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2024-2025学年山东省淄博第六中学高一下学期期中学分认定考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则的虚部是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.已知直线与平面，下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
5.一艘海轮从处出发，以每小时海里的速度沿南偏东的方向直线航行，小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔．其方向是北偏东，那么两点间的距离是( )
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
6.已知圆台的上、下底面半径分别为和，侧面展开图是半个圆环，则圆台的表面积为( )
A. B. C. D.
7.将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.在中，内角所对的边分别为，若是边上的一点，且，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是( )
A.
B.
C. 与可以作为一组基底
D. 向量在向量上的投影向量为
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 是周期为的奇函数 B. 的图象关于点对称
C. 在上单调递增 D. 的值域是
11.如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为( )
A. 存在点，使得平面
B. 过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C. 三棱锥的体积为定值
D. 三棱锥的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.
13.如果复数满足，那么的最大值是 ．
14.如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直角梯形中，，，，，，．
求；
若为边上一点，且，求．
16.本小题分
如图，已知矩形中，，将矩形沿对角线把折起，使移到点，且在平面上的射影恰好在上．
求证：；
求三棱锥的体积．
17.本小题分
在中，内角对应的边分别是，且．
若的面积是，求的周长；
若为锐角三角形，求的取值范围．
18.本小题分
如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：
若为的中点，求证：平面；
侧棱上是否存在一点，使得平面若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
19.本小题分
已知函数
求函数的对称轴及对称中心；
若方程在上的有两个解，求的范围；
将函数的图象上所有点向下平移个单位得到曲线，再将上的各点横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象若，不等式成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：如图，以为原点，，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，
则，，，，．
因为，，
所以
如图，设，则，，
因为，所以，得或．
故或．

16.解：由于在平面上的射影在上，
平面，又平面，，
又，，
平面，平面
平面，又平面，，
由于为矩形，
由知，，
平面，平面
平面，平面，
，
，，
，
．

17.解：由正弦定理可得，
即，因为，所以，
则，即．
因为，所以，
由余弦定理可得，
即，所以，
则，所以，
则的周长为．
由可得，
则
，
且为锐角三角形，则，解得，
所以，则，
所以，
即的取值范围是．

18.解：
如图，连接交于点，连接，，，则为的中点，
当为的中点时，，
又平面，平面，所以平面；
在侧棱上存在点，使得平面，满足，
理由如下：取的中点，由，得，
过作的平行线交于，连接，，中，有，
又平面，平面，所以平面，
由，得，
又，又平面，平面，
所以平面，又，，平面，
所以平面平面，而平面，
所以平面，
即在侧棱上存在点，使得平面，满足．

19.解：因为，
所以
，
对称轴：，解得，
对称中心横坐标满足：，解得，
所以对称中心为．
因为，
所以，
因为，
当，即时，单调递增，
当，即，单调递减，
当或时，，
当时，，
所以方程在上的有两个解，
所以．
因为函数的图象上所有点向下平移个单位得到曲线，
再将上的各点横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，
所以，
因为，不等式成立，
所以，
因为，所以，
当，即时，，
当时，令，
所以，即，即，
所以实数的取值范围．

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