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2024-2025学年广东省深圳市坪山区聚龙科学中学教育集团高一下学期5月期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.某中学有高中生人，初中生人为了解学生的身心发展情况，按比例采用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，则抽中的高中生人数为( )
A. B. C. D.
4.如图，已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
5.在正方体中，异面直线与所成角的度数为( )
A. B. C. D.
6.若为正方形，是的中点，且，，则等于( )
A. B. C. D.
7.如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的值为( )
A. B.
C. D.
8.如图，是坐标原点，，是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，则的范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列结论正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
10.如图，在正方体中，，分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有( )
A. 直线与是相交直线 B. 直线与是异面直线
C. 与平行 D. 直线与共面
11.对于，有如下判断，其中错误的是( )
A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则 D. 若，则是锐角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，，若，，三点共线，则 ．
13.在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ．
14.如图所示，在正方形中，是的中点，在上且，与交于点，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求和的夹角；
若向量为在上的投影向量，求．
16.本小题分
如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥．已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为．
计算该模型的体积．
现需使用油漆对个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方厘米元，总费用是多少？
17.本小题分
在中，角所对的边分别为，，．
求角；
求角；
求的面积．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，．
求证：平面；
求证：平面平面；
求二面角所成角的余弦值．
19.本小题分
如图，在正方体中，为的中点，为的中点．
求证：平面；
求证：平面平面．
若正方体的棱长为，求直线到平面的距离．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：由向量，
则，解得，
设向量和的夹角为，则，所以，
所以向量和的夹角为．
解：向量为在上的投影向量，可得，
则．
16.设圆锥的高为，
由题意得圆锥母线为，
则，
；
圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为，
圆锥侧面积为．
，
故总费用为元．
17.因为，
所以，整理为．
由余弦定理可得，
因为，所以．
因为，
所以，
因为，所以．
由知，
所以，解得或舍去，
所，
即．
18.
由底面是直角梯形，，，，，
结合勾股定理计算可得：，
取的中点，连接，
，，，四边形是正方形，
则，再由勾股定理可得：，又因为，
则由，所以，
又因为平面平面，所以，
又因为，且平面，
所以平面；
由知平面平面，所以平面平面．
平面平面，又，
为二面角的平面角．
在中，，
．
19.连接交于，连接．
因为为正方体，底面为正方形，
对角线交于点，所以为的中点，又因为为的中点，
在中，是的中位线，则，
又平面平面，所以平面；
上的中点即满足平面平面因为为的中点，为的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面平面，所以平面；
由知平面，又因为，平面，
所以平面平面．
因为平面，所以直线到平面的距离等于点到平面，设为．
因为正方体棱长为，为的中点，所以．
，．，因为，
所以，求得．

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