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福建省三明第一中学2024 2025学年高三下学期5月月考数学试题
一、单选题
1．已知复数z在复平面内对应的点的坐标是，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知向量和的夹角为，且，，则（ ）
A．3 B． C． D．13
4．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知某运动员在2024年篮球联赛中连续10场的得分数据为：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，则这组数据的（ ）
A．第85百分位数为18 B．众数为12
C．中位数为17 D．平均成绩为14
5．已知，则（ ）
A． B． C．2 D．3
6．已知焦点在x轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则（ ）
A．1 B． C． D．1或
7．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，若，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题中正确的是（ ）
A．已知随机变量服从正态分布，若，则
B．将总体划分为两层，通过分层抽样，得到样本数为m，n的两层样本，其样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差
C．若A、B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则A组数据比B组数据的相关性强
D．已知，，若，则
10．在三棱锥中，，则（ ）
A．
B．向量与夹角的余弦值为
C．向量是平面的一个法向量
D．与平面所成角的正弦值为
11．设函数，若，且，则（ ）
A．实数的取值范围为
B．
C．
D．当时，
三、填空题
12．已知的展开式中的第2项的系数与第2项二项式系数之和为198，则展开式中的常数项为 ．
13．中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.若茶水原来的温度是，经过分钟后的温度是，满足，其中表示室温，是由物体和空气接触状况而定的常数.在室温恒为的房间中，已知一杯的茶水，测得温度降到50℃需要10分钟，则这杯茶水还需要继续放置 分钟，茶水温度才降至35℃达到最佳饮用口感.
14．设椭圆的左右焦点为，，右顶点为A，已知点P在椭圆E上，若，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题
15．已知的内角所对的边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）点在边上，且，求的周长．
16．如图，边长为2的正方形是圆柱的轴截面，为底面圆上的点，为线段的中点．
（1）证明：平面．
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．
17．数列满足：，．
（1）数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由；
（2）数列满足：，求数列的前项和．
18．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）若点，且，求点的坐标；
（3）若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值．
19．对于任意两个正数，记区间上曲线下的曲边梯形面积为，并规定，，记，其中．
（1）若时，求证：；
（2）若时，求证：；
（3）若，直线与曲线交于，两点，求证：（其中为自然常数）．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由题意可得，则.
故选D.
2．【答案】D
【详解】因为，
所以,
所以由数轴得.
即的取值范围为.
故选D.

3．【答案】A
【详解】由题意可得，
故选A
4．【答案】A
【详解】将得分数据按升序排列为：8，9，12，12，14，17，17，17，18，20，
对于A：因为，所以第85百分位数为第9位数，即为18，故A正确；
对于B：众数为17，故B错误；
对于C：中位数为：，故C错误；
对于D：平均数，故D错误；
故答案为：A.
5．【答案】C
【详解】因为，
所以，
，则.
故选C．
6．【答案】A
【详解】因为双曲线的焦点在x轴上，所以，即.
又双曲线的两条渐近线互相垂直，所以，即，解得或（舍）.
故选A.
7．【答案】A
【详解】因为幂函数是上的偶函数，
则，解得或，
当时，，该函数是奇函数，不合乎题意；
当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意，所以，
则，其对称轴方程为，
因为在区间上单调递减，则.
故选A.
8．【答案】A
【详解】令，得，
若，则
所以在上单调递增，
当时，则，
所以，
又在上单调递增，所以，，
当时，，
又在上单调递增，所以，不合题意；
当时，，
所以，
又在上单调递增，
所以，所以，，
综上可得，
故选A
9．【答案】ABD
【详解】对A：因为，且，所以，所以，故A正确；
对B：设两层的数据分别为：和，则，，设总体平均数为，则，因为，所以.
因为，，
所以，故B正确.
对C：由样本相关系数的意义可知， B组数据比A组数据的相关性强，故C错误；
对D：由，所以事件独立，所欲，故D正确.
故选ABD
10．【答案】ACD
【详解】 ，
，故 A 正确；
，
，
，故 B 错误；
，,
，
是平面的一个法向量，故 C 正确；
与平面 所成角的正弦值为：
，故 D 正确．
故选ACD.
11．【答案】BCD
【详解】函数的定义域为，求导得，
当时，函数在上单调递增，最多一个解，不符合题意；
当时，由，得或；由，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在处取得极大值，在处取得极小值，
对于A，依题意，，实数的取值范围为，A错误；
对于B，由A选项知，，，B正确；
对于C，依题意，，则，
由，得，整理得，
则，当且仅当时取等号，解得，C正确；
对于D，由C选项知，且，
由，得，则，即，，
令函数，求导得，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
因此，则，即，D正确.
故选BCD.
12．【答案】60
【详解】的展开式的通项公式为，
所以展开式中第2项的系数为，二项式系数为，所以，解得．
令，得，所以展开式中的常数项为.
13．【答案】10
【详解】由题意温度降到50℃时，
温度降到35℃时，，
所以，所以，
,
故答案为：10.
14．【答案】
【详解】
如图：由题意不妨设在第一象限，作轴交轴于点,知，
因为，所以，
所以，
则，
由,
而解得，
又由，所以，又，即，
代入解得：，
把，代入中，
整理得，
即，解得（舍）或.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由及正弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，所以．
（2）在中，，解得，
在中，，所以，
所以周长．
16．【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【详解】（1）取线段的中点，连接．
在中，．
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，则．
因为平面平面，所以平面．
（2）连接．因为是圆的直径，所以．
过点作圆柱的母线，则平面，所以互相垂直．
以为原点，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设，则，
所以．
设为平面的法向量，
所以，令，则．
易知直线的一个方向向量为．
记直线与平面所成的角为，
则，
化简得．
结合，解得，所以．
17．【答案】（1）是，理由见解析
（2）
【详解】（1）是等比数列，理由如下：
因为，故，
又，故，
因为，所以，故是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）可知，所以，
所以，
所以
．
18．【答案】（1）
（2）点的坐标为
（3）的最小值为
【详解】（1）已知双曲线，则，所以双曲线方程为；
（2）双曲线的右焦点，
又，所以，则，
因为，所以，
则直线，即，
所以，解得，即，
则，所以点的坐标为；
（3）设直线，
，
则，
因为直线过点且与双曲线右支交于、两点，所以，
又因为的重心在轴上，所以，
由点在点的右侧，可得，所以，解得，所以，
而，代入可得，
所以，
代入化简可得：，
所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为.
19．【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）证明见解析
【详解】（1）因为，且，
当时可知，
所以，
，所以成立；
（2）解法一：要证，即证，
如图可知，为与，以及轴所围成的曲边梯形的面积．
若直线与曲线交于点，
过做的切线，分别交，于，，
过做轴的平行线分别交，于，，则，
易知曲面梯形的面积大于，
所以，
所以，，得证．
解法二：因为时，，所以要证，
即证：，
即证：，即证：，
设，，则不等式可化为，
要证，作差得，
即证：在恒成立，
构造函数：，
则，再设，则，
因为，所以恒成立，
所以在为增函数，所以，
所以在恒成立，可得在为增函数，
所以，所以在恒成立，
所以不等式成立，得证；
（3）因为，所以，
令，故，
所以在为减函数，在为增函数，，
故直线与曲线交于，，所以，
且，，即有：①，②，
①＋②得：
①－②得：
由第（2）问知：，
所以，
所以，即，
所以成立．

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