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第4章《 平行四边形》章节测试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。)
1．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
A． B．
C． D．
2．若一个正边形的每个外角为，则这个正边形的边数是( )
A． B． C． D．
3．如图，在中，D，E分别是，的中点，，F是上一点，连接，，．若，则的长度为(　　)
AI
A．10 B．12 C．14 D．16
4．如图，在中，，点A、C、D分别在、、上，四边形为平行四边形，且，则的周长是(　　)
A．24 B．18 C．16 D．12
5．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与三角形内角和为矛盾
②因此假设不成立．∴
③假设在中，
④由，得，即．
这四个步骤正确的顺序应是( )
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
6．如图，点在的边上，连接，作交于点，点是的中点，且，若，则的长为( )

A．10 B．9 C． D．8
7．如图，在平行四边形中，，，，为上一点，将 ADE沿着翻折，点恰好落在边上的点处，连接，则长度为( )
A． B． C． D．
8．如图，，分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为(　　)

A． B． C． D．
9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线与相交于点E，，，将沿直线翻折后与原图形在同一平面内，若点B的落点记为，则的长为( )

A． B． C． D．
10．如图，点是的边的延长线上一点，点是边上的一个动点(不与点B重合)．以、为邻边作平行四边形，又平行且相等于(点P、E在直线的同侧)，如果，那么的面积与面积之比为( )

A． B． C． D．
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11．已知点与点关于原点对称，则点的坐标是 ．
12．如图①是我国古建筑上采用的八角形空窗，轮廓是正八边形，其示意图如图②所示，则它的外角 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形，，，直线与，分别交于，，且将的面积分成相等的两部分，则的值是 ．
14．图1是由两个全等直角三角形和两个长方形组成的平行四边形，将其剪拼成不重叠，无缝隙的大正方形(如图2)，若长方形③面积是长方形②面积的4倍，平行四边形的周长比长方形③的周长大18，则线段的值为 ．

15．图1表示一双开门关闭时的状态图，图2表示打开双门过程中，某一时刻的示意图，其中为门槛宽度．
(1)当时，双门间隙与门槛宽度的比值为 ．
(2)若双门间隙的距离为4寸，点和点距离都为1尺(1尺＝10寸)，则门槛宽度是 寸．
16．如图，点是平行四边形ABCD的边上的中点，连接，点为中点，若，，，则的长为 ．

三、解答题(本大题共7小题,共66分)
17．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，已知格点线段，请按要求画出格点三角形(顶点在格点上)．
(1)在图1中画一个等腰三角形．
(2)在图2中画一个，使得恰好平分的面积．
18．如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，下图是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．

(1)将下面的表格补充完整：
正多边形的边数 3 4 5 6 …… n
∠α的度数 60°　 　 　 　 　 　 　 　 ……
(2)根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．
19．如图，平行四边形ABCD中，把沿翻折得到，相交于点．
(1)求证：DE∥AC；
(2)连接交于点，连接，在不添加辅助线的条件下请直接写出图中所有等腰三角形．
20．如图，在平行四边形中，E，F是直线上的两点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，且，求的长．
21．如图，已知在矩形中，E是边的中点，连接并延长，与的延长线交于点F，连接和．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
22．在平行四边形中，，，∠BAD＝120°．
(1)若，则______；
(2)如图，求对角线的长(用含，的式子表示)；
(3)如图，四边形也是平行四边形，连结并延长交于点，若AG⊥BE，，，，求的长．
23．问题：如图，在平行四边形中，，的平分线分别与直线交于点E、F，请直接写出的长．
(1)探究：把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，的长为　　．
②当点E与点C重合时，的长为　　．
(2)把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
24．已知菱形和等边，．

(1)当E，F分别在的延长线上时(如图1)，连结．
①求证：；
②连结，交于点N(如图2)，取的中点M连结．若，求的长；
(2)当点F在的延长线上时(如图3)，连结，分别取的中点M，N，连结．若，，求的长．
参考答案
一、选择题
1．A
【分析】本题考查中心对称图形，熟知中心对称图形的定义是解题的关键．
中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180°能与原来的图形重合，据此即可求解．
【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
2．B
【分析】本题考查了多边形的外角和，由多边形的外角和为，结合每个外角的度数，即可求出的值，此题得解，熟记多边形的外角和为是解题的关键．
【详解】∵一个正边形的每一个外角都是，
∴，
故选：．
3．B
【分析】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质；
根据直角三角形斜边中线的性质求出，可得的长，再根据为的中位线，即可求出．
【详解】解：∵，E是的中点，
∴，
∴，
∵D，E分别是，的中点，
∴为的中位线，
∴，
故选：B．
4．D
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及平行线的性质，根据四边形为平行四边形，得出，，，，进而得出 ，，，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，，，
∴平行四边形的周长是，
故选：D．
5．D
【分析】本题考查的是反证法．根据反证法的一般步骤判断即可．
【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤，
1、假设在中，，
2、由，得，即，
3、，这与三角形内角和为矛盾，
4、因此假设不成立．，
综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④①②．
故选：D．
6．B
【分析】延长交于点，可推出四边形是平行四边形，得；根据“点是的中点”可得、，设，根据即可求解．
【详解】解：延长交于点，如图：

∵，，
，
∵CE∥GH，
∴四边形是平行四边形，
，
∵点是的中点且，
，
∵点是的中点且，
，
，
设，
，
解得：，
∴，
故选：B．
7．A
【分析】连接，作 于点，根据四边形是平行四边形，，，和沿着翻折，点恰好落在上的点处，可得是等边三角形，根据含30度角的直角三角形和等腰直角三角形，可得的长，再证明，可得．进而可得结论．
【详解】解：如图，连接，作于点，
四边形是平行四边形，
，，，
，，
，，
沿着翻折，点恰好落在上的点处，
，，
是等边三角形，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
∵BC=AD，，
，
，
．
故选：A．
8．B
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间的面积关系．根据平行四边形的面积与三角形的面积公式可得三角形的面积，连接、两点，由三角形的面积公式我们可以推出，，所以，，因此可以推出四边形的面积就是．再根据面积差可得答案．
【详解】解：连接、两点，过点作于点，

，，
，
四边形是平行四边形，
，
的边上的高与的边上的高相等，
，
，
同理：，
，
，，
，
故阴影部分的面积为．
故选：B．
9．A
【分析】由四边形是平行四边形，，可得．如图，连接．根据折叠的性质知，，．证明是等腰直角三角形，则，结合线段的垂直平分线的性质可得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴．
如图，连接．根据折叠的性质知，，．

∴，
∴是等腰直角三角形，则．
又∵，，
∴．
故选：A．
10．C
【分析】首先过点作交于，连接，，易得四边形，是平行四边形，又由四边形是平行四边形，设，则，可得，又由，，即可求得的面积与面积之比．
【详解】解：如图：过点作交于，连接，，

，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
，，
即，
，，共线，
设，
，
，
则，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
故选：C．
二、填空题
11．
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的坐标的横、纵坐标均互为相反数即可得出答案．
【详解】解：点与点关于原点对称，
点的坐标是，
故答案为：．
12．45
【分析】本题主要考查的是正多边形的外角问题，理解多边形的内角和为是解题关键．由正八边形的外角和为，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可．
【详解】解：因为正八边形的外角和为，
所以，．
故答案为：45．
13．
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，平行四边形的性质．根据平行四边形的性质得的中点为平行四边形的对角线的交点，则利用线段的中点坐标公式得到平行四边形的对角线的交点坐标为，然后把代入 可得到k的值．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴的中点为平行四边形的对角线的交点，
∵，，
∴平行四边形的对角线的交点坐标为，
即，
∵直线将的面积分成相等的两部分，
∴直线经过点，
∴，
解得：．
故答案为：．
14．
【分析】如图，由题意设，则，，，根据平行四边形的周长比长方形③的周长大18，构建方程求出即可．
【详解】如图，由题意设，则，，，

，
，，
又平行四边形的周长比长方形③的周长大18，
，
，
．
故答案为：．
15． 52
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形，平行四边形的判定和性质，勾股定理；
(1)连接，作于，于，根据和直角三角形30°角所对直角边等于斜边的一半可得，于是，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得是平行四边形，于是，求得线段差再计算比值即可；
(2)设结合(1)解答，在中利用勾股定理建立方程求解即可；
【详解】解：如下图连接，作于，于，则，
(1)∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由，可得，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
(2)设寸，则寸，
由，可得四边形是平行四边形，
∴
由，可得，
∴，
中由勾股定理可得，
∴，
解得：；
故答案为：，；
16．
【分析】过点作交于点，首先根据梯形的中位线得出的值，再证明为直角三角形、和为等腰三角形，进而解得，易得，根据勾股定理即可求得答案．
【详解】解：过点作交于点，如下图，

∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∵为中点，且，
∴为中点，，
∴，
∵，
∴，
∵点是的边上的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题
17．(1)解：如图1中，即为所求(答案不唯一)；
(2)解：如图2中，即为所求(答案不唯一)．
．
18．(1)解：观察上面每个正多边形中的，填写下表：
正多边形边数 3 4 5 6
的度数
故答案为：，，，；
(2)解：不存在，理由如下：
∵设存在正边形使得，
∴．
解得：，n不为正整数，不合题意，舍去，
∴不存在正边形使得．
19．(1)证明：∵四边形是平行四边形，
，
∵把沿翻折得到，
，
，
在和中，
，
，
，
，
又，
，
；
(2)解：，
是等腰三角形，
∵四边形是平行四边形，
，
，
∵把沿翻折得到，
，
，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形．
20．(1)证明：如图，连接交于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，即，
四边形是平行四边形．
(2)解：四边形是平行四边形，，
，
，，
，
设，则，，
，
，
在中，，即，
解得或(不符合题意，舍去)，
则的长为．
21．(1)解：在矩形中，，
∴，
∵E是边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，又，
∴四边形是平行四边形；
(2)∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴．
22.(1)解：如图1，延长，过点作的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，．
，
，
．
故答案为：；
(2)解：如图1，延长，过点作的延长线于点，
，
．
，
，．
∵BC=b，
，
；
(3)解：过点作，交的延长线于点，连接、，如图所示：
四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
在中，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
∴，，
，
，
，
．
23．解：问题：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴；
探究：(1)①如图1所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，同理：，
∵点E与点F重合，
∴；
故答案为：12；
②如图2所示：
∵点E与点C重合，
∴，
∵，
∴点F与点D重合，
∴；
故答案为：6；
(2)分三种情况
①如图3所示：
同(1)得：，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴，
∴；
②如图4所示：
同(1)得：，
∵，
∴；
③如图5所示：
同(1)得：，
∵，
∴；
综上所述，的值为2或或．
24．(1)①∵四边形是菱形，
∴，
∵
∴是等边三角形
∴
∴也是等边三角形．
∴
即．
∵是等边三角形，
∴
在中，
∴
∴
②连结，

∵，，
∴，
∵，
∴，，又
∴
∴
∵M是中点
∴是的中位线
∴，
∵是等边三角形，
∴，又由是等边三角形得
∴，
∴
(2)过点C作于点G，取的中点Q，连结，，

∵是等边三角形，
∴，
∴
∴
∵
∴
又∵，，
∴
∴
∵是的中位线，是的中位线
∴，
∴
∵
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴是等边三角形，
∴．

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