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2024-2025学年广西南宁市第三中学高一下学期月考(三)
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.某学校有高中学生人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为，，，为了调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个样本量为的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为( )
A. B. C. D.
4.水平放置的四边形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示．其中，则原平面图形的面积为( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，设，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.在正三棱锥中，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
7.在中，若，，边上的中线长为，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，是函数图象上的三点，在轴上，且轴，若，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组样本数据，则( )
A. 该样本数据的平均数为 B. 该样本数据的众数与中位数相同
C. 该样本数据的方差大于极差 D. 该样本数据的标准差小于众数
10.的内角的对边分别为，且，，若边的中线，则下列结论正确的有( )
A. B.
C. D. 的面积为
11.如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，动点在平面中，则下列说法中正确的是( )
A. 当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形
B. 当四面体的顶点在一个体积为的球面上时，
C. 当时，取得最小值
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，的夹角为，且，，则 ．
13.将扇形纸壳剪掉扇形后得到扇环，，，如图，用扇环制成一个圆台的侧面，如图，则该圆台的体积为 ．
14.如图，在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，，，分别是棱，，的中点．
证明：；
求点到平面的距离．
16.本小题分
对于居民生活用水，某市实行阶梯水价．具体来说，季度用水量在及以下的部分，收费标准为元；季度用水量超过但不超过的部分，收费标准为元；季度用水量超过的部分，收费标准为元．
求某户居民用水费用单位：元关于季度用水量单位：的函数关系式；
为了了解居民的用水情况，通过抽样获得了年第三季度本市户居民每户的季度用水量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这户居民中，季度用水费用超过元的有户，求直方图中的值以及季度用水量的第百分位数．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
若，求面积的最大值；
若的角平分线交于点，且，，求边的长度．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，是的中点，作交于点．
求证：平面；
求的长；
求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，，函数的“相伴向量”为记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．
设，若的值域为，求证：其“相伴向量”为单位向量；
设，若，求其“相伴向量”的模的取值范围；
设，若的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则，，，，，
，
故，因此，故
因，，设平面的一个法向量，
则，则满足条件的一个，
因为，故点到平面的距离．
16.解：当时，；
当时，；
当时，；
所以与之间的函数关系式为．
由知，当时，，即季度用水量超过的占，
结合频率分布直方图知，解得．
设第分位数为，
因为季度用水量低于的所占比例为，低于的占，
所以第分位数在内，故，解得，
即季度用水量的第分位数为．
17.解：因，即，由余弦定理可知，
又，则；又因为，
故当且仅当时等号成立
所以面积的最大值为
由已知的角平分线交于点，则，
又在中，，即，
即，解得．
18.解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系．
由题意知：，，，
则，．
又平面，
平面．
由题意知：，．
设，
则．
，
，
即，
展开有：，
解得：．
故，
则有；
由题意知：，
设平面的法向量，
有则，令，则，
由知，则平面的一个法向量为，
设平面与平面所成的角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
19.解：的值域为，所以，所以函数的相伴向量，，
所以函数的“相伴向量”为单位向量；
，所以的“相伴向量”，
，
，，
的取值范围为；
的“相伴函数”，其中，，．
当，即，时取得最大值．
所以，
当时，设，令
又，因为在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，当时，
所以．

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