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2024-2025学年第二学期七年级数学期末模拟卷（19）
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．戏剧文创产业是以戏剧为主题的创意文化产业．下列与戏剧有关的文创图案中，成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则下列不等式不成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．若是完全平方式，则（ ）
A．6 B． C．12 D．
5．有下列命题：①同位角相等，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果，那么；④如果两个有理数相等，那么它们的平方相等．它们的逆命题成立的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．观察图形，与相等的是（ ）
A． B． C． D．
7．《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，其中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．若，是正整数，且满足，则用含的关系式表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
10．如图，，将长方形纸片沿直线折叠成图， 再沿折痕为折叠成图，则图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．中科院发现“绿色”光刻胶，精度可达0.00000000014米．数字0.00000000014用科学记数法可表示为 ．
12．计算： ．
13．如图，将沿边向右平移3个单位得到，其中点A，B，C的对应点分别是点，，，如果，那么长为 ．
14．已知，，则 ．
15．已知是关于，的二元一次方程，则 ．
16．将绕点A按逆时针方向旋转得到．若，则 ．
17．若关于x的不等式只有3个正整数解，则满足条件的正整数m的值为 ．
18．如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
(1)；
(2)；
20．（8分）解方程组或不等式组：
(1)
(2)
21．（8分）用无刻度的直尺作图：如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在小正方形的格点上．
(1)将先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，画出；
(2)将绕点顺时针旋转90度得到，画出；
(3)第（2）问中的线段也可由第（1）问中的线段旋转得到，请作出其旋转中心．
22．（8分）有一块长为米，宽为米的长方形空地，规划部门计划在这块地的中间留出一块边长为米的正方形地来修建喷泉，剩余部分进行绿化．求绿化部分的面积是多少平方米？
23．（8分）某公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米．
(1)如图①，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），求草地的面积．
(2)如图②，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，所走的路线（图中虚线）长．
24．（8分）阅读下面材料，并完成相应的任务．
“速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式：
；
；
；
；
…
我们发现，两位数与相乘，当时，有如下速算规律：先将十位数字与相乘，得到的结果作为积的前两位数字；再将个位数字和相乘，得到的结果作为积的后两位数字．如果结果是一位数，则在其前面补0．
(1)请根据上述规律计算： ； ．
(2)我们可以用所学的知识证明这个结论，这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理．请证明上述阅读材料中的结论．
25．（8分）中秋佳节，亲戚好友互相走动送礼物，已知购买1盒月饼和2盒蛋黄酥共需200元；购买2盒月饼和3盒蛋黄酥共需360元．
(1)求一盒月饼和一盒蛋黄酥的价格；
(2)小红计划购买月饼和蛋黄酥共15盒，总费用不超过1600元，问最多可以购买月饼多少盒？
26．（10分）把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：
(1)如图1，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转 °，使得与重合；
(2)如图2，如果把图1所示的 以O为中心顺时针旋转得到，当 为多少度时，射线平分；
(3)如图3，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边 、也在同一条直线上，如果把 以O为中心顺时针旋转一周，当旋转多少度时， 两条斜边？
答案与解析
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．戏剧文创产业是以戏剧为主题的创意文化产业．下列与戏剧有关的文创图案中，成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A.是轴对称图形，符合题意；
B.不是轴对称图形，不符合题意；
C.不是轴对称图形，不符合题意；
D.不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方，计算即可；
【详解】解：A.,故原计算错误，不符合题意；
B.,故原计算错误，不符合题意；
C.,故原计算正确，符合题意；
D.,故原计算错误，不符合题意；
故选：C ．
3．若，则下列不等式不成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐一判断即可，掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：A、∵，∴，故选项不符合题意；
B、∵，∴，故选项不符合题意；
C、∵，∴，∴，故选项不符合题意；
D、∵，∴，故选项符合题意；
故选：D．
4．若是完全平方式，则（ ）
A．6 B． C．12 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
∴，
故选：B．
5．有下列命题：①同位角相等，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果，那么；④如果两个有理数相等，那么它们的平方相等．它们的逆命题成立的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了判断一个命题逆命题的真假，先把原命题的结论和条件互换写出对应命题的逆命题，再判断真假即可．
【详解】解：①原命题的逆命题为两直线平行，同位角相等，是真命题；
②原命题的逆命题为如果两个角相等，那么它们都是直角，是假命题；
③原命题的逆命题为如果，，那么，是真命题；
④原命题的逆命题为如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等，如，则，故命题的逆命题是假命题，
故选：B．
6．观察图形，与相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，根据图形面积关系可得，从而可得答案．
【详解】解：由长方形的面积可得：
图中长方形的面积为：或；
∴，
故选：C
7．《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，其中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程组解决实际应用问题，根据剩余列式即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，，
故选：A．
8．若，是正整数，且满足，则用含的关系式表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了同底数幂的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
化简得到，即可解答．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选：A．
9．关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】本题考查了由一元一次不等式组解集的情况求参数的取值范围，先求出不等式组的解集，进而根据解集的情况解答即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组解集中每一个值均不在的范围中，
∴或，
解得或，
故选：．
10．如图，，将长方形纸片沿直线折叠成图， 再沿折痕为折叠成图，则图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解答本题的关键．根据平行线的性质求出图中的，根据折叠的性质求出图中的，最后利用折叠的性质即可求出图中的．
【详解】解：长方形对边，
，
图中，，
，
，
长方形对边，
，
图中，，
由翻折的性质得：图中，
图中，，
图中，，
故选：B．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．中科院发现“绿色”光刻胶，精度可达0.00000000014米．数字0.00000000014用科学记数法可表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：．
故答案为：．
12．计算： ．
【答案】/
【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
13．如图，将沿边向右平移3个单位得到，其中点A，B，C的对应点分别是点，，，如果，那么长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质即可求解．
【详解】解：由平移的性质得，，
．
故答案为：2．
14．已知，，则 ．
【答案】200
【分析】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方．根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则把所求代数式进行化简，再把，代入进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：200．
15．已知是关于，的二元一次方程，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，得且，求得m的值．
【详解】解：∵是关于，的二元一次方程，
∴且，
∴，，
解得，
故答案为：2．
16．将绕点A按逆时针方向旋转得到．若，则 ．
【答案】70
【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
由旋转得，再根据可得答案．
【详解】解：由旋转得，
，
∵，
∴．
故答案为：70．
17．若关于x的不等式只有3个正整数解，则满足条件的正整数m的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查一元一次不等式的含参问题，掌握求一元一次不等式的方法，取值方法是解题的关键．
首先解不等式，然后根据不等式只有3个正整数解即可得到一个关于m的不等式，求得m的范围即可求解．
【详解】解：
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ，
∵不等式只有3个正整数解，
∴，
∴满足条件的正整数m的值为4．
故答案为：4．
18．如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为．已知，，且，则 ．
【答案】
【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可．
【详解】解：∵正方形，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即：，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
(1)；
(2)；
【答案】(1)13
(2)
【分析】本题考查了涉及零指数幂和负整数指数幂的运算，同底数幂的乘除法，幂的、积的乘方运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）分别计算绝对值，零指数幂和负整数指数幂，以及有理数的乘方，再进行加减计算；
（2）分别计算同底数幂的乘法，幂的、积的乘方和同底数幂的除法，再合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．（8分）解方程组或不等式组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查解二元一次方程以及一元一次不等式组，熟练掌握解方程组和不等式组的基本步骤，是解题的关键．
（1）根据加减消元法，即可求解；
（2）分别求出各个不等式的解，再取两个不等式解的公共部分，即可求解．
【详解】（1）解：
得：，
解得：，
把代入②，得，
所以原方程组的解为．
（2）解：
解不等式①，得．
解不等式②，得．
所以原不等式组的解集为．
21．（8分）用无刻度的直尺作图：如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在小正方形的格点上．
(1)将先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，画出；
(2)将绕点顺时针旋转90度得到，画出；
(3)第（2）问中的线段也可由第（1）问中的线段旋转得到，请作出其旋转中心．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了作平移图，旋转图等知识，掌握平移以及旋转的定义和性质画出图形即可，
（1）根据平移的性质作图即可；
（2）利用网格根据旋转的性质作图即可；
（3）连接，，两线相交点即其旋转中心O．
【详解】（1）解：如下图所示：
（2）解：如下图所示：
（3）解：旋转中心如下图所示：
22．（8分）有一块长为米，宽为米的长方形空地，规划部门计划在这块地的中间留出一块边长为米的正方形地来修建喷泉，剩余部分进行绿化．求绿化部分的面积是多少平方米？
【答案】绿化部分的面积是平方米．
【分析】此题考查了多项式乘多项式的应用，完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则．
绿化面积长方形面积正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果；
【详解】解：根据题意得，
绿化部分的面积
．
∴绿化部分的面积是平方米．
23．（8分）某公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米．
(1)如图①，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），求草地的面积．
(2)如图②，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，所走的路线（图中虚线）长．
【答案】(1)平方米
(2)108米
【分析】本题结合图形的平移考查有关面积的问题，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变．
（1）结合图形，利用平移的性质求解；
（2）结合图形，利用平移的性质求解．
【详解】（1）解：小路往边平移，直到小路与草地的边重合，
则草地的面积为：（平方米）；
（2）解：将小路往边平移，直到小路与草地的边重合，
则所走的路线（图中虚线）长为：（米）．
故答案为：108米．
24．（8分）阅读下面材料，并完成相应的任务．
“速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式：
；
；
；
；
…
我们发现，两位数与相乘，当时，有如下速算规律：先将十位数字与相乘，得到的结果作为积的前两位数字；再将个位数字和相乘，得到的结果作为积的后两位数字．如果结果是一位数，则在其前面补0．
(1)请根据上述规律计算： ； ．
(2)我们可以用所学的知识证明这个结论，这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理．请证明上述阅读材料中的结论．
【答案】(1)5621，7224
(2)见解析
【分析】此题考查数字的变化规律，从简单情形考虑，找出一般规律，利用规律解决问题．
（1）运用题目中的规律进行计算，即可求出答案；
（2）根据，，利用多项式乘多项式的运算法则即可证明．
【详解】（1）解：由上述规律可知，，
，
故答案为：5621，7224；
（2）证明：∵，
．
25．（8分）中秋佳节，亲戚好友互相走动送礼物，已知购买1盒月饼和2盒蛋黄酥共需200元；购买2盒月饼和3盒蛋黄酥共需360元．
(1)求一盒月饼和一盒蛋黄酥的价格；
(2)小红计划购买月饼和蛋黄酥共15盒，总费用不超过1600元，问最多可以购买月饼多少盒？
【答案】(1)一盒月饼和一盒蛋黄酥的价格分别为120元，40元
(2)最多可以购买月饼12盒
【分析】该题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键；
（1）设一盒月饼和一盒蛋黄酥的价格分别为x元，y元，，根据题意可以列出关于x、y的方程，求解即可；
（2）设月饼a盒，则购买蛋黄酥盒，根据总费用不超过1600元列出关于a的不等式，求解可得a的取值范围； 再结合a为整数，确定a的最大整数解，从而得到最多可以购买多少盒月饼．
【详解】（1）解：设一盒月饼和一盒蛋黄酥的价格分别为x元，y元，
根据题意，得，
解得，
答：一盒月饼和一盒蛋黄酥的价格分别为120元，40元；
（2）解：设月饼a盒，则购买蛋黄酥盒，
根据题意，得，
解得，
为正整数，
的最大值为12．
答：最多可以购买月饼12盒．
26．（10分）把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：
(1)如图1，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转 °，使得与重合；
(2)如图2，如果把图1所示的 以O为中心顺时针旋转得到，当 为多少度时，射线平分；
(3)如图3，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边 、也在同一条直线上，如果把 以O为中心顺时针旋转一周，当旋转多少度时， 两条斜边？
【答案】(1)
(2)
(3)旋转的角度为或
【分析】本题考查三角板中角度的计算，旋转的性质，平行线的性质，掌握分类讨论思想是解题的关键．
（1）由图可知，当以O为中心顺时针旋转过，即可得到与重合，利用三角板的性质和角度之间的关系计算即可；
（2）利用旋转的性质，角平分线的性质及角度之间的关系计算即可；
（3）在旋转的过程中找出时，的位置，分情况讨论，再利用角度之间的关系计算即可．
【详解】（1）解：由图可知，当以O为中心顺时针旋转过，即可得到与重合，
由三角板的性质可知：
∵，，
∴，
∴至少旋转，与重合．
故答案为：75
（2）解：∵以O为中心顺时针旋转得到，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
（3）解：当与相交于点E时，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当与相交于点F时，如图：
∵，
∴，
∴，
∴旋转的角度，
综上所述：旋转的角度为或．
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