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2024-2025 学年北京市通州区高一下学期期中考试
数学试题
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知向量 = 1, 2 ， = 4,1 ，则 =( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 9
2.如图，在平行四边形 中，连结 ，下列运算正确的是( )
A. + = B. + =
C. = D. =
3.若复数 满足 = 1 2 ，则在复平面内，复数 对应的点所在象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和大于 8 的概率为( )
A. 16 B.
5 1 5
18 C. 3 D. 12
5.在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知 = 2， = 6， = 4，则 cos =( )
A. 5 B. 3 C. 7 158 4 8 D. 16
6.已知平面向量 ， ，则“ = 或 = ”是“ = ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知平面向量 ， 是不共线的两个向量， = + 2 ， = 4 4 ， = + 2 ，则( )
A. ， ， 三点共线 B. ， ， 三点共线
C. ， ， 三点共线 D. ， ， 三点共线
8.一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为 1、2；红球有两个，编号为 3，
4.从盒中不放回的依次取出两个球， 表示事件“第一次取出的是红球”， 表示事件“取出的两球同色”，
表示事件“取出的两球不同色”，则下列说法正确的是( )
A. 与 互斥 B. 与 5 1互斥 C. ∪ = 6 D. = 3
9.在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，则下列说法正确的个数为( )
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①若 cos = cos ，则 一定为等腰三角形
②若 > 0，则 一定为锐角三角形
③若 = 3， = 2，则 面积的最大值为 3
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10.在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知 = 2，sin = 3cos sin ，则 面积的最大
值为( )
A. 3 B. 5 11 38 8 C. 16 D. 4
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， = 3 = sin = 1， ，已知 ， 4， 3，则 = ．
12.已知复数 1 = + 1 ， 2 = 2 2 ，若 1 + 2为纯虚数，则实数 = ．
13.为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，
3
甲、乙两名同学回答一道有关团史的问题，每名同学回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为4，
1
甲、乙两人都回答正确的概率是2 .若甲、乙同学都回答这个问题，则乙回答正确的概率为 ；甲、乙两
名同学中至少有 1 名同学回答正确的概率为 ．
14.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图”，它是由四个全
1
等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．若 = 2 5， = 2 ，则向量
在 上的投影向量的模为 ；设 = ， = ，若 = + ，则 + = ．
15.在锐角 中， = 5， = 3，且 tan 1 = cos ，若点 为平面内一点，且 = + cos cos
∈
，给出下列四个结论：
① = 4；
② 的面积为 3；
③ 3 2的最小值为 2 ；
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④若 = 3 2 3 2，则 的值为 4 或 4 ．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 12 分)
在 中， ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 = 5， = 2．
(1)若 cos = 45，求 及 的面积；
(2)若 3 2 sin = 0，求 ．
17.(本小题 12 分)

已知平面向量 ， ，其中| | = 2，| | = 2，且 与 的夹角为4．
(1)求 + 的值；
(2)求 2 的值；
(3)若向量( )与( + )互相垂直，求实数 的个数．
18.(本小题 12 分)
甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为 0.8，乙的中靶概率为 0.9，甲、乙射击中靶与否互
不影响．甲、乙每次射击中靶与否也互不影响．
(1)甲、乙各射击 1 次，两人都脱靶的概率；
(2)甲射击 2 次恰有 1 次中靶的概率；
(3)甲、乙各射击 2 次，记“4 次射击中至少有 1 次中靶”为事件 ，记“4 次射击中至多有 1 次中靶”为
事件 .判断 与 是否相互独立．(结论不要求证明)
19.(本小题 13 分)
设复数 = + , ∈ ．
(1)若 = 2 + ，求 、 的值．
(2)若 与复数 1 = 2 + 是互为共轭复数，求 1；
(3)当 ≠ 0 时，若 + 2 = ∈ ，求 ．
20.(本小题 13 分)
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = 7， = 3．
(1)再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求
的面积；
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条件①： = 10；
条件②： = 8；
cos = 1条件③： 7．
(2)若 > 0，求 周长的取值范围．
注：如果选择的条件不符合要求，第(1)问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答
计分．
21.(本小题 13 分)

如图，已知正方形 的边长为 2，圆 内切于正方形 ，点 ， 为切点，点 为劣弧 上的一点，过
作 ⊥ ，垂足为 ，过 作 ⊥ ，交 于 ，交圆 于 ，设∠ 为 ．
(1)若 = ，求 6 的值；
(2)设 = ， = ．
①求 的最小值；
②求 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. 2
12. 2
13.2 113 ；12
14.4； 25/ 0.4
15.②③④
2
16.(1) 4因为 0 < < ，cos = 25，所以 sin = 1 = 1
4
5 = 1
16 9
25 = 25 =
3
5，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos ，
所以 2 = 52 + 22 2 × 5 × 2 × 45 = 25 + 4 16 = 13，所以 = 13，
所以 1的面积为2 sin =
1
2 × 5 × 2 ×
3
5 = 3；
(2)由 3 2 sin = 0，可得 3sin 2sin sin = 0，
又因为 0 < < ，所以 sin ≠ 0 3，所以 sin = 2 ，
2
又 0 < < ，所以 = 3或 = 3．
17.(1)由| | = 2，| | = 2，且 与 的夹角为4，得 = 2 × 2 ×
2
2 = 2，
所以 ( + ) = 2 + = 6．
(2)|2 | = 4 2 +
2
4 = 4 × 22 + ( 2)2 4 × 2 = 10．
(3)由向量( )与( + )互相垂直，
第 5页，共 9页
2
得( ) ( + ) = 2 + ( 2 1) = 2 2 + 2 2 = 0，
= 1± 5解得 2 ，所以 的值有 2 个．
18.(1)设甲 1 次中靶为事件 ，乙 1 次中靶为事件 ，
设甲 1 次脱靶为事件 1，乙 1 次脱靶为事件 1，
两人都脱靶为事件 1 1，且 1, 1相互独立，
由题意得 ( ) = 0.8， ( ) = 0.9，
则甲 1 次脱靶的概率为 ( 1) = 1 ( ) = 1 0.8 = 0.2，
乙 1 次脱靶的概率为 ( 1) = 1 ( ) = 1 0.9 = 0.1，
故两人都脱靶的概率为 ( 1 1) = 0.2 × 0.1 = 0.02．
(2)由题意得甲射击 2 次恰有 1 次中靶可以分类如下，
第一次中靶，第二次脱靶，第一次脱靶，第二次中靶，
而第一次中靶，第二次脱靶的概率为 0.8 × (1 0.8) = 0.16，
第一次脱靶，第二次中靶的概率为(1 0.8) × 0.8 = 0.16，
由分类加法计数原理得恰有 1 次中靶的概率为 0.16 + 0.16 = 0.32．
(3)不独立，证明如下，
由题意得记“4 次射击中至少有 1 次中靶”为事件 ，
则事件 的对立事件 1为“4 次射击中全部脱靶”，
得到 ( 1) = (1 0.8) × (1 0.8) × (1 0.9) × (1 0.9) = 0.0004，
故 ( ) = 1 ( 1) = 1 0.0004 = 0.9996，
而记“4 次射击中至多有 1 次中靶”为事件 ，
可分类为 4 次射击中全部脱靶，甲 1 次中靶，乙全部脱靶或甲全部脱靶，乙 1 次中靶，
而 4 次射击中全部脱靶的概率为 0.0004，
甲 1 次中靶，乙全部脱靶的概率为 12 × 0.8 × (1 0.8) × (1 0.9) × (1 0.9) = 0.0032，
乙 1 次中靶，甲全部脱靶的概率为 12 × (1 0.8) × (1 0.8) × 0.9 × (1 0.9) = 0.0072，
由分类加法计数原理得 ( ) = 0.0004 + 0.0032 + 0.0072 = 0.0108，
而 表示 4 次射击中恰好 1 次中靶，可分类如下，
为甲 1 次中靶，乙全部脱靶或甲全部脱靶，乙 1 次中靶，
得到 ( ) = 0.0032 + 0.0072 = 0.0104，
则 ( ) ≠ ( ) ( )，不满足独立事件的定义，故 与 不独立．
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19.(1)因为 = 2 + = 1 + 2 = + , ∈ ，故 = 1， = 2．
(2)因为 与复数 1 = 2 + 是互为共轭复数，则 = 2 ，故 1 = 2 2 + = 4 + 1 = 5．
(3)因为 ≠ 0， + 2 = ∈ ，
= + + 2 = + + 2 2 2 则 + + = + 2+ 2 + 2+ 2 ，
2 2+ 2 2
故 2+ 2 = 2+ 2 = 0，
因为 ≠ 0，故 2 + 2 = 2，所以 = 2 + 2 = 2．
20.(1)选条件①： = 10 ，由正弦定理得sin = sin ，
10 = 7 5 3即sin 3，解得 sin = 7 > 1，
2
故 无解，所以 不存在；
选条件②： = 8，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos ，
则 49 = 2 + 64 8 ，解得 = 3 或 = 5，
= 3 1 1 3当 时， = 2 sin = 2 × 3 × 8 × 2 = 6 3；
当 = 5 时， △ =
1
2 sin =
1 3
2 × 5 × 8 × 2 = 10 3．
cos = 1选条件③： 7 < 0，则 sin = 1
2 = 4 37 ，
7×4 3 sin
由正弦定理得 7sin = sin ，则 = sin = 3 = 8，
2
又 sin = sin( + ) = sin cos + cos sin
= 32 × (
1 1 4 3 3 3
7 ) + 2 × 7 = 14 ，
1
所以 = 2 sin =
1
2 × 7 × 8 ×
3 3
14 = 6 3．
(2)由 = cos > 0，则 cos < 0，则 为钝角，
因为 = 2 3，所以 ∈ 2 , 3 ，
又 2 = 7 14 3sin = 3 = 3 ，
2
+ + = 7 + 14 3 sin + 14 3 sin = 7 + 14 3则 的周长为 3 3 3 sin + sin

3 +
= 7 + 14 3 3 1 3 sin + 2 cos + 2 sin = 7 + 14sin + 6 ，
2 2 5 1 3
因为 ∈ 2 , 3 ，所以 + 6 ∈ 3 , 6 ，则 sin + 6 ∈ 2 , 2 ，
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所以 7 + 14sin + 6 ∈ 14,7 + 7 3 ，
即 周长的取值范围为 14,7 + 7 3 ．
21.(1)
因为正方形边长为 2，则内切圆 的半径为 1，如图所示，以圆心为原点，以 为 轴，以 为 轴，建立
平面直角坐标系．
当 = 6时，则 (cos 6 , sin

6 ), (0,0), ( cos

6 , sin

6 ), (1,1)，
= (1,1), = ( cos , sin ) = cos + sin = 3 + 1 = 1 3可得 6 6 ，则 6 6 2 2 2 ．
(2)
如(1)建立坐标系，则此时 (0,0), (1,1), (cos , 0), (0, sin )，
可得 = ( 1, 1), = (cos 1, 1), = ( 1, sin 1)，
可知 = = (cos 1) + 1 = 2 cos ， = = 1 (sin 1) = 2 sin ．
① = (2 cos ) (2 sin ) = sin cos ，
由辅助角公式可得 = 2sin( 4 )，

因为点 为劣弧 上的一点，所以 0 ≤ ≤ 2，即 4 ≤ ≤ 4，则 1 ≤ 2sin(

4 ) ≤ 1，所以 的最
小值为 1．
② = (2 cos )(2 sin ) = 4 2(sin + cos ) + sin cos ，
令 = sin + cos ，变形得 = 2sin( + 4 )，当 0 ≤ ≤ 2时，4 ≤ +

4 ≤
3
4，可得 1 ≤ 2sin( + 4 ) ≤ 2，
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2
可得 ∈ [1, 2]， 2 = (sin + cos )2 = 2 + 2 + 2sin cos ，解得 sin cos = 12 ，换元可得 =
2
4 2 + 1 = 1 22 2 ( 4 + 7)，
对于二次函数 = 2 4 + 7 是开口向上，对称轴为 = 2 的图像，在 ∈ [1, 2]上的最大值为 = 1 时的函
数值，此时 = 1 4 + 7 = 4，此时 的最大值为 2．
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