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2024-2025学年第二学期七年级数学期末模拟卷（17）
考试范围：七下全册内容 满分：130分
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.年月日，我国神舟二十号载人飞船成功升空．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.华为手机使用的麒麟芯片是由我国自主研发制造的，其中麒麟型号的芯片采用全球顶级纳米纳米毫米工艺制程，集成亿晶体管，更小尺寸蕴藏更大能量．将数据“纳米”换算成毫米并用科学记数法表示为( )
A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米
3.若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为( )
A. B. C. D.
4.某商场促销，小鱼将促销信息告诉了妈妈，小鱼妈妈假设某一商品的定价为元，并列出不等式为，那么小鱼告诉妈妈的信息是( )
A. 买两件等值的商品可减元，再打两折，最后不到元
B. 买两件等值的商品可打两折，再减元，最后不到元
C. 买两件等值的商品可减元，再打八折，最后不到元
D. 买两件等值的商品可打八折，再减元，最后不到元
5.如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
6.如图从边长为的大正方形的四个角中挖去四个边长为的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图由图到图通过计算阴影部分的面积可以得到( )
A. B.
C. D.
7.已知关于、的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组无解，那么所有符合条件的整数的个数为( )
A. B. C. D.
8.如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到平移后点，，的对应点分别是点，，，连接若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则不可能的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.已知，则 ．
10.请写出命题“如果，那么”的逆命题： ．
11.若，则 ．
12.如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，点、、在一条直线上，则的度数为______
13.如图，在直角三角形中，，将三角形沿直线向右平移得到三角形，连接，有以下结论：；；；；；其中正确的结论有 只填序号．
14.若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”例如：三个代数式，，有：当时的解集为，则称，，构成“雅礼不等式”若，，构成“雅礼不等式”，则关于的不等式组的解集为 ．
15.若关于，的二元一次方程组的解是则关于，的方程组的解是 ．
16.一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为，那么称为“异数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以所得的商记为，例如：时，，，则 ；若、为“异数”，其中，、，且，，，为整数规定：，若能被整除，且是一个整数的平方，则的最小值为 ．
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解下列方程组：； 解方程组：．
18.本小题分解不等式组并在数轴上表示解集．
19.本小题分如图，这是一道例题的部分解答过程，其中，是两个关于，的二项式．
请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：
多项式为______，多项式为______，例题的计算结果为______；
计算：．
20.本小题分如图，在每个小正方形边长为的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上，将向左平移格，再向上平移格．
请在图中画出平移后的；
再在图中画出点到直线的垂线段，则点到直线的距离为______；
图中能使与面积相等的格点有______个点异于．
21.本小题分关于的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”，请完成下面问题：
方程组的解与是否具有“邻好关系”，请说明理由；
方程组的解与具有“邻好关系”，求的值．
22.本小题分
一副三角尺分别含，，和按如图所示方式摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度按逆时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止转动，设三角尺转动的时间为．
解答下列问题：
当时，边恰好与量角器______度的刻度线重合；
在三角尺的转动过程中：
用含有的代数式表示：______；______；
当为何值时，边平分？
在三角尺的转动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
23.本小题分与几何证明一样，代数推理也需要有理有据，请完成下题中依据的填写．
已知：有理数，满足．
求证：．
证明：因为，
所以有理数的加法法则，
不等式的基本性质．
所以________________．
因为________，
所以等量代换．
所以________________________．
24.本小题分蜀绣是我国民间传统手工艺，作为与苏绣、湘绣、粤绣齐名的中国四大名绣之一，享誉海内外某国际文化交流机构计划采购，两种大运会主题的蜀绣作品作为文化礼品已知购买件种蜀绣作品与件种蜀绣作品共需元，购买件种蜀绣作品与件种蜀绣作品共需元．
求，两种蜀绣作品的单价分别为多少元？
该机构计划采购，两种蜀绣作品共件，总费用不超过元，那么最多能采购种蜀绣作品多少件？
25.本小题分
【阅读材料】
我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．例如，教材在探究平方差公式与完全平方公式时，就利用了数形结合的方法．
【类比探究】
利用图中面积的等量关系可以得到的数学公式为 请填序号．
；
；
；
．
【解决问题】
利用【类比探究】中得到的结论，解决下列问题：
已知，，则 ；
若，求的值；
26.本小题分
阅读理解：
定义：若一个方程组的解也是一个不等式的解，我们称这个方程组的解是这个不等式的“友好解”例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”．
试判断方程的解 填“是”或“不是”不等式的“友好解”；
若关于，的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围；
当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值．
27.本小题分
以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处．
将直角三角板的一边放在射线上，如图，则的度数为______；
将直角三角板绕点转到如图所示的位置，若恰好平分，求的度数；
如图，将直角三角板绕点转动，始终在的内部，试猜想和之间的数量关系，并说明理由；
将直角三角板绕点转动，始终在的外部，且，请直接写出的度数．
答案与解析
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.年月日，我国神舟二十号载人飞船成功升空．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题关键是熟练掌握如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴．
根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：．
2.华为手机使用的麒麟芯片是由我国自主研发制造的，其中麒麟型号的芯片采用全球顶级纳米纳米毫米工艺制程，集成亿晶体管，更小尺寸蕴藏更大能量．将数据“纳米”换算成毫米并用科学记数法表示为( )
A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米
【答案】D
【解析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的个数所决定．确定与的值是解题的关键．根据科学记数法的定义即可得．
故选：．
3.若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：，
得：，
即，
关于，的二元一次方程组的解满足，
，
解得：，
故选：．
把已知方程组中的两个方程相减得到，再根据关于，的二元一次方程组的解满足，列出关于的方程，解方程即可．
本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义．
4.某商场促销，小鱼将促销信息告诉了妈妈，小鱼妈妈假设某一商品的定价为元，并列出不等式为，那么小鱼告诉妈妈的信息是( )
A. 买两件等值的商品可减元，再打两折，最后不到元
B. 买两件等值的商品可打两折，再减元，最后不到元
C. 买两件等值的商品可减元，再打八折，最后不到元
D. 买两件等值的商品可打八折，再减元，最后不到元
【答案】C
【解析】解：小鱼妈妈假设某一商品的定价为元，并列出不等式为，
由得出两件商品减元，以及由得出买两件打折，
故可以理解为：买两件等值的商品可减元，再打八折，最后不到元．
故选：．
根据，可以理解为买两件等值的商品可减元，再打八折，最后不到元．
此题主要考查了由不等式联系实际问题，根据已知得出最后打折是解题关键．
5.如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是( )
A. 点
B. 点
C. 点
D. 点
【答案】A
【解析】解：分别作线段，，的垂直平分线，相交于点，
则绕点顺时针旋转得到，
旋转中心是点．
故选：．
分别作线段，，的垂直平分线，相交于点，可知旋转中心是点．
本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
6.如图从边长为的大正方形的四个角中挖去四个边长为的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图由图到图通过计算阴影部分的面积可以得到( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论，这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；因为拼成的长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积长宽”代入为：，因为面积相等，进而得出结论．
【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；
拼成的长方形的面积：，
得出，
故选：．
7.已知关于、的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组无解，那么所有符合条件的整数的个数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：解方程组得
关于，的二元一次方程组的解满足，
，解得．
解不等式得，
解不等式得，
又关于的不等式组无解，
，解得，
，
整数，，，，，，，共个．
故选B．
8.如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到平移后点，，的对应点分别是点，，，连接若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则不可能的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键．
根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到角度之间的等量关系，列出方程求解即可．
【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作．
由平移得到，
．
，
．
当时，
设，则．
，
，
，
解得：，
．
当时，
设，则，
，
，
，
解得：，
．
第二种情况：当点在外时，过点作．

由平移得到，
．
，
．
当时，
设，则，
．
，
，
解得：，
．
当时，
由图可知，，故不存在这种情况，
综上所述，或或．
故选：．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.已知，则 ．
【答案】
【解析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，根据计算求解即可．
【详解】解：，
，
故答案为：．
10.请写出命题“如果，那么”的逆命题： ．
【答案】如果，那么
【解析】略
11.若，则 ．
【答案】

【解析】直接利用完全平方公式化简求出答案．
【详解】解：，
，
．
故答案为：．
12.如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，
连接交于点，点、、在一条直线上，则的度数为______
【答案】
【解析】解：绕点逆时针旋转得到，
，，
，，
．
故答案为：．
根据旋转的性质计算即可得出答案．
本题考查了旋转的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
13.如图，在直角三角形中，，将三角形沿直线向右平移得到三角形，连接，有以下结论：；；；；；其中正确的结论有 只填序号．
【答案】
【解析】解：三角形沿直线向右平移得到三角形，
，，，，
故正确；
，
，
，
故正确；
，
，
，
，
，
故正确；
根据已知条件不能得出，，
故不正确．
正确的结论有．
故答案为：．
根据平移的性质可得，，，，结合平行线的性质可得，则由已知条件可得，则，即，可得，进而可得结论．
本题考查作图平移变换、平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平移的性质．
14.若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”例如：三个代数式，，有：当时的解集为，则称，，构成“雅礼不等式”若，，构成“雅礼不等式”，则关于的不等式组的解集为 ．
【答案】或或
【解析】提示：若，即的解集为，则，且，化简，得，代入，得，解得由，得，即，解得；由，得，解得所以此时不等式组的解集为．
若，即的解集为，则，且，化简，得，代入，得，解得由，得，即，解得；由，得，解得所以此时不等式组的解集为．
若，即的解集为，则，且，化简，得，代入，得解得，由，得，即，解得；由，得，解得所以此时不等式组的解集为综上所述，所给不等式组的解集为或或．
15.若关于，的二元一次方程组的解是则关于，的方程组的解是 ．
【答案】
【解析】将方程组整理，得因为关于，的二元一次方程组的解是，所以解得所以关于，的方程组的解是
16.一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为，那么称为“异数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以所得的商记为，例如：时，，，则 ；若、为“异数”，其中，、，且，，，为整数规定：，若能被整除，且是一个整数的平方，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】解：，
．
．
，
．
．
能被整除，
．
，
，或者，．
，
．
．
．
是一个整数的平方，
．
，，
时，或，．
，
当最小，最大时．取最小值，
，，，．
，．
的最小值．
故答案为：，．
，那么按照规定计算即可；分别算出和，根据能被整除，是一个整数的平方，可判断出与的可能的值，进而根据求的最小值可得与的值，代入，即可求得其最小值．
本题考查新定义问题．整式的加减，因式分解的运用，理解新定义的意义是解决本题的关键．
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解下列方程组：
；
解方程组：．
【答案】；
．
【解析】，
，得，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
方程组的解为；
，
整理，得，
，，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
方程组的解是．
利用加减消元法解方程组即可；
先把原方程组变形为，然后再利用加减消元法解方程组即可．
本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
18.本小题分
解不等式组并在数轴上表示解集．
【答案】解：
解不等式得，，
解不等式得，，
解集表示在数轴上如图所示，
不等式组的解集为．

【解析】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握不等式的性质，解集表示在数轴上的方法，不等式组的取值方法是关键．
根据不等式的性质，分别解不等式，并把解集表示在数轴上，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”得到解集即可．
19.本小题分
如图，这是一道例题的部分解答过程，其中，是两个关于，的二项式．
请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：
多项式为______，多项式为______，例题的计算结果为______；
计算：．
【答案】
【解析】解：，，
原式
，
故答案为：；；．
．
根据单项式与多项乘法的逆运算可得和，然后合并同类项可得答案；
直接根据单项式乘多项式计算即可．
本题考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的方法是关键．
20.本小题分
如图，在每个小正方形边长为的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上，将向左平移格，再向上平移格．
请在图中画出平移后的；
再在图中画出点到直线的垂线段，则点到直线的距离为______；
图中能使与面积相等的格点有______个点异于．
【答案】见解答．
画图见解答；．
．
【解析】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
点到直线的距离为．
故答案为：．
如图，点，，，均满足题意，
能使与面积相等的格点有个．
故答案为：．
根据平移的性质作图即可．
根据垂线段的定义画图即可，可知点到直线的距离为．
根据题意确定点的位置，进而可得答案．
本题考查作图平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
21.本小题分
关于的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”，请完成下面问题：
方程组的解与是否具有“邻好关系”，请说明理由；
方程组的解与具有“邻好关系”，求的值．
【答案】(1)解：与具有“邻好关系”，理由如下；
，将①代入②得，，
解得，，将代入①得，，
，
，
与具有“邻好关系”；

(2)解：，得，，
与具有“邻好关系”，
，
解得，，
k的值为2．
【解析】
本题主要考查二元一次方程组的计算，理解“邻好关系”的计算，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
运用代入法解二元一次方程组得到，根据“邻好关系”的定义即可求解；

根据题意，运用得，，再根据“邻好关系”的定义即可求解．
22.本小题分
一副三角尺分别含，，和按如图所示方式摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度按逆时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止转动，设三角尺转动的时间为．
解答下列问题：
当时，边恰好与量角器______度的刻度线重合；
在三角尺的转动过程中：
用含有的代数式表示：______；______；
当为何值时，边平分？
在三角尺的转动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】；
；；
；
存在，．
【解析】解：，
当时，边恰好与量角器度的刻度线重合．
故答案为：．
由题意得，
则，，
故答案为：；；
当边平分时，则，
，
，
当为时，边平分；
当在左侧时，如图，
则，，
，
解得，
当在右侧时，如图，
则，，
，
，
解得舍去，
综上，在三角尺的转动过程中，存在当时，使．
当秒时，由旋转知，即可得出结论；
由题意得，根据，根据，求解即可；
当边平分时，由，得，求解即可；
分两种情况：当在左侧时，当在右侧时，分别求解即可．
本题主要考查了旋转变换的性质，角度的计算，一元一次方程的应用，表示出与是解本题的关键．
23.本小题分
与几何证明一样，代数推理也需要有理有据，请完成下题中依据的填写．
已知：有理数，满足．
求证：．
证明：因为，
所以有理数的加法法则，
不等式的基本性质．
所以________________．
因为________，
所以等量代换．
所以________________________．
【答案】有理数的乘法法则或不等式的基本性质平方差公式或整式乘法法则不等式的基本性质
【解析】略
24.本小题分
蜀绣是我国民间传统手工艺，作为与苏绣、湘绣、粤绣齐名的中国四大名绣之一，享誉海内外某国际文化交流机构计划采购，两种大运会主题的蜀绣作品作为文化礼品已知购买件种蜀绣作品与件种蜀绣作品共需元，购买件种蜀绣作品与件种蜀绣作品共需元．
求，两种蜀绣作品的单价分别为多少元？
该机构计划采购，两种蜀绣作品共件，总费用不超过元，那么最多能采购种蜀绣作品多少件？
【答案】种湘绣作品的单价为元，种湘绣作品的单价为元；
最多能购买件种湘绣作品．
【解析】解：设种湘绣作品的单价为元，种湘绣作品的单价为元，
根据题意得：，
解得：．
答：种湘绣作品的单价为元，种湘绣作品的单价为元；
设购买种湘绣作品件，则购买种湘绣作品件，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：最多能购买件种湘绣作品．
设种湘绣作品的单价为元，种湘绣作品的单价为元，根据“购买件种湘绣作品与件种湘绣作品共需要元，购买件种湘绣作品与件种湘绣作品共需要元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买种湘绣作品件，则购买种湘绣作品件，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.本小题分
【阅读材料】
我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．例如，教材在探究平方差公式与完全平方公式时，就利用了数形结合的方法．
【类比探究】
利用图中面积的等量关系可以得到的数学公式为 请填序号．
；
；
；
．
【解决问题】
利用【类比探究】中得到的结论，解决下列问题：
已知，，则 ；
若，求的值；
【答案】(1)②
(2)
(3)设，，则，，
=+
；
【解析】
本题考查了完全平方公式，熟练地进行计算是解题的关键．
阴影部分是边长为的正方形，可以看作大正方形面积减去空白部分的面积，根据面积相等可得；
【详解】解：图中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，阴影部分也可以看作大正方形面积减去空白部分的面积，即，
所以有，
故答案为：；

根据完全平方公式变形，即可求解．
，，而，
，
，
故答案为：；

设，，则，，进而根据完全平方公式变形计算即可求解．
26.本小题分
阅读理解：
定义：若一个方程组的解也是一个不等式的解，我们称这个方程组的解是这个不等式的“友好解”例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”．
试判断方程的解 填“是”或“不是”不等式的“友好解”；
若关于，的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围；
当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值．
【答案】(1)不是
(2)②-①，得.因为，所以，即，所以.
(3)解，得.因为，所以，所以，即，解，得.因为方程的解是不等式的“友好解”，所以，解得，所以的最小整数值为.
【解析】
解，得，解，得，所以方程的解不是不等式的解．
略
略
27.本小题分
以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处．
将直角三角板的一边放在射线上，如图，则的度数为______；
将直角三角板绕点转到如图所示的位置，若恰好平分，求的度数；
如图，将直角三角板绕点转动，始终在的内部，试猜想和之间的数量关系，并说明理由；
将直角三角板绕点转动，始终在的外部，且，请直接写出的度数．
【答案】；
；
；
或．
【解析】解：若直角三角板的一边放在射线上，
则．
故答案为：；
平分，，
，
，
，
，
；
，
理由是：，，
，
即；
如图，
，，
，
；
如图，
，，
，
，
，
综上，的度数为或．
根据图形得出，代入求出的度数；
根据角平分线定义求出，代入，再利用即可求解；
根据图形得出，，相减即可求出答案；
将直角三角板绕点转动，如果在的外部，在备用图中画出三角板的四个位置，即可求出的度数．
本题考查了作图复杂作图、余角和补角、旋转作图，解决本题的关键是准确画出旋转后的三角板的位置．
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