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江苏省扬州中学 2024-2025 学年度高一下学期 5月自主学习评估
数 学 试 卷
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求的.
1．已知向量，若⊥，则（ ）
A． B． C．4 D．9
2．（ ）
A． B． C． D．
3．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．如图所示，水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图为，其中，，则△ABC为（ ）

A．等腰非等边三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
5．设m，n，l是不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ）
A．200 m B．400 m C． D．
7．三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，，，与交于，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错 的得 0 分.
9．已知三个非零向量，，共面，则（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则存在实数，使
10．的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（ ）
A．若为钝角三角形，则
B．若，则
C．若，，，则有两解
D．，则为等腰三角形或直角三角形
11．如图，正方体中，M，N，Q分别是AD，，的中点，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则平面MPN
B．若，则平面MPN
C．若平面MPQ，则
D．若，则平面MPN截正方体所得的截面是五边形
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12．若，则 .
13．若M是内一点，且满足，则与的面积之比为 ．
14．已知四棱柱中，底面是边长为的菱形且，底面，，点是四棱柱表面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为 .
四、解答题：本题共 5小题，每小题 5分，共 77 分.解答题写出文字说明、证明过程或演算 步骤 .
15．已知向量，，且与的夹角为.
(1)求及；
(2)求在上的投影向量的坐标.
16．已知
(1)求的值；
(2)求角的值.
17．如图，在正三棱柱中，分别为中点．
求证：
(1)平面；
(2)平面．
18．在锐角三角形中，内角的对边分别为，.
(1)求；
(2)求的取值范围.
19．已知函数
(1)若求的值；
(2)试求的取值范围，猜想当时的取值范围不需写出证明过程；
(3)存在使得关于x的不等式对任意的恒成立，求a的取值范围.
江苏省扬州中学 2024-2025 学年高一下学期 5月数学月考试卷答案
1-8 DBCA CCBD 9.ABD 10.BCD 11.ACD
12. 13. 14.4+
15．（1）由与的夹角为，得，即，解得，
则，，，
所以；
（2）由（1）知，，在上的投影向量为，
即在上的投影向量的坐标为.
16．（1）由，，则，故；
（2）由（1）及题设，易知，又，
所以，
由（1）有，，
由，则，
所以，故.
17.（1）连接，交于，连接，由题意易知是的中点，
又分别为中点，则，
由平面，平面，则平面；
（2）由分别为中点，则，
在正三棱柱中且，则，
所以，则，
由为正三角形，为中点，则，
而平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，则，
由且都在平面内，则平面.
18．（1）因为，
所以，
又，所以，
所以，则，
所以，即，
因为，所以.
（2）解法一 由（1）得，
所以，
又因为为锐角三角形，则，即，解得，
所以，则，
故，
由对勾函数的性质可知在上的值域为，
故，
即的取值范围为.
解法二：由题及（1）得
.
又因为为锐角三角形，则，即，解得，
故，所以.
故，
因此的取值范围为.
19.（1）由，得，
又，得，
.
（2），
，
，
所以当时，.
（3）存在，使得关于的不等式对任意的恒成立，
，
恒成立，
令，则，
则在上恒成立，
即，其中，
，得.
所以的取值范围为.

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