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2024-2025学年上海市浦东新区上海海事大学附属北蔡高级中学高一下学期5月月考数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则的取值范围为 ．
A. B. C. D.
2.设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为( )
A. B. C. D.
4.设，函数，若函数在区间内恰有个零点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.空间三点最多可确定 条直线．
6.已知直线，则直线与直线的位置关系为 ．
7.已知复数满足，则的值为 ．
8.若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为 ．
9.已知向量，，则在上的投影向量的坐标为 ．
10.已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 ．
11.已知向量，，且，则 ．
12.在空间四边形中，，，，分别是棱，，，的中点，则当，满足条件 时，四边形是正方形．
13.宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是年重建的，如图某人为了测量塔高，在点处测得仰角为，在点处测得仰角为，两点间的距离为米，，如图，则塔的高度为 米
14.如图是一个边长为的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是 ．
直线与直线垂直；
直线与直线相交；
直线与直线平行；
直线与直线异面；
15.已知四面体中，，、分别为、的中点，且异面直线与所成的角为，则 ．
16.已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知复数，其中是实数．
若，求实数的值；
若是纯虚数，求
18.本小题分
如图所示，已知不共面的直线，，相交于，，是直线上两点，，分别是直线，上一点求证：与是异面直线．
19.本小题分
已知函数，若先将其图象向右平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．
求函数在上的值域；
在中，角的对边分别为，若，且，求．
20.本小题分
如图，在正方体中，、、、分别是棱、、、的中点．

判断直线与的位置关系，并说明理由；
求异面直线与所成的角的大小；
求异面直线与所成角的大小．
21.本小题分
已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”．
判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由；
若函数，是，的“友好函数”，求的最小值；
已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.异面或平行或相交
7.
8.
9.
10.
11.或
12.且
13.
14.
15.或
16.
17.解：复数，则，又是实数，
因此，解得，
所以实数的值是．
复数，，
则，
因为是纯虚数，于是，解得，
因此，又，，，，
则，，，，，
即有，，
所以．
18.解：证明：方法一：反证法假设与不是异面直线
则与在同一平面内，设此平面为
，，，
，
又
又，，，
，
，，共面于，这与，，不共面矛盾
假设不成立
与是异面直线
方法二：
由，确定一个平面，设为
，
，
，且，
又，，不共面，
与是异面直线
19.解：将图象向右平移个单位长度，
得的图象，
再将所得曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得的图象，
由，得，所以
故函数在上的值域为；
由得，
因为，所以，
由余弦定理得，又，所以，
由正弦定理得，又，
故．
20.解：连接、、，如下图所示，

因为、分别为、的中点，所以，，
在正方体中，，，
因为、分别是、的中点，所以，，
因为四边形为平行四边形，所以，，
所以，，所以、是梯形的两腰．
因此直线与相交．
连接、、，如下图所示：

因为、分别为、的中点，所以，
在正方体中，，，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以、所成的角为或其补角，
易知为等边三角形，故，
因此异面直线与所成的角为．
取线段的中点，连接、、，如下图所示：

在正方体中，，，
因为、分别为、的中点，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，，
因为，，所以，，
所以四边形为平行四边形，则，
所以异面直线与所成角为，
不妨设正方体的棱长为，则，
同理可得，，
由余弦定理可得．
因此，异面直线与所成角为．
21.解：，不是，的“友好函数”，理由如下：
取，因为，所以不存在，使得，
所以，不是，的“友好函数”；
由题意，对任意，存在唯一使成立，
即，所以函数的值域是函数值域的子集．
因为，，所以，其值域为，
而在上单调递增，故值域为，
从而，即，所以；
当是的“友好函数”时，
由题意，对任意的，存在唯一的，使成立，
即，则的值域是值域的子集．
当是的“友好函数”时，
由题意，对任意的，存在唯一的使成立，
即，则的值域是值域的子集．
所以的值域与值域相同且值域中的数值一一对应．
当是的“友好函数”时，因为，
若存在使得，则不存在，使得，
所以当时，，所以，
因为在上单调递减，所以，
当时，，不符合要求；
当时，，，
因为，所以，不符合要求；
当时，，
若，则在上单调递减，
从而在上单调递增，故
从而时，，
因为的值域与值域相同，所以
即，所以，又在上单调递增，
所以当时，的最大值为．
若，则在上单调递减，在上单调递增，
此时值域与值域中的数值不可能一一对应，不符合要求．
综上：，的最大值为．

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