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2024-2025学年吉林省吉林市第十二中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若点在直线上，直线在平面内，则下列关系表示正确的是( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且与异面，则( )
A. 至多与，中的一条相交 B. 与，均相交
C. 与，均平行 D. 至少与，中的一条相交
5.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，可抽象为如图所示的几何体，该几何体是上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为( )
A. B. C. D.
6.已知，，是直线上三个不同的点，点是直线外的一点，若，则( )
A. B. C. D.
7.为了测量、两岛屿之间的距离，一艘测量船在处观测，、分别在处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两岛屿之间的距离为( )
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
8.在三棱锥中，平面平面．，，，则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于复数的结论正确的是( )
A. 的虚部是
B.
C.
D. 方程的根是
10.已知是边长为的正六边形内一点含边界，且，，则( )
A. 的面积恒为 B. 存在，使得
C. D. 的取值范围是
11.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点为线段上的动点不包括端点，则下列结论正确的是( )
A. 该四棱锥的体积为 B. 一定存在点，使平面
C. 一定存在点，使平面 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 ．
13.在中，为外心，为所在平面内一点，且，则点为的 心．
14.如图，正方体的棱长为，为的中点，若过的平面平面，则截该正方体所得截面图形的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，，
设，求，的值；
若，求的值．
16.本小题分
如图所示，为四边形的直观图，其中，，，．
画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积；
若该四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
17.本小题分
如图，已知平面，为矩形，分别为的中点．
证明：；
若，求证：平面平面．
18.本小题分
如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且．
求证：四点共面；
求证：平面；
已知点是棱上的一点，且平面平面，求的值．
19.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，若，，且．
求角的大小；
若，点是的中点，且，求的值；
已知的面积为，且所在平面内的点满足，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.垂
14.
15.，
所以，解得，即，；
，
，
因为，所以，解得：．
16.在直观图中，，，，
则在平面图形中，，，，，
于是，
所以平面四边形的平面图形如下图所示：
由上图可知，平面四边形为直角梯形，所以面积为．
直角梯形以为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，
由可知几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为，即；
圆锥的高为，母线长为，
所以体积；
所以表面积．
17.设为的中点，连接．
因为分别为的中点，
所以，．
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以．
因为平面，
所以．
又因为，且平面
所以平面，
所以．
因为，
所以．
因为，
所以，
所以．
又平面，，
所以平面，
所以．
又因为平面
所以平面．
因为，
所以平面．
又因为平面，
所以平面平面．
18.连接，因为点分别为棱的中点，
所以，
又在正方体中且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，所以四点共面；
连接、分别交、于点、，连接，
在正方体中，且，
所以，则，
同理可得，
所以，所以，
又平面，平面，所以平面；
因为平面平面，
平面平面，平面平面，
所以，
又，所以，因为，所以．
19.因为所以，
角化边可得：，
整理可得，
又因为，
又因为为三角形的内角，所以．
在中由余弦定理可得：，
整理得：；
在中由余弦定理可得：，
在中由余弦定理可得：，
又因为，所以，
又因为，所以，
解方程组：，解得或
所以或．
方法一：因为点满足，所以点在的外部，
设，，，
当在直线的异侧时，
在中由余弦定理有：，
又因为的面积为，即，所以，
所以，
在中由余弦定理有：，
在中由余弦定理有：，
在中由余弦定理有：，
所以，
整理得：，
又因为，
所以，
整理得：，即，
又因为
所以即，
所以；
当在直线的同侧时，
分别在，，，中用余弦定理及的面积为
依然可以得出，
又因为，
即
整理得：，又因为，
所以，
即，
所以．
综上所述的值为或
方法二：因为的面积为，所以，所以，
若点与点在直线的异侧，设，
则，，，
在中由正弦定理，所以，；
在中由正弦定理，所以，；
所以
；
若点与点在直线的同侧，设，
则，，，
在中由正弦定理，所以，；
在中由正弦定理，所以，；
所以
；
综上可得的值为或．

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