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2024-2025 学年北京市西城区第十五中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.若 sin < 0，且 tan > 0，则 是
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
2.已知 sin = 35，且 是第四象限角，那么 tan 的值是( )
A. 34 B.
4
3 C.
3 4
4 D. 3
3.sin20 cos10 cos160 sin10 =( )
A. 3 3 1 12 B. 2 C. 2 D. 2
4.已知向量 ，且 ，则 =
A. 8 B. 6 C. 6 D. 8
5.已知 = sin163 ， = cos72 ， = tan18 ，则 , , 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
6.下列函数中，最小正周期为 的奇函数是( )
A. = tan2 B. = sin
C. = 2 2 D. = sin cos
7 cos( ) = 3.若 4 5，则 sin2 =
A. 7 B. 125 5 C.
1 7
5 D. 25
8.在 中，( + )(sin sin ) = ( 3sin sin )，则∠ =( )
A. 5 B. 2 C. 6 3 3 D.

6
9.已知函数 = sin + cos ( > 0, > 0)的最小正周期为 ，最大值为 2，则函数 的图象( )
A. 关于直线 = 4对称 B.关于点 4 , 0 对称
C. 关于直线 = 8对称 D.关于点 8 , 0 对称
10.已知平面向量 , , 为两两不共线的单位向量，则“ = 0”是“ + 与 共线”的( )
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A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，它的终边经过点 ( 1,2)，则 cos = ．
12.已知 sin = 22 , ∈ 0,2 ，则 = ．
13.已知向量 , , 在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为 1，则( + ) = ；
| | = ．
14.在 中， = 3， = 2．
①若 = 6，则 = ；
② 面积的最大值为 ．
15 .已知函数 = sin + > 0, < 2 的部分图象如图所示，设 = ，给出以下四个结
论：
①函数 的最小正周期是3；
②函数 7 5 在区间 18 , 9 上单调递增；
③函数 3的图象过点 0, 2 ；
= 13 ④直线 18 为函数 的图象的一条对称轴．
其中所有正确结论的序号是 ．
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三、解答题：本题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 12 分)
, sin = 4已知 均为锐角， 5，cos =
5
5 ．
(1)求 sin2 的值；
(2)求 tan( + )的值．
17.(本小题 12 分)
已知向量 = (cos , 1 2 ), = ( 3sin , cos2 ), ∈ ，设函数 ( ) =
．
(1)求 ( )的最小正周期；
(2)求 ( )在 0, 上的零点．
18.(本小题 12 分)
在 中， 2 + 2 2 = 4 23 ．
(1)求 tan 的值；
(2)若 3 sin = 2 sin ，且 的面积 = 2 2，求 的值．
19.(本小题 13 分)
3 1
已知函数 ( ) = 2 sin +
2
2 2 ( > 0)，函数 = ( )图象的相邻两个对称中心之间的距离为2，求：
(1) 的值及 ( )的单调递增区间；
(2) ( ) 在区间[0, 2 ]上的最大值和最小值．
20.(本小题 13 分)
在 中， sin2 = 3 sin ．
(1)求∠ ；
(2)若 的面积为 3 3，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在
且唯一确定，求 的值．
2 7
条件①：sin = 7 ；条件②： =
3 3
4 ；条件③：cos =
21
7 ．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答
计分．
21.(本小题 13 分)
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设 ( ≥ 2)为正整数，若 = 1, 2, , 满足：① ∈ {0,1, , 1}, = 1,2, , ；②对于 1 ≤ < ≤ ，
均有 ≠ ；则称 具有性质 ( ).对于 = 1, 2, , 和 = 1, 2, , ，定义集合 ( , ) = =
∣, = 1,2, , ．
(1)设 = (0,1,2)，若 = 1, 2, 3 具有性质 (3)，写出一个 及相应的 ( , )；
(2)设 和 具有性质 (6)，那么 ( , )是否可能为{0,1,2,3,4,5}，若可能，写出一组 和 ，若不可能，说明
理由；
(3)设 和 具有性质 ( )，对于给定的 ，求证：满足 ( , ) = {0,1, , 1}的 有偶数个．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. 55
12.5 7 4或 4
13. 2 ； 10
14.2 3/23 3 3 ； 3
15.①②④
16.1)因为 为锐角，sin = 45，又因为
2 + 2 = 1 3，所以 cos = 5，
所以因此 sin2 = 2sin cos = 2425；
(2) , 4 3因为 为锐角，sin = 5，cos = 5，
sin 4 5
所以 tan = cos = 3，同理，又因为 cos = 5 ，
2 + 2 = 1，
2 5
所以 sin = 5 ，所以 tan =
sin
cos = 2，
4+2
所以 tan( + ) = tan +tan 31 tan tan = 4 = 2．1 3×2
17.(1) ( ) = = cos 3sin 12 cos2
= 3 sin2 12 2 cos2 = sin(2
). 2 6 最小正周期 = 2 = ．
所以 = sin 2 6 最小正周期为 ．
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(2) ( ) = sin(2 ) ∈ [0, ] ≤ 2 ≤ 11 方法一： 6 ，当 时， 6 6 6 ，
令 ( ) = sin(2 6 ) = 0，
则 2 6 = 0 或 2

6 = ，
7
所以 = 12或 = 12 .
所以函数 ( )在 0, 7 上的零点为12和12 .
方法二：
令 ( ) = sin(2 6 ) = 0，则 2 6 = , ∈ ，
所以 = 12 + 2 , ∈ ，
因为 ∈ [0, ]，所以 = 12或 =
7
12 .
7
所以函数 ( )在 0, 上的零点为12和12．
18.解：(Ⅰ)在△ 中，
4 2
因为 2 + 2 2 = 3 ，
2+ 2 2 2 2
所以由余弦定理得：cos = 2 = 3 ．
因为 ∈ (0, )，
所以 sin = 1 cos2 = 1 89 =
1
3，
sin 1 3 2
tan = = 3 × = ;cos 2 2 4
(Ⅱ)因为 3 sin = 2 sin ，
由正弦定理得 3 = 2 ，
即 = 3 22 ．
1
又因为△ 的面积 = 2 sin = 2 2，
1 × 3 2
2 1
即2 2 × 3 = 2 2，
所以 2 = 8，
故 = 2 2．
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19.(1) ( ) = 3 2 12 sin + 2 2
= 3 sin + 12 2 cos = sin( +

6 )．
因为函数 = ( ) 图象的相邻两个对称中心间的距离为2，

所以2 = 2，故 = ，
> 0 = 2 因为 ，所以 = 2，
因为 ( ) = sin(2 + 6 )，
令 2 + 2 ≤ 2 +

6 ≤ 2 + 2 ，

即 3 + ≤ ≤ 6 + ，

所以 ( )的单调递增区间为 3 + , 6 + ( ∈ )．
(2)方法一：
因为 ∈ [0, 2 ]，所以 2 +

6 ∈ [
7
6 , 6 ]，
1 ≤ sin 2 + 所以 2 6 ≤ 1，
2 + 当 6 = 2，即 =

6时， ( )取最大值，最大值为 1；
2 + = 7 当 6 6，即 =

2时， ( )
1
取最小值，最小值为 2 .
方法二：
由(1) 知 ( )的单调递增区间为 3 + , 6 + ( ∈ )，
同理 ( ) 2 的单调递减区间为 6 + , 3 + ( ∈ )，
∈ 0, 又因为 2 ，所以 ( )在区间 0, 6 上单调递增，在区间 6 , 2 上单调递减，
( ) 所以 的最大值为 6 = 1，
0 = 1又有 2 >

2 =
1
2，所以 ( )的最小值为

2 =
1
2．
20.解：(1)因为 2 = 3 ，由正弦定理得， 2 = 3 ，
又 ∈ (0, )，所以 ≠ 0，得到 2 = 3 ，
又 2 = 2 cos ，所以 2 cos = 3 ，
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又 ∈ (0, )，所以 ≠ 0，得到 cos = 32 ，
所以 = 6．
(2) 2 7选条件 ①: = 7
2 7
(1) = sin 4 7由 知， 6，根据正弦定理知， =
7
sin = 1 = 7 > 1，即 > ，
2
所以角 有锐角或钝角两种情况，△ 存在，但不唯一，故不选此条件．
: 选条件 ② =
3 3
4
1
因为 △ = 2 sin =
1
2 sin
= 16 4 = 3 3，所以 = 12 3，
3 3
又 = 4 ，得到 =
3 3 3 3
4 ，代入 = 12 3，得到
2
4 = 12 3，解得 = 4，所以 = 3 3，
3
由余弦定理得， 2 = 2 + 2 2 cos = (3 3)2 + 42 2 × 3 3 × 4 × 2 = 27 + 16 36 = 7，
所以 = 7．
21
选条件 ③: cos = 7
因为 △ =
1
2 sin =
1
2 sin
= 16 4 = 3 3，所以 = 12 3，
21
由 cos = 7 ，得到 sin = 1 cos
2 = 1 2149 =
2 7
7 ，
又 sin = sin( ) = sin( + ) = sin cos + cos sin ，由(1) 知 = 6，
所以 sin = 12 ×
21 + 2 7 × 3 3 217 7 2 = 14
3 21
sin 3 3 3 3
又由正弦定理得， 14 = sin = 2 7 = 4 ，得到 = 4 ，
7
3 3
代入 = 12 3，得到 4
2 = 12 3，解得 = 4，所以 = 3 3，
由余弦定理得， 2 = 2 + 2 2 cos = (3 3)2 + 42 2 × 3 3 × 4 × 32 = 27 + 16 36 = 7，
所以 = 7．
21.(1) = (0,1,2)， ( , ) = {0}； = (0,2,1)， ( , ) = {0,1}； = (1,0,2)， ( , ) = {0,1}； =
(1,2,0) ( , ) = {1,2}； = (2,1,0)， ( , ) = {0,2}．
(2)假设存在 = ( 1, 2, 3, 4, 5, 6)和 = ( 1, 2, 3, 4, 5, 6)均具有性质 (6)，且 ( , ) = {0,1,2,3,4,5}，
则 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 6 =1 | | = 15，
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因为| |与
6 6
同奇同偶，所以 =1 | |与 =1 ( )同奇同偶，
又因为6 =1 | | = 15 为奇数，
6
=1 ( ) = 0 为偶数，
这与6 6 =1 | |与 =1 ( )同奇同偶矛盾，所以假设不成立．
综上所述：不存在具有性质 (6)的 和 ，满足 ( , ) = {0,1,2,3,4,5}．
(3)不妨设 = ( 1, 2, , )与 = ( 1, 2, , )构成一个数表 ，
1 2
1 2
交换数表中的两行，可得数表 ，
1 2
1 2
调整数表各列的顺序，使第一行 1, 2, , 变为 1, 2, , ，
设第二行变为 1, 2, , ，
令 = ( 1, 2, , )，则 具有性质 ( )，且 ( , ) = {0,1,2, , 1}，
假设 = ( 1, 2, , )与 = ( 1, 2, , )相同，
则 1 = 1, 2 = 2, , = ，
不妨设 1 ≠ 1， 1 = ( ≠ 1)，则有 1 = ，故| 1 1| = | |，
因为 ( , ) = {0,1,2, , 1}，所以| 1 1| ≠ | |( = 2,3, , )，
因为 1 = 1 = ，所以| 1 1| = | |( ≠ 1)，与| 1 1| ≠ | |( = 2,3, , )矛盾．
故对于具有性质 ( )的 = ( 1, 2, , )，若 = ( 1, 2, , )具有性质 ( )，且 ( , ) = {0,1,2, , 1}，
则存在一个具有性质 ( )的 = ( 1, 2, , )，使得 ( , ) = {0,1,2, , 1}，且 = ( 1, 2, , )与 =
( 1, 2, , )不同，并且由 的构造过程可以知道，当 = ( 1, 2, , )， = ( 1, 2, , )确定时， =
( 1, 2, , )唯一确定，由 , 也仅能构造出 ．
所以满足 ( , ) = {0,1, , 1}的 有偶数个．
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