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2024-2025学年第二学期七年级数学期末模拟卷（20）
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．杨辉三角 B．割圆术示意图 C．赵爽弦图 D．洛书
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，下列不等式中，一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
5．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是（ ）
A． B． C． D．
7．通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图1）．在图2中，若反射光线为n，则最符合要求的入射光线是（ ）
A． B． C． D．
8．《九章算术·方程》有一道题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问：甲、乙各持钱几何？设甲持钱两，乙持钱两，可列方程组为（ ）（注释：乙半：乙的一半钱，甲太半：甲的三分之二钱）
A． B． C． D．
9．小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字0~8填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为A、B、C，且．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为x、y、x+y，则xy的值为（ ）
A．0 B．6 C．7 D．8
10．已知三个实数a，b，c满足，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．命题“如果，那么”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
12．计算： ．
13．已知，请你用含的代数式表示 ．
14．“桃之夭夭，灼灼其华”．今年汾河两岸的桃花竞相开放，吸引众多市民和游客前来赏花踏春．桃花花粉的直径约为0.00003米，则数据0.00003用科学记数法表示为 ．
15．若，，则的值为 ．
16．如图，把沿着直线向右平移至处，连接，若 ，则点 到的距离是
17．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图可以得到，基于此，若，，则的值为 ．
18．已知关于x的不等式组有4个整数解，则a的取值范围是 ．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（12分）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．（6分）（1）解方程组：；
（2）解不等式组：．
21．（6分）如图．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点．
(1)将绕点A逆时针旋转得到；
(2)作关于点O成中心对称的；
(3)四边形的面积为______．
22．（6分）如图．已知，用直尺和圆规作图：（保留作图痕迹，不写作法）
①在边上作点，使得；
②在边上作点，连接，使得平分的面积．
23．（8分）【概念学习】一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式．
例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，因为，所以是对称式．
又如：交换代数式中字母的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式．
【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题：
若关于的代数式为对称式（为常数）．
(1)求的值；
(2)已知，若，求对称式的值．
24．（8分）蜀绣是我国民间传统手工艺，作为与苏绣、湘绣、粤绣齐名的中国四大名绣之一，享誉海内外．某国际文化交流机构计划采购A，B两种大运会主题的蜀绣作品作为文化礼品．已知购买1件A种蜀绣作品与2件B种蜀绣作品共需700元，购买2件A种蜀绣作品与3件B种蜀绣作品共需1200元．
(1)求A，B两种蜀绣作品的单价分别为多少元？
(2)该机构计划采购A，B两种蜀绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能采购A种蜀绣作品多少件？
25．（10分）（学习情境·动手操作）综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图，其中点在边上，、分别在边、上，分别以、为折痕进行折叠并压平，点、的对应点分别是点和点．
甲同学的操作如图，其中；
乙同学的操作如图，落在所在直线上；
丙同学的操作如图，落在上，落在上．
【阅读理解】
(1)求出图中的度数；
(2)图3中______；
(3)求出图中的度数；
(4)若折叠后，直接写出的度数（用含的代数式表示）．
26．（10分）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“跟随方程”．
(1)在方程①，②，③中，不等式组的“跟随方程”是______________；（填序号）
(2)若不等式组的一个“跟随方程”的解是整数，求这个“跟随方程”中的值；
(3)若在三个方程①，②，③中，只有两个是关于的不等式组的“跟随方程”，直接写出的取值范围．
答案与解析卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．杨辉三角 B．割圆术示意图 C．赵爽弦图 D．洛书
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可．
【详解】解：A中、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B中、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C中、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D中、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂乘除法；解题的关键是熟练掌握合并同类项、同底数幂乘除法，从而完成求解．根据合并同类项、同底数幂乘除法，对各个选项分别计算，即可得到答案．
【详解】解：和不是同类项，不可直接相加减，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确；
故选：D．
3．已知，下列不等式中，一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据性质即可得出答案．本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．
【详解】A．∵，∴，故选项错误，不符合题意；
B．∵，∴的大小关系不明确，故选项错误，不符合题意；
C．∵，∴，故选项错误，不符合题意；
D．∵，∴，故选项正确，符合题意．
故选D．
4．下列能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平方差公式：，其特点是：①两个二项式相乘，②有一项相同，另一项互为相反数，③a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式．根据公式逐项分析即可．
【详解】解：A．无相同的项，故不能用平方差公式计算；
B．故能用平方差公式计算；
C．无相反的项，故不能用平方差公式计算；
D．无相同的项，故不能用平方差公式计算；
故选B．
5．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先解出各不等式的解集，求出公共部分得到不等式组的解集，再在数轴上表示解集即可．
【详解】解：
由①得，，
由②得，，
不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示为：
故选：D．
6．能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了乘方的计算，实数的大小比较，假命题举反例，根据a的值计算，再比较即可．
【详解】解：当时，，，∴，不能说明命题“对于任何实数a，”是假命题，故不符合题意；
当时，，，∴，能够说明命题“对于任何实数a，”是假命题，故符合题意；
当时，，，∴，不能说明命题“对于任何实数a，”是假命题，故不符合题意；
当时，，，∴，不能说明命题“对于任何实数a，”是假命题，故不符合题意；
故选：B．
7．通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图1）．在图2中，若反射光线为n，则最符合要求的入射光线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查轴对称的性质，垂线的画法，
根据直线的性质画出被遮住的部分，再根据入射角等于反射角作出判断即可．
【详解】解：根据直线的性质补全图2并作出法线，如下图所示：
根据图形可以看出入射光线是，
故选：C．
8．《九章算术·方程》有一道题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问：甲、乙各持钱几何？设甲持钱两，乙持钱两，可列方程组为（ ）（注释：乙半：乙的一半钱，甲太半：甲的三分之二钱）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．设甲持钱两，乙持钱两，根据题意列方程组即可．
【详解】解：设甲持钱两，乙持钱两，
由题意得：，
故选：A．
9．小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字0~8填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为A、B、C，且．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为x、y、x+y，则xy的值为（ ）
A．0 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】本题考查有理数的乘方和加法运算，整式的运算，乘法公式，掌握有理数的乘方和加法运算法则，以及整式运算法则和乘法公式是解题的关键．
根据每个正方形四个顶点上的四个数字的和都等于16，则三个正方形上的数字之和为48，可得，由于，进而得，即可解决问题．
【详解】解：∵每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，
∴三个正方形顶点上的数字之和为：，
则到这个数字之和为：，
∵、、都加了两次，
∴，
∴，
∴，
∵，
而，
∵三个正方形交点处的三个数字的平方都加了两次，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将代入得，
∴，
∴．
故选D．
10．已知三个实数a，b，c满足，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质，等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将整理得到，代入，即可判断，再将代入即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
综上：，
故选：D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．命题“如果，那么”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【分析】本题考查了对逆命题的定义的理解及运用，解题的关键是分清原命题的题设和结论．将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题，再判定真假即可．
【详解】解：“如果，那么”的逆命题是逆命题是如果，那么，该命题是假命题，
故答案为：假．
12．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
13．已知，请你用含的代数式表示 ．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程的解，先把当已知数求得即可求解．
【详解】解：，
∴
∴
故答案为：．
14．“桃之夭夭，灼灼其华”．今年汾河两岸的桃花竞相开放，吸引众多市民和游客前来赏花踏春．桃花花粉的直径约为0.00003米，则数据0.00003用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．根据科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：数据0.00003用科学记数法表示为，
故答案为：．
15．若，，则的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了逆用同底数幂的除法公式，幂的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据即可算出答案．
【详解】解：，，
故答案为：3．
16．如图，把沿着直线向右平移至处，连接，若 ，则点 到的距离是
【答案】
【分析】本题考查三角形的面积，根据求出，由三角形的面积公式可求出答案．
【详解】解：连接，设点到的距离是h，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
17．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图可以得到，基于此，若，，则的值为 ．
【答案】13
【分析】本题考查利用完全平方公式变形计算，直接利用完全平方公式变形计算即可．熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴；
故答案为：13．
18．已知关于x的不等式组有4个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解：已知解集（整数解）求字母的取值．解题思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解不等式即可得到答案．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∵不等式组有4个整数解，
∴不等式组的解集为，且4个整数解为：2，1，0，，
∴，
∴．
故答案为：．
解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（12分）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)3
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了整式的混合运算，负整数指数幂和零指数幂的运算，掌握运算法则，正确计算是解题的关键．
（1）分别计算负整数指数幂、零指数幂以及有理数的乘方，再进行加减计算；
（2）先进行积的乘方运算，再进行单项式乘以单项式，单项式除以单项式计算；
（3）先计算多项式乘以多项式，再进行整式的加减计算；
（4）利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：
；………………………………3分
（2）解：
；………………………………6分
（3）解：
；………………………………9分
（4）解：
．………………………………12分
20．（6分）（1）解方程组：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解（1）的关键，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解（2）的关键．
（1）得出，再把代入①求出即可；
（2）先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1），
，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
所以原方程组的解是；………………………………3分
（2），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是．………………………………6分
21．（6分）如图．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点．
(1)将绕点A逆时针旋转得到；
(2)作关于点O成中心对称的；
(3)四边形的面积为______．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)12
【分析】本题考查了作图旋转变换，中心对称变换，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点、即可；
（2）利用网格特点，分别延长、、，使、、，从而得到、、，然后顺次连接即可；
（3）利用平行四边形的面积公式计算四边形的面积．
【详解】（1）解：如图，为所作；………………………………2分
（2）解：如图，为所作；
………………………………4分
（3）解：四边形的面积．………………………………6分
22．（6分）如图．已知，用直尺和圆规作图：（保留作图痕迹，不写作法）
①在边上作点，使得；
②在边上作点，连接，使得平分的面积．
【答案】见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
①作的平分线交于点E，点E即为所求；
②作线段的垂直平分线交于点F，点F即为所求．
【详解】解：如图：
①点E即为所求；………………………………3分
②点F即为所求．………………………………6分
23．（8分）【概念学习】一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式．
例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，因为，所以是对称式．
又如：交换代数式中字母的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式．
【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题：
若关于的代数式为对称式（为常数）．
(1)求的值；
(2)已知，若，求对称式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的化简求值，理解新定义的含义是解题的关键．
（1）先求出，交换a、b的位置得出，根据对称式的定义得出，得出，求解即可；
（2）就，，得出，，把代入即可求解．
【详解】（1）解：，
交换a、b的位置，
∵代数式为对称式，
∴，
∴，
∴，
∴
解得：；………………………………4分
（2）解：∵，，
∴，
即，
∴，，
把代入得：
．………………………………8分
24．（8分）蜀绣是我国民间传统手工艺，作为与苏绣、湘绣、粤绣齐名的中国四大名绣之一，享誉海内外．某国际文化交流机构计划采购A，B两种大运会主题的蜀绣作品作为文化礼品．已知购买1件A种蜀绣作品与2件B种蜀绣作品共需700元，购买2件A种蜀绣作品与3件B种蜀绣作品共需1200元．
(1)求A，B两种蜀绣作品的单价分别为多少元？
(2)该机构计划采购A，B两种蜀绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能采购A种蜀绣作品多少件？
【答案】(1)A种蜀绣作品的单价为300元，B种蜀绣作品的单价为200元；
(2)最多能购买100件A种蜀绣作品．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设A种蜀绣作品的单价为x元，B种蜀绣作品的单价为y元，根据“购买1件A种蜀绣作品与2件B种蜀绣作品共需700元，购买2件A种蜀绣作品与3件B种蜀绣作品共需1200元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A种蜀绣作品m件，则购买B种蜀绣作品件，利用总价=单价×数量，结合总价不超过50000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设A种蜀绣作品的单价为x元，B种蜀绣作品的单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种蜀绣作品的单价为300元，B种蜀绣作品的单价为200元；
………………………………4分
（2）解：设购买A种蜀绣作品m件，则购买B种蜀绣作品件，
根据题意得：，
解得：，
∴m的最大值为100．
答：最多能购买100件A种蜀绣作品．………………………………8分
25．（10分）（学习情境·动手操作）综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图，其中点在边上，、分别在边、上，分别以、为折痕进行折叠并压平，点、的对应点分别是点和点．
甲同学的操作如图，其中；
乙同学的操作如图，落在所在直线上；
丙同学的操作如图，落在上，落在上．
【阅读理解】
(1)求出图中的度数；
(2)图3中______；
(3)求出图中的度数；
(4)若折叠后，直接写出的度数（用含的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)的度数为或
【分析】本题考查了折叠的性质，角度的和差，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键．
（1）根据折叠的性质可得，即可求解．
（2）根据折叠的性质得，，从而可得，即可求解．
（3）根据折叠的性质可得，再由 ，即可求解．
（4）分两种情况：当三角形与三角形不重叠时，当三角形与三角形重叠时，先表示出的度数，再根据和进行求解即可．
【详解】（1）解：因为，
所以，
由折叠的性质得：，
所以，
所以；……………………………2分
（2）解：由折叠的性质得：，
所以，
因为，
所以，即，
所以；………………………………4分
（3）解：由折叠的性质得：，
所以，
因为，
所以，即；………………………………7分
（4）解：的度数为或．分两种情况进行讨论：
当三角形与三角形不重叠时，如图1所示：
由折叠的性质得：，
所以，
因为，即，，
所以；
当三角形与三角形重叠时，如图2所示：
由折叠的性质得：，，
所以，
又因为，
所以，即，
所以．
综上所述：的度数为或．………………………………10分
26．（10分）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“跟随方程”．
(1)在方程①，②，③中，不等式组的“跟随方程”是______________；（填序号）
(2)若不等式组的一个“跟随方程”的解是整数，求这个“跟随方程”中的值；
(3)若在三个方程①，②，③中，只有两个是关于的不等式组的“跟随方程”，直接写出的取值范围．
【答案】(1)②③
(2)或
(3)或
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，解一元一次方程，正确理解“跟随方程”的定义是解题的关键．
（1）求出不等式的解集，再求出三个方程的解，即可根据“跟随方程”的定义得到答案；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而确定不等式组的整数解，再把整数解代入方程中求出a的值即可；
（3）先求出三个方程的解，再求出不等式组中两个不等式的解集，再分别求出三个方程是不等式组的“跟随方程”时m的取值范围，最后根据只有两个方程是不等式组的“跟随方程”求解即可．
【详解】（1）解：解不等式得：
解不等式得：，
∴不等式组的解集为；
解方程得：，
解方程得：，
解方程得：，
∴方程和方程是不等式组的“跟随方程”，
故答案为：②③；………………………………3分
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为2，3，
∵方程是不等式组的“跟随方程”，且其解为整数，
∴方程的解为或，
当方程的解为时，则，解得；
当方程的解为时，则，解得；
综上所述，或；………………………………6分
（3）解：解方程得：，
解方程得：，
解方程得：，
解不等式得：，
解不等式得：，
当方程①满足是原不等式组的“跟随方程”时，则，解得；
当方程②满足是原不等式组的“跟随方程”时，则，解得；
当方程③满足是原不等式组的“跟随方程”时，则，解得；
∴当时，方程①③是不等式组的“跟随方程”，②不是；
当时，方程②③是不等式组的“跟随方程”，①不是；
综上所述，或．………………………………10分
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