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分课时教学设计
第二课时《13.2.1 三角形的边》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节内容选主要探讨三角形三边关系和稳定性。三角形三边关系是判断三条线段能否构成三角形的核心依据，也是后续学习三角形全等、相似等内容的基础；稳定性在实际生活中应用广泛，是几何性质与现实连接的重要切入点。
学习者分析 学生已掌握三角形的基本概念、分类等知识，具备初步的几何直观能力和逻辑推理意识。对“两点之间线段最短”等基本事实有认知，可作为推导三边关系的起点。
教学目标 1．知道三角形的三边关系，会判断三条线段能否组成一个三角形，并能解决实际问题． 2．了解三角形的稳定性及其在生产、生活中的广泛应用．
教学重点 三角形三边关系定理的理解与应用。
教学难点 三角形三边关系定理的灵活应用。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．知道三角形的三边关系，会判断三条线段能否组成一个三角形，并能解决实际问题． 2．了解三角形的稳定性及其在生产、生活中的广泛应用．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：1.由不在同一条直线上的三条线段_____________相接所组成的图形，叫做三角形. 2.按照三个内角的大小，可以将三角形分为____________、_____________和______________. 3.按照边是否相等，可以将三角形分为____________________和___________两类；再将等腰三角形分为____________________ ___________和_____________. 答案：1.首尾顺次 2.锐角三角形，直角三角形，钝角三角形 3.三边都不相等的三角形，等腰三角形，底边和腰不相等的等腰三角形，等边三角形 导言：三角形的边是构成三角形的元素，本节我们研究三角形三边之间的关系.学生活动2： 学生积极回答老师提出的问题活动意图说明： 通过回顾三角形的相关概念，为探究三角形三边间的关系作好铺垫。环节三：新知讲解教师活动3： 探究：任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么关系？能证明你的结论吗？ 预设：有两条路线可以选择： （1）由点B到点C，即线段BC （2）由点B经点A再到点C，即线段BA＋AC 在从点B到点C的线路中，由点B先到点A再到点C的线路，比由点B直接到点C的线路长，即BA+AC>BC，这利用了在小学我们学过的“三角形两边的和大于第三边”的结论. 追问：能证明你的结论吗？ 证明：对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点（例如B，C）看成定点，由“两点之间，线段最短”，可得 AB+AC>BC. ① 同理有 AC+BC>AB， ② AB+BC>AC. ③ 这样，我们就证明了，三角形两边的和大于第三边。 进一步推导： 由不等式②③，移项可得 BC>AB-AC. BC>AC-AB. 这就是说，三角形两边的差小于第三边. 归纳：三角形三边间的关系 三角形两边的和大于第三边， 三角形两边的差小于第三边. 思考：上面的结论表明了三角形三边之间的关系. 反过来，对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形？ 归纳：一般地，如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形；如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形. 例1：下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么 （1）3，4，8；（2）5，6，11；（3）5，6，10． 解：（1）不能．因为3＋4＜8， 不符合三角形两边的和大于第三边. （2）不能．因为5＋6＝11， 不符合三角形两边的和大于第三边. （3）能． 因为5＋6＞10，10＋6＞5，10＋5＞6， 符合三角形两边的和大于第三边. 例2：用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗？为什么？ 解：（1）设底边长为x cm，则腰长为2x cm． x ＋2x＋2x ＝18． 解得 x ＝3.6. 所以，三边长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm． （2）因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论. ①如果4 cm长的边为底边，设腰长为x cm，则 4＋2x＝18． 解得 x＝7. ②如果4 cm长的边为腰，设底边长为y cm，则 2×4＋y＝18. 解得 y ＝10. 因为4＋4＜10，不符合“三角形两边的和大于第三边”，所以不能围成腰长为4 的等腰三角形． 由以上讨论可知，可以围成底边长为4 cm的等腰三角形． 归纳：解决等腰三角形问题的关键 一分清：分清已知等腰三角形的两边是三角形的腰还是底； 二分类：当题目中没有明确告诉已知边是腰还是底时，要分类讨论； 三验证：解题时一定要检验求得的边长是否满足三角形的三边关系． 讲解：在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工程建筑中经常采用三角形的结构，如图中的屋顶钢架结构等，其中的道理是什么？ 探究：如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 预设：可以发现，三角形木架的形状不会改变，这就是说，三角形是具有稳定性的图形。 追问：三角形的稳定性有着广泛的应用，下图表示其中一些例子。你能再举些例子吗？ 学生活动3： 学生认真思考，然后小组合作探究，并班内交流，然后认真听老师的点评和讲解。活动意图说明： 通过实例，引发学生对三角形三边间的关系进行猜想并论证，进而得出三角形三边之间的关系，并通过例题加强学生对这一定理的应用，同时通过三角形稳定性的探究，让学生掌握三角形具有稳定性这一性质及其及在生活中的广泛应用。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：13.2.1 三角形的边一、三角形三边间的关系 二、三角形具有稳定性教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．2，3，5 B．3，4，8 C．4，5，6 D．5，5，11 答案：C 2．如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得米，米，那么A，B间的距离不可能是（ ） A．40米 B．32米 C．13米 D．25米 答案：A 3．如图是太原北中环桥的斜拉索，能确保桥面的稳定性和安全性．那么其中运用的数学原理是 ． 答案：三角形具有稳定性 选做题： 4．已知的三边长分别为1，4，a，化简：． 解：因为的三边长分别为1，4，a． 所以． 解得． ∴，，， ∴ ． 【综合拓展类练习】 5．用一根长度为的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果所围等腰三角形的腰长是底边长的2倍，则此时的底边长度是多少？ （2）所围成的等腰三角形的腰长不可能等于，请简单说明原因. （3）若所围成的等腰三角形的腰长为，请求出的取值范围. 解：（1）设底边长度为， ∵腰长是底边的2倍， ∴腰长为， ∴， 解得，， ∴此时的底边长度是. （2）原因：假设可以围成腰长为4的等腰三角形，则该三角形的三边长分别为：，，， ∵， ∴无法构成三角形，故所围成的等腰三角形的腰长不可能等于. （3）∵等腰三角形的腰长为， ∴等腰三角形的底边长为，由，得， ∴的取值范围为：.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A．4，4，5 B．1，3，4 C．5，6，12 D．1，6，8 答案：A 2．如图所示，小华测得一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，则该圆规不可能画出圆的半径为（ ） A． B． C． D． 答案：A 3．安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（ ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 答案：C 选做题： 4．三角形的三边长分别为，求x的取值范围． 解：三角形的三边长分别为，且， ， 解得：． 【综合拓展类作业】 5．已知三角形的两边，，第三边是． (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边的长是偶数，则的值为___________． 解：（1）根据三角形三边关系可得； （2）根据三角形三边关系可得， 因为第三边c的长为偶数， 所以c取6或8； 故答案为：6或8
教学反思 教学中通过“木条扭动实验”和屋顶钢架、起重机等实例，让学生理解三角形稳定性，知识接受度高。但部分学生应用三边关系时忽略“任意两边”，如判断3、4、8能否组成三角形时未全面验证，解决等腰三角形边长问题分类不严谨。后续需加强对比练习和变式训练，增加动手拼摆活动，引导学生挖掘更多生活中三角形稳定性的实例。
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第十三章 三角形
13.2.1 三角形的边
1．知道三角形的三边关系，会判断三条线段能否组成一个三角形，并能解决实际问题．
2．了解三角形的稳定性及其在生产、生活中的广泛应用．
1.由不在同一条直线上的三条线段_____________相接所组成的图形，叫做三角形.
2.按照三个内角的大小，可以将三角形分为____________、_____________和______________.
3.按照边是否相等，可以将三角形分为____________________和___________两类；再将等腰三角形分为____________________
___________和_____________.
首尾顺次
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三边都不相等的三角形
等腰三角形
底边和腰不相等的
等腰三角形
等边三角形
三角形的边是构成三角形的元素，本节我们研究三角形三边之间的关系.
探究：任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么关系？能证明你的结论吗？
有两条路线可以选择：
（1）由点B到点C，即线段BC
（2）由点B经点A再到点C，即线段BA＋AC
探究：任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么关系？能证明你的结论吗？
在从点B到点C的线路中，由点B先到点A再到点C的线路，比由点B直接到点C的线路长，即BA+AC>BC，这利用了在小学我们学过的“三角形两边的和大于第三边”的结论.
能证明你的结论吗？
探究：任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么关系？能证明你的结论吗？
对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点（例如B，C）看成定点，由“两点之间，线段最短”，可得 AB+AC>BC. ①
同理有 AC+BC>AB， ②
AB+BC>AC. ③
这样，我们就证明了，三角形两边的和大于第三边。
探究：任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么关系？能证明你的结论吗？
由不等式②③，移项可得
BC>AB-AC.
BC>AC-AB.
这就是说，三角形两边的差小于第三边.
AB+AC>BC ①
AC+BC>AB ②
AB+BC>AC ③
三角形三边间的关系
三角形两边的和大于第三边，
三角形两边的差小于第三边.
思考：上面的结论表明了三角形三边之间的关系. 反过来，对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形？
一般地，如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形；如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形.
例1：下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么
（1）3，4，8；（2）5，6，11；（3）5，6，10．
解：（1）不能．因为3＋4＜8，
不符合三角形两边的和大于第三边.
（2）不能．因为5＋6＝11，
不符合三角形两边的和大于第三边.
（3）能．
因为5＋6＞10，10＋6＞5，10＋5＞6，
符合三角形两边的和大于第三边.
例2：用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗？为什么？
解：（1）设底边长为x cm，则腰长为2x cm．
x ＋2x＋2x ＝18．
解得 x ＝3.6.
所以，三边长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm．
（2）因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.
①如果4 cm长的边为底边，设腰长为x cm，则
4＋2x＝18． 解得 x＝7.
②如果4 cm长的边为腰，设底边长为y cm，则
2×4＋y＝18. 解得 y ＝10.
因为4＋4＜10，不符合“三角形两边的和大于第三边”，所以不能围成腰长为4 的等腰三角形．
由以上讨论可知，可以围成底边长为4 cm的等腰三角形．
例2：用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗？为什么？
　　解决等腰三角形问题的关键
一分清：分清已知等腰三角形的两边是三角形的腰还是底；
二分类：当题目中没有明确告诉已知边是腰还是底时，要分类讨论；
三验证：解题时一定要检验求得的边长是否满足三角形的三边关系．
在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工程建筑中经常采用三角形的结构，如图中的屋顶钢架结构等，其中的道理是什么？
探究：如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
可以发现，三角形木架的形状不会改变，这就是说，三角形是具有稳定性的图形。
三角形的稳定性有着广泛的应用，下图表示其中一些例子。你能再举些例子吗？
【知识技能类练习】必做题：
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．3，4，8
C．4，5，6 D．5，5，11
C
【知识技能类练习】必做题：
2．如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得米，米，那么A，B间的距离不可能是（ ）
A．40米 B．32米
C．13米 D．25米
A
【知识技能类练习】必做题：
3．如图是太原北中环桥的斜拉索，能确保桥面的稳定性和安全性．那么其中运用的数学原理是 ．
三角形具有稳定性
【知识技能类练习】选做题：
4．已知的三边长分别为1，4，a，化简：
．
解：因为的三边长分别为1，4，a．
所以．
解得．
∴，，，
∴
．
【综合拓展类练习】
5．用一根长度为的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果所围等腰三角形的腰长是底边长的2倍，则此时的底边长度是多少？
（2）所围成的等腰三角形的腰长不可能等于，请简单说明原因.
（3）若所围成的等腰三角形的腰长为，请求出的取值范围.
解：（1）设底边长度为，
∵腰长是底边的2倍，
∴腰长为，
∴，
解得，，
∴此时的底边长度是.
【综合拓展类练习】
（2）原因：假设可以围成腰长为4的等腰三角形，则该三角形的三边长分别为：，，，
∵，
∴无法构成三角形，故所围成的等腰三角形的腰长不可能等于.
（3）∵等腰三角形的腰长为，
∴等腰三角形的底边长为，
由，得，
∴的取值范围为：.
三角形
三角形具有稳定性
三边关系
两边的和大于第三边
两边的差小于第三边
【知识技能类作业】必做题：
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．4，4，5 B．1，3，4
C．5，6，12 D．1，6，8
A
【知识技能类作业】必做题：
2．如图所示，小华测得一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，则该圆规不可能画出圆的半径为（ ）
A． B．
C． D．
A
【知识技能类作业】必做题：
3．安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性
D．垂线段最短
C
【知识技能类作业】选做题：
4．三角形的三边长分别为，求x的取值范围．
解：三角形的三边长分别为，
且，
，
解得：．
【综合拓展类作业】
5．已知三角形的两边，，第三边是．
(1)求第三边的取值范围；
(2)若第三边的长是偶数，则的值为___________．
解：（1）根据三角形三边关系可得；
（2）根据三角形三边关系可得，
因为第三边c的长为偶数，
所以c取6或8
6或8中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 13.2.1 三角形的边 单元 第十三章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．知道三角形的三边关系，会判断三条线段能否组成一个三角形，并能解决实际问题． 2．了解三角形的稳定性及其在生产、生活中的广泛应用．
重点 三角形三边关系定理的理解与应用。
难点 三角形三边关系定理的灵活应用。
探究过程
导入新课 【引入思考】 1.由不在同一条直线上的三条线段_____________相接所组成的图形，叫做三角形. 2.按照三个内角的大小，可以将三角形分为____________、_____________和______________. 3.按照边是否相等，可以将三角形分为____________________和___________两类；再将等腰三角形分为____________________ ___________和_____________.
新知探究 本节课来研究： 三角形的边是构成三角形的元素，本节我们研究三角形三边之间的关系。 探究：任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么关系？能证明你的结论吗？ 三角形三边间的关系：三角形两边的和______第三边，三角形两边的差______第三边. 思考：上面的结论表明了三角形三边之间的关系. 反过来，对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形？ 归纳：一般地，如果三条线段中任意两条线段的_____大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形；如果三条线段中有两条线段的和______或_______第三条线段，那么这三条线段不能组成三角形. 例1：下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么 （1）3，4，8；（2）5，6，11；（3）5，6，10． 例2：用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗？为什么？ 注意：解决等腰三角形问题的关键 一分清：分清已知等腰三角形的两边是三角形的腰还是底； 二分类：当题目中没有明确告诉已知边是腰还是底时，要分类讨论； 三验证：解题时一定要检验求得的边长是否满足三角形的三边关系． 阅读：在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工程建筑中经常采用三角形的结构，如图中的屋顶钢架结构等，其中的道理是什么？ 探究：如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 问题：三角形的稳定性有着广泛的应用，下图表示其中一些例子。你能再举些例子吗？
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．2，3，5 B．3，4，8 C．4，5，6 D．5，5，11 2．如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得米，米，那么A，B间的距离不可能是（ ） A．40米 B．32米 C．13米 D．25米 3．如图是太原北中环桥的斜拉索，能确保桥面的稳定性和安全性．那么其中运用的数学原理是 ． 选做题： 4．已知的三边长分别为1，4，a，化简：． 【综合拓展类练习】 5．用一根长度为的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果所围等腰三角形的腰长是底边长的2倍，则此时的底边长度是多少？ （2）所围成的等腰三角形的腰长不可能等于，请简单说明原因. （3）若所围成的等腰三角形的腰长为，请求出的取值范围.
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A．4，4，5 B．1，3，4 C．5，6，12 D．1，6，8 2．如图所示，小华测得一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，则该圆规不可能画出圆的半径为（ ） A． B． C． D． 3．安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（ ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 选做题： 4．三角形的三边长分别为，求x的取值范围． 【综合拓展类作业】 5．已知三角形的两边，，第三边是． (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边的长是偶数，则的值为___________．
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