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2024-2025学年广西南宁市第二中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.四边形中，若，则四边形是( )
A. 平行四边形 B. 梯形 C. 菱形 D. 矩形
3.若复数为纯虚数，则实数( )
A. B. C. D.
4.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，，，，则
5.中，角，，的对边分别为，，并且，，设，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.雷峰塔是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．如图，某同学为了测量雷峰塔的高度，在地面处时测得塔顶在东偏北的方向上，向正东方向行走米后到达处，测得塔顶在东偏北的方向上，仰角为，则可得雷峰塔离地面的高度值为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7.已知向量，，满足：，，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
8.已知正三棱柱的底面边长为，高为，经过上底面棱的中点与下底面的顶点截去该三棱柱的三个角，如图，得到一个几何体，如图所示，若所得几何体的六个顶点都在球的球面上，则球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是边长为的正三角形，该三角形重心为点，点为所在平面内任一点，下列等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
10.对于，下列说法正确的有( )
A. 若，，，则符合条件的有两个
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则是钝角三角形
D. 若，则
11.如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的一个动点，则下列说法正确的有( )
A. 线段长度的最小值为
B. 直线与直线所成角的最大值为
C. 面
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个正四棱锥的底面周长为，高为，则该正四棱锥的体积为 ．
13.已知向量，若，则实数 ．
14.剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，纸片为一圆形，直径，需要剪去四边形，可以经过对折、沿裁剪、展开就可以得到．
已知点在圆上且要使得镂空的四边形面积最小，的长应为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，为钝角，，．
求；
若，求的面积．
16.本小题分
将棱长为的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体，为的中点．
求证：平面；
求几何体的体积．
17.本小题分
在四棱锥中，底面为平行四边形，为底面中心，，分别为，的中点，为等腰直角三角形，且．
求证：平面；
求异面直线与所成角的余弦值；
若，分为，的中点，点在线段上，且求证：平面平面．
18.本小题分
已知为锐角三角形，角所对的边分别为，．
求证：；
若，求周长的取值范围．
19.本小题分
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答，即三角形中的费马点是唯一的，且当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点试用以上知识解决下面问题：
若是边长为的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和；
的内角，，所对的边分别为，，，且，点为的费马点．
若，求；
若，，，求的最小值．
参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12.
13.
14.
15.由题意得，因为为钝角，
得，则，
由正弦定理得，
解得，
因为为钝角，则．
当时，由余弦定理，
得，即，解得，
则．
16.取中点为，连接、、．
在正方形中，为的中点，为的中点．
在正方体中，
且，四边形为平行四边形，且，
、分别为、的中点，且，
所以，四边形为平行四边形，且，
且，且，
所以，四边形为平行四边形，且，
为的中点，且，则四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，因此，平面；
正方体的棱长为，
，．
又，且，而，
．
17.连接，则为中点，又点为中点，所以，
又平面，平面，
所以平面．
由得，异面直线与所成角即为与夹角，
在等腰直角三角形中，设，
则，，，
在中，由余弦定理，可得，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
连接，如图所示，因为，分为，的中点，所以，
因为为的中点，所以，
因为点在线段上，且，所以，所以，
因为平面，平面，所以平面，
同理，可得平面，
又，，平面，
所以平面平面．
18.由，得，
由余弦定理得，即，
由正弦定理得，所以．
所以，即．
所以或，
即或．
因为，，所以．
因为为锐角三角形，所以即解得．
因为，由正弦定理得，所以，
由正弦定理得
，
故的周长．
令，由知，所以．
因为函数在上单调递增，
所以周长的取值范围为．
19.由费马点的定义可得：即为该等边三角形的中心，
如图：过作于，则，，故，同理，
所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为

因为，由正弦定理，得，
且，所以得，
所以的三个角都小于，则由费马点定义可知，，
设，，，，，，由，
得，整理得，
则
由余弦定理得
，，
，
由勾股定理得，，
即，
所以，即，
而，，，当且仅当时，等号成立．
设，则，解得或舍去，
故最小值为．

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