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2024-2025学年湖北省荆州市成丰学校高一下学期5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，点的坐标为，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.设复数为虚数单位，若为纯虚数，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知在中，，则等于( )
A. B. C. D.
4.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
5.将函数的图像分别向左向右各平移个单位长度后，所得的两个图像的对称轴重合，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.若等边圆柱轴截面是正方形、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是( )
A. 球圆柱正方体 B. 正方体球圆柱
C. 圆柱球正方体 D. 球正方体圆柱
7.在正方体中，截面与底面所成二面角的正切值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在正方形中，分别为边的中点，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在复平面内，复数对应的点为，则( )
A. B. C. D.
10.有下列说法，其中错误的说法为．
A. 、为实数，若，则与共线
B. 若、，则
C. 两个非零向量、，若，则与垂直
D. 若，、分别表示、的面积，则
11.下列各式中，化简结果为的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数为纯虚数，则 ；
13.在直角梯形中，点为腰的中点，则 ．
14.如图，在空间四边形中，平面平面，，，且，则与平面所成角的度数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，分别为的三个内角，，的对边，且．
求角；
若，的面积．
16.本小题分
已知，．
若与共线，求的值．
若与的夹角为，求的值．
求向量在向量上投影的数量．
17.本小题分
如图，在边长为的正方体中，为中点，
证明：平面；
求三棱锥的体积．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，，．
求异面直线与所成角的余弦值；
求证：平面；
Ⅲ求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
如图所示，在中，，，与相交于点，的延长线与边交于点．
用和分别表示和；
如果，求实数和的值；
确定点在边上的位置．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由余弦定理，
所以，又，所以．
因为，所以，
因为，由已知得，故，故，
所以．

16.解：因为，，
所以，，
因为与共线，所以，解得；
因为，，
又与的夹角为，
则，解得；
因为，，
所以，，
所以向量在向量上投影的数量为．

17.解：在边长为的正方体中，设，交于点，连结，
是中点，而为中点，则，
又平面，平面，所以平面．
在边长为的正方体中，平面，
所以三棱锥的体积为．

18.解：Ⅰ如图，由已知，故或其补角即为异面直线与所成的角．
因为平面，所以．
在中，由已知，得，
故．
所以，异面直线与所成角的余弦值为．
Ⅱ证明：因为平面，直线平面，所以．
又因为，所以，
又，
所以平面C.
Ⅲ过点作的平行线交于点，连结，
则与平面所成的角等于与平面所成的角．
因为平面，故为在平面上的射影，
所以为直线和平面所成的角．
由于，，故，
由已知，得．
又，故，
在中，可得，
在中，可得．
所以，直线与平面所成角的正弦值为．

19.解：，
由知：
，解得：
设，
由知：
又
，解得：
，即
点为靠近点的的三等分点

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