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河北省邯郸市2025届高三保温试题数学试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若数列是无穷数列，则“是等差数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知复数z满足，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为，其中r为年收益率，t为投资时间（单位：年），为自然对数的底数，为初始资金，为t年后的资金，已知某产品年收益率，则使初始资金翻倍至少需要（参考数据：）（ ）
A．12年 B．13年 C．14年 D．15年
5．在中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．将圆通过纵向压缩得到一个焦点在x轴上的椭圆，使其过点，左、右焦点分别为，则的平分线所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若的值域为，则满足条件的整数a的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，M为底面上的动点，且M到PA与BC的距离相等．若，则（ ）
A． B．2 C． D．
二、多选题
9．为加强青少年科学健身普及和健康干预，让年轻一代在运动中强意志、健身心，某校举办一场篮球赛，其中每队上场5人，每人得分情况如下表（单位：分），则下列结论正确的是（ ）
甲队 乙队
5 10 23 12 8 8 8 15 7 6
A．运动员得分极差甲队大于乙队 B．运动员得分均值甲队大于乙队
C．甲队运动员得分的75%分位数为8 D．相较于甲队，乙队运动员实力更均衡
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在内有3个零点 B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增 D．的值域为
11．已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．若为常数列，则
B．当时，的前2025项和为
C．存在，使数列单调递增
D．当时，
三、填空题
12．已知，则 ．
13．降水量是指水平地面上单位面积的降水深度．用上口直径为20cm、底面直径为12cm，母线长为的圆台型水桶来测量降水量，如果一次降水过程中用此桶接得的雨水是桶深的，则本次降雨的降水量是 mm．
14．已知圆和定点，若点P、Q分别为圆O外和圆O上两点，且满足，，则的最小值为 ．
四、解答题
15．已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过，两点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知直线l与双曲线C有且只有一个公共点，且l与坐标轴正半轴所围成的三角形面积为，求直线l的方程．
16．2025年1月，由我国团队自主研发的人工智能模型DeepSeek发布后，引起世界各大主流媒体和社交网站的广泛关注．已知DeepSeek的运行环境有实验室环境和实际部署环境两种，而且在两种环境中运行是等可能的．在实验室环境和实际部署环境中模型的准确率分别为90%和80%，产生错误的原因主要为过拟合和欠拟合，相应的概率如下表：
运行环境 错误类型 实验室环境 实际部署环境
过拟合
欠拟合
其它
某用户问了这个模型一个问题，求：
（1）该模型答对问题的概率；
（2）若该模型回答错误，求错误类型为过拟合的概率．
17．如图，在边长为2的菱形ABCD中，，将沿着BD折起，连接AC，使得．
（1）求证：平面平面；
（2）若点M为棱CD的中点，求二面角的余弦值．
18．已知函数，．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）证明在内存在唯一零点；
（3）若对于任意的，恒成立，求整数k的最大值．
19．我们把形如的式子称为调和级数，它在音乐、建筑等方面都有着广泛的应用．
（1）我们将满足（d为常数）的数列称为“调和数列”．若调和数列满足，求的值；
（2）数列称为调和级数的部分和，求证：；
（3）由（2）我们不难得出，是一个无界数列，即对任意，存在，使得当时，，这个性质称为数列的发散性．请根据该性质证明：对数列，存在，使得对任意都有．
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，所以，所以.
故选C
2．【答案】A
【详解】若是等差数列，则成等差数列，故成立，
取，则，
而即为，因为，
故它们不成等差数列，故推不出是等差数列，
故“是等差数列”是“”的充分不必要条件，
故选A.
3．【答案】B
【详解】由求根公式可得，所以.
故选B
4．【答案】C
【详解】由题意可知，代入公式可得，
所以所以，所以至少需要14年，
故选C
5．【答案】D
【详解】在中，，由正弦定理得，解得，
，
所以的面积为.
故选D
6．【答案】A
【详解】由题可知，压缩得到的椭圆长半轴长为，设椭圆方程为，
因为椭圆经过点，所以，解得，所以，
所以，则，所以，
记的平分线所在直线的倾斜角为，则，
所以，
又，解得或（舍去），
所以，由点斜式方程得，即.
故选A
7．【答案】B
【详解】当时，单调递增，所以，
当时，，，
1)当时，，在上单调递增，此时，
要使的值域为，则，即，
记，则，在单调递减，
因为，所以，即满足题意；
2)当时，，此时，
因为，所以的值域为，即满足题意；
3)当时，由得，
由得，
所以在上单调递增，在和上单调递减，
所以在处取得极大值，
当且趋近于时，趋于，
所以时，，
因为，
所以时，，
此时，的值域不是，不满足题意.
综上，满足条件的整数a的值为和，共两个.
故选B
8．【答案】C
【详解】由于平面，则到直线的距离即为的长度，
在平面中，到直线的距离与的距离相等，以为轴，以的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则的轨迹方程为，设，,
则，解得，
则，
故选C
9．【答案】ABD
【详解】对A，甲队的极差为，乙队的极差为，，A正确；
对B，甲队得分平均数，
乙队得分平均数，，B正确；
对C，将甲队的数据由小到大排列：，
因为，所以甲队运动员得分的75%分位数为，C错误；
对D，由题可知，乙队的得分更加集中，即相较于甲队，乙队运动员实力更均衡，D正确.
故选ABD
10．【答案】BD
【详解】对于A ,令，则，在同一直角坐标系中，
画出和在的图象，根据图象可知：两个函数图象有4个交点，故在内有4个零点，故A错误，
对于B, ,则，故的图象关于直线对称，B正确，
对于C, 故，
令则有和复合而成，
由于在单调递增，而在单调递减，所以在单调递减，故C错误，
对于D,
，故是的一个周期，
故只需要考虑的值域即可，又的图象关于直线对称，
故只需要考虑的值域即可，因为在单调递减，，所以的值域为，D正确，
故选BD
11．【答案】BD
【详解】因为，所以，
对A，若为常数列，则，所以，
解得或，A错误；
对B，当时，，又，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以其前2025项和为，B正确；
对C，若数列单调递增，则，解得或，
又，解得或，
则或，解得或，
所以，当时，数列不可能单调递增，C错误；
对D，因为，所以，
所以
，
因为，所以，即，
所以，D正确.
故选BD
12．【答案】
【详解】因为，解得，
又因为，解得或.
13．【答案】29.6
【详解】设睡眠的半径为，水深为，因为上口半径为，底面半径，则，故，
雨水的体积为，
又,故.
14．【答案】/0.8
【详解】
因为，，设，
则，
设，因为，
所以，即点在直线上运动，
设，点在直线上，
所以，等号成立当且仅当重合.
15．【答案】（1）
（2）或
【详解】（1）由题意知该双曲线焦点在x轴上，故设其方程为，
根据过知，又过，故有，解得，
所以双曲线C的标准方程为；
（2）直线l与双曲线C有且只有一个公共点，且与坐标轴正半轴所围成三角形，分两种情况：
当直线l与双曲线的一条渐近线平行时，设直线l的方程为，
此时三角形的面积为，解得，所以直线l的方程为；
当直线l与双曲线相切时，直线l的斜率显然存在，设其方程为，
联立，得，
所以且，即，
又因为三角形的面积为，解得（负根舍去），
所以，解得（正根舍去），所以直线l的方程为；
综上，直线l的方程为或.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）设该模型答对此问题为事件,则，
故模型答对问题的概率为，
（2）设错误类型为过拟合为事件,则，
因为，
，
所以
所以若该模型回答错误，则错误类型为过拟合的概率为
17．【答案】（1）证明过程见解析
（2）
【详解】（1）证明：取线段的中点，连接，
因四边形为菱形，且，则和均为等边三角形，
则，
又平面，则平面，
以为原点，所在直线为轴，在平面内作，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
设，则，得，
即，
则，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，，
令，则，，
则，
则平面平面.
（2）解：点M为棱CD的中点，则，则，
设平面的法向量为，
则，令，则，
又平面的法向量为，
则，
由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
18．【答案】（1）；
（2）证明见详解；
（3）3
【详解】（1）因为，所以，又，
所以曲线在处的切线方程为，即
（2）因为，所以，
当时，，所以在内单调递增，
又，所以在内有一个零点，
所以在内存在唯一零点.
（3）当时，，所以不等式，
记，则，
由（2）知，存在使得，得
且当时，，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
所以，因为，所以，
又，所以，所以整数k的最大值为3.
19．【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）证明见解析
【详解】（1）将两边同时除以可以，即，
所以由于为调和数列，所以，故为常数，因此
（2）由于，所以
（3）要证，只需要证，
令，则
故，
由（2）可知：令，得，
取，当时，不等式成立.

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