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2024-2025学年山东省枣庄市市中区辅仁高级中学高一下学期5月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则在复平面内对应的点为( )
A. B. C. D.
2.的内角的对边分别为，已知，，则外接圆的半径为( )
A. B. C. D.
3.已知复数，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知非零向量，满足，若，则与的夹角为 ．
A. B. C. D.
5.已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
6.已知、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为 ．
A. B. C. D.
7.如图，在四边形中，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.正方形的边长为，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有( )
A. 点在线段上时，为定值 B. 点在线段上时，为定值
C. 的最大值为 D. 使的点轨迹长度为
10.如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为( )
A. 不存在点，使得平面
B. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
C. 三棱锥的体积为
D. 三棱锥的外接球表面积为
11.在中，，，分别是内角，，的对边，下列说法正确的是( )
A. 若为锐角，则
B. 若为锐角，则
C. 若，则
D. 若为锐角三角形，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的 条件．
13.已知的面积为，，，则 ．
14.九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，，分别是，的中点．

求证：平面；
若四棱柱的体积为，且底面为平行四边形，求三棱锥的体积的值．
16.本小题分
在中，为锐角，．
求；
若，求的面积．
17.本小题分
如图，在直角梯形中，，是线段包括端点上的一个动点．
当时，求的值；
在的条件下，若，求；
求的最小值．
18.本小题分
如图，在直三棱柱中，，点是棱的中点．
求证：平面平面；
求点到平面的距离以及三棱锥的体积．
19.本小题分
在中，．
若，的面积为，求；
若，
求面积的最大值；
求周长的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.充要
13.
14.或
15.解：在四棱柱中，连接，如图，

因，分别是，的中点，则有，又平面，平面，
所以平面；
由是的中点得，
又，平面，平面，则平面，
又点是线段上的一个动点，则，
所以三棱锥的体积的值．
16.解：由及正弦定理，
得．
因为在中，，所以．
因为，所以．
因为为锐角，所以．
由，且，解得．
由余弦定理，得，解得或舍．
所以的面积．
17.解：以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
当时，，，，
因此，
设，即点坐标为，
则，，
，
当时，，即，
设、，又，
则，
，当时取到等号，
因此的最小值为．

18.解：
连接，取的中点，连接，，
，，
在直三棱柱中，平面平面，
平面平面，平面，
平面，
分别为，的中点，且，
点是棱的中点，且，
且，四边形是平行四边形，
，平面，
平面，平面平面；
，，，
点是棱的中点，，
，，
由知平面，，
，
，，
设点到平面的距离为，
，
，，
点到平面的距离为，三棱锥的体积为．
19.解：因为，利用正弦定理，可得：
，
所以，
因为为的内角，所以，所以．
又，所以．
由．
由余弦定理：，
所以．
在中，，，
由余弦定理：．
因为，当且仅当时取“”，
所以．
所以．
所以当为等边三角形时，面积取得最大值为．
又，且，当且仅当时取“”，
所以．
所以，
所以周长的取值范围为：．

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