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2024-2025学年江西省南昌市第十中学高一下学期第二次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若为虚数单位，其中，为实数，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
3.化简向量等于( )
A. B. C. D.
4.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中，则原平面图形的面积为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，若向量的夹角是锐角，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.若，都是锐角，且，，则( )
A. B. C. 或 D. 或
7.已知复数，在复平面内，复数对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则( )
A. B. C. D.
8.如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边直角边，已知以直角边为直径的半圆的面积之比为，记，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. B. 在区间上只有个零点
C. 的最小正周期为 D.
10.下列结论正确的是( )
A. 若的内角满足，则一定是钝角三角形
B. 绕直角三角形一条边所在直线旋转一周所形成的几何体是圆锥
C. 若是纯虚数，则
D. 若向量，则向量在向量上的投影向量是
11.已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是( )
A. ，则为内心
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则为的外心
D. 若，则点的轨迹经过的重心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个圆台的母线长为，上、下底面圆直径长分别为，，则圆台的高为 ．
13.已知锐角，满足，则的值为 ．
14.已知函数满足：，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数为虚数单位，其共轭复数为．
若复数是实数，求实数的值；
若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围
16.本小题分
已知向量，，函数．
求的单调递减区间；
将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到的图象，求在上的值域．
17.本小题分
如图，、分别是的边、上的点，且，，交于．
若，求的值；
若，，，求的值．
18.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且，．
求边长和角；
若的面积为，求中线的长度；
若，求角平分线的长度．
19.本小题分
定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为．
若，，求最大值及对应的取值集合；
若向量的“积函数”满足，求的值；
已知，，设，且的“积函数”为，其最大值为，求的最小值，并判断此时，的关系．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由可得，
所以，
若复数是实数，可得，
解得；
，
易知复数在复平面内所对应的点坐标为，
又复数在复平面内所对应的点位于第四象限，可得
解得，
即实数的取值范围为．
16.因为向量，，函数，
所以
，
令，，
解得，，
所以的单调递减区间为，．
由知，
函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，
则，
当时，，，
则．
所以在的值域为．
17.，
，，因此，；
设，
再设，则，即，
所以，，解得，所以，
因此，．
18.，
由正弦定理得．
可得．
由，得，
得，
得或，故或舍去．
由，得，
由余弦定理可知，，
由可得，所以，
又，
所以
，
即，
所以中线的长度为；
若，由余弦定理，，
可知，所以，即，
因为为角平分线，所以，
即，
则，所以．
19.若，，则，
当时，即，，函数有最大值，
函数的最大值为，对应的取值集合为；
，
令，所以，
所以，，
即，，所以；
因为，，
所以
，
所以
，
此时存在满足
当且仅当时等号成立，
所以，
即，，
所以成立，
且，
则，
，
当时有最小值，
所以的最小值为．

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