想，正确表示出阴影部分的面积是解此题的关键．
【详解】解：如图，
大正方形与小正方形的面积之差是8，
，
由图可知：
，
故选B．
2．B
【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为．根据图可得，小球落在不规则图案内的概率约为，设不规则图案的面积为，再根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积=小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解．
【详解】解：由题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为，
长方形的面积为，
设不规则图案的面积为，则，
解得：．
即不规则图案的面积约为．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：方案Ⅰ：在与中，
，
∴，
∴；
方案Ⅱ：在与中，
，
∴，
∴，
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
延长交于点，证明，得出，即可推出结果．
【详解】解：如图，延长交于点，
，
，
又平分，
，
又，
，
，
，
，
．
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了求一个角的余角与补角、垂直、对顶角相等，熟练掌握求一个角的余角与补角的方法是解题关键．先求出，再求出，根据垂直的定义可得，从而可得，最后根据对顶角相等即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，
∴，
∵，
∴，
∴，
由对顶角相等得：，
故选：B．
6．B
【分析】本题主要考查了用表格表示变量，解题的关键是，熟练掌握自变量和因变量，表中数据及变化．
根据题目中表格给出的数据逐一判断，即可．
【详解】A．海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量；
∵海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量，
∴A正确，不符合题意；
B．海拔高度每上升，空气含氧量减少；
∵，，，，
∴海拔高度每上升，空气含氧量减少值不都是，
∴B错误，符合题意．
C．在海拔高度为的地方空气含氧量是；
∵在海拔高度为的地方空气含氧量是，
∴C正确，不符合题意；
D．当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了；
由B知，当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了，
∴D正确，不符合题意．
故选：B．
7．C
【分析】分当时，如图1所示，当时，如图2所示，两种情况，利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：当时，如图1所示，过点G作，
∵，
∴，
∴∠PGQ =∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，
∴∠PGB=∠PGQ+∠BGQ=30°+∠ABM，
由反射定理可知，∠AGH=∠PGB=30°+∠ABM，
∴∠PGH=180°-∠AGH -∠PGB=120°-2∠ABM，
∴∠HGQ=∠PGH+∠PGQ=150°-2∠ABM，
∴∠PHG=180°-∠HGQ=30°+2∠ABM，
∴
当时，如图2所示，过点G作，
同理可得∠PGQ=∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，∠PHG=∠HGQ，
∴∠AGP=∠HGB=∠HGQ+∠QGB=∠PHG+∠ABM，
∴∠PGH=180°-∠AGP -∠HGB=180°-2∠PHG-2∠ABM，
∴∠HGP=∠PGQ -∠PGH=2∠PHG+2∠ABM-150°，
∴∠PHG=150°-2∠ABM，
∴，
综上所述，或，
故选C．
8．C
【分析】因为蓄水池的底面小，上面大，这个蓄水池以固定的流量注水，所以水的深度变化是先快后慢，据此即可得到答案．
【详解】解：A、表示水的深度变化匀速上升后静止不动，不符合题意，选项错误；
B、表示水的深度变化匀速上升，不符合题意，选项错误；
C、表示水的深度变化先快后慢，符合题意，选项正确；
D、表达水的深度变化先慢后快，不符合题意，选项错误，
故选：C．
9．D
【分析】利用，BD平分，EF平分，可以判断出①②正确；再根据 与不一定相等，再利用 与相等，可判断出③不一定正确；根据，推出与是等底等高的三角形，最后利用等式性质可得到④正确．
【详解】∵，
∴，，
∵BD平分，EF平分，
∴，，
∴，
，
∴，
故①②正确；
∴ 与不一定相等，
由题意可知，
∴与不一定相等，
故③错误；
∵，
∴与是等底等高的三角形，
∴，
∴，
故④正确，
∴①②④正确．
故选：D．
10．B
【分析】利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差．
【详解】解：，
，
．
故选：．
二．填空题
11．
【分析】本题考查了概率、一元一次方程的解法．首先根据随机摸出一个小球，摸出白球的概率为，可知白球占总数的，所以小球的总数可以表示为，也可以表示为，从而得到关于的一元一次方程，解方程求出的值即可．
【详解】解：随机摸出一个小球，摸出白球的概率为，
白球占总数的，
根据题意可得：，
解方程得：，
的值为．
故答案为： ．
12．
【分析】本题主要考查了列函数关系式，设甲、乙两个水桶中已各装了公升水，根据题意可得，，然后即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：设甲、乙两个水桶中已各装了公升水，
由甲中的水全倒入乙后，乙只可再装公升的水得：；
由乙中的水倒入甲，装满甲水桶后，乙还剩公升的水得：；
得：，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，根据角平分线的定义结合题意推出，即可判定 ，过点作 ，根据平行线的性质及角的和差即可求出，进而根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵是的角平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴；
过点作，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴，
∵
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，幂的乘方的逆运算，由题意可知，将变形为，进而可得 ，由此可解．
【详解】解：由题意知，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查折叠的性质，补角的定义以及角平分线的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质得到，，求出，即可得到答案．
【详解】解：根据折叠的性质得到，
，
，
，
．
故答案为：．
16．或
【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
分当在线段上时，，当在线段上时，，当在线段延长线上时，，当在线段延长线上时，四种情况，然后根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵ ，平分，
∴，
∴当在线段上时，，
∴，
∵，，
∴ ， 解得：，
当在线段上时，，
∴，
∵，，
∴ ， 解得：，
当在线段延长线上时，，
∴，
∵，，
∴ ， 解得：，
当在线段延长线上时，，
∴，
∵，，
∴ ， 解得：，
∴若与全等，则的值为或，
故答案为：或．
三．解答题
17．（1）解：由题意可知，一架飞机停机前一段时间内的速度随着时间的变化而变化，
∴在这个变化过程中，自变量是时间，因变量是速度；
故答案为：时间，速度
（2）由题意可知，飞机运行的时间每增加，飞机的速度是减少3；
（3）设估计经过x，飞机的速度变为，
则，
解得，
即估计经过 ，飞机的速度变为
18．解：如下图所示，
（答案不唯一）
19．解：（1）∵∠BOE=90°，
∴∠AOE=90°，
∵∠AOC=α＝30°，
∴∠EOC=90°-30°=60°，
∠AOD=180°-30°=150°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠FOD=∠AOD=×150°=75°；
故答案为：60，75；
（2）当，．
设当射线与射线重合时至少需要t秒，
可得，解得：；
答：当射线与射线重合时至少需要秒；
（3）设射线转动的时间为t秒，
由题意得：或或或，
解得：或12或21或30．
答：射线转动的时间为3或12或21或30秒．
20．解：（1）设，，
，
，
，
，
故答案为：2；
（2）设，，
，
，
，
，
，
的值为2.5；
（3）正方形的边长为，，，
，，
设，，
，
长方形的面积是24，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积
．
21．（1）解：，，，
；
当点从向运动时，逐渐变大，
故答案为： ，大；
（2）当时，，理由如下：
理由：，
，
又，
，
，
又，
在和中，
，
；
（3）当的度数为或时，的形状是等腰三角形，理由如下：
当时，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
当的度数为时，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
综上所述，当的度数为或时，是等腰三角形．
22．解：（1）①根据已知可得，展开式中的系数是4；
②根据已知可得，展开式中所有项的系数和为，
的展开式中所有项的系数之和为，
展开式中所有项的系数和为，
展开式中所有项的系数和为，
展开式中所有项的系数和为，
，
则展开式中所有项的系数和为．
故答案为：4；
（2） ，
当时，，
当时，，
．
（3）由题意可得：，，，
，
，
．
23．解：（1）猜想：，理由如下：
∵，，，
∴
∴；
（2）由（1）同理可得：，
∵，，
∴是等腰三角形
∴，依据是等腰三角形“三线合一”性质
故选：C；
（3）∵，，
∴
四边形为“筝形”，
∴①当，时，如图，
四边形为“筝形”，
∴
∴
∴；
②当，时，如图，
四边形为“筝形”，
∴
∴
∴；
综上：的度数为或．
24．解：（1）如图
，
，
故答案为：；
（2），理由如下：
如图2，延长交于点，延长交于点，
则，，
，
，
，
，
即，
；
（3）射线运动时间为：（秒），射线的运动时间为秒，
∴射线最多运动到，
当，未相遇时，设射线交于点，射线 交于点，
∵，
∴，
与互相垂直时，
，
，
解得，
②如图所示，当射线返回时，
，
，
解得；
③当回到时，刚好垂直，
，
综上所述，，，时，与互相垂直．

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