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河南省驻马店高级中学2024 2025学年高三下学期5月月考数学试题
一、单选题
1．已知为虚数单位，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．双曲线的焦距为（ ）
A． B． C．5 D．10
3．若随机变量，且，则的最小值为（ ）
A．18 B． C．24 D．27
4．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l与C交于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第二象限，若是以为直角的等腰直角三角形，则C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．3
7．已知不共线向量，，若向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，，函数的图象与函数的图象相邻的三个交点分别为B，C，D，若是边长为12的等边三角形，则函数的最大值为（ ）
A．6 B． C．12 D．
二、多选题
9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的面积为2
B．若，则直线被圆截得的弦长为
C．若为等腰三角形，则满足条件的点有2个
D．若为与轴正半轴的交点，为圆的直径（在第一象限），的中点为，（表示斜率），则点的横坐标为
10．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．焦点到抛物线的准线的距离为8
B．
C．若的中点的横坐标为3，则
D．若，则
11．对于平面内的一个有限点集由有限个点组成的集合若该点集内的每个点都恰有三个与之距离最近的点这三个点也在点集内则称这样的点集为“对称集”，记作其中n表示该点集内点的个数.如集合不存在；集合存在，该集合内16个点的一种分布方式为如图所示，则使存在的n还可以为（ ）
A．20 B．24 C．4 D．5
三、填空题
12．在平面直角坐标系中，动点到两点的距离的平方和为10，则的取值范围为 ．
13．已知平面向量，若，则 ．
14．经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都有且只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称中心点为，且不等式对任意恒成立，则的取值范围是 .
四、解答题
15．在如图所示的几何体中，平面是的中点，．
（1）求证:平面；
（2）求二面角的正弦值．
16．已知等差数列的公差为2，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和，求使成立的最大正整数的值.
17．某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为80%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为90%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为88%．
（1）设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件．求证：；
（2）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件“该大型企业把零件交给甲工厂生产”，已知，证明：．
18．空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中均为常数，），为该平面的一个法向量.已知球的半径为4，点均在球的球面上，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.平面内的点在球面上，点在轴上的投影在轴的正半轴上，，过直线作球的截面，使得平面平面，设截面与球球面的交线为圆（为线段的中点）.
(1)求点的坐标；
(2)若平面，证明：平面平面；
(3)已知点在平面内，设线段在平面内绕着点逆时针旋转弧度至，点在圆上，且，过作平面，垂足为点.
①用表示点的坐标；
②若，求点到平面距离的最大值；
③若，当直线与平面所成的角最小时，求的值.
19．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，与平行的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．
（1）当直线不垂直于轴时，证明：直线轴；
（2）若，求；
（3）若，求．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由复数的模得：，
所以有，
故选D.
2．【答案】D
【详解】双曲线的焦距为．
故选D.
3．【答案】A
【详解】由题意可得，则，
所以，
易知当时，的最小值为.
故选A
4．【答案】C
【详解】因为，
由，所以，所以，
所以，
所以.
故选C
5．【答案】A
【详解】若，则，则，，此时，
当时，也能得到，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
6．【答案】C
【详解】
设，则，
由双曲线定义可知，，
则，
又为等腰直角三角形，则，即，
得，则，，
在中，由余弦定理知，
即，
整理可得，
所以，，
故选C.
7．【答案】B
【详解】根据给定条件，结合向量加法的几何意义可得作向量，，
在平行四边形中，，，
由向量平分与的夹角，得平行四边形是菱形，即，
对于A，与不一定垂直，所以 不一定为，A错误；
对于B，，即，B正确；
对于C，虽然，但是不一定为正三角形，
所以与不一定相等， C错误
对于D，由选项A知，不一定为，则与不一定相等，D错误．
故选B．
8．【答案】B
【详解】在同一坐标系中，作出函数与的图象，
如图所示，图象相邻的三个交点分别为，
设为的中点，因为是边长为12的等边三角形，
可得，可得，
由，可得，
因为，可得，
可得，所以，可得，解得，
所以，
可得，
所以的最大值为.
故选B.
9．【答案】ABD
【详解】对于A，，设点P,记 则
因为 , 所以
解得 , 所以 的面积为
，故A正确；
对于B，若，则，
所以，所以直线为，所以，
又因为，圆心到直线距离，
所以直线被圆截得的弦长为，故B正确；
对于C，由椭圆的性质可知，即.
若是以为顶点的等腰三角形，点位于椭圆的上顶点或下顶点，满足条件的点有2个；
若是以为顶点的等腰三角形，则，则满足条件的点有2个；
同理，若是以为顶点的等腰三角形，满足条件的点有2个；
故使得为等腰三角形的点共6个，故C错误；
对于D：设，，因为，
所以，所以点的横坐标为，D选项正确.
故选ABD.
10．【答案】BCD
【详解】抛物线的焦点为，准线，，
所以焦点到抛物线的准线的距离为4，A错误；

设
当直线垂直于轴，可得，
所以,得
当直线不垂直于轴，设方程为，由，得，
则，，
，B正确；
对于C，由的中点的横坐标为3，可得：，
，
又，
所以，C正确；
对于D，

过点作，直线与轴分别交与点，
设，则，
因，则，得，
则，则，
故直线的斜率为，直线的方程为，
与联立得，
解得，
所以，
可得：，
所以，D正确
故选BCD
11．【答案】AB
【详解】根据题目定义，对称集要求每个点有三个最近的邻点，
且这些邻点均在点集内.结合图论中的正则图每个顶点度数为需满足边数为整数，
故 n必须为偶数.题目中已给出存在的例子，而不存在.几何构造分析表明，
在平面中满足每个点有三个等距邻点的有限点集需要高度对称的结构，
如蜂窝状或特殊网格排列，但此类构造仅对特定偶数可行.最终答案所有可能的n值为偶数且
所以或者.
故选AB
12．【答案】
【详解】因为动点到两点的距离的平方和为10，所以，
化简上述等式得到动点的轨迹方程为，故点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆．
因为，其中可看作是点与点连线的斜率，
设直线，即，则圆心到直线的距离，
因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，整理得，解得或，
所以的取值范围为．
13．【答案】
【详解】因为，所以，
因为，所以，即，所以．
14．【答案】
【详解】，
因为图象的对称中心点为，所以，所以，
由，所以，
原不等式为，
因为，所以，
设，则，
当时，，当时，，
所以当时，单调递减，当时，单调递增，
所以，即，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，所以其最小值为，故.
15．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）证明：取的中点G，连接，
因为F是的中点，所以，
因为，所以．
又因为，所以四边形是平行四边形，所以，
在中，，，有，
因为平面，所以平面，
又平面，所以，
因为，平面，所以平面，
又因为，所以平面．
（2）由题可知直线两两垂直，则以C为原点，直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设，
则，
所以，设是平面的一个法向量，
则，
令，得，，
所以是平面的一个法向量，，
平面的一个法向量为，设二面角的大小为，
则，
所以，
所以二面角的正弦值为．
16．【答案】⑴，；⑵
【详解】（1）由题意知，，即，
解得，故，．
（2）由，
得，
，
由，解得．故所求的最大正整数为5．
17．【答案】（1）证明见解析
（2）分布列见解析，
（3）证明见解析
【详解】（1）甲工厂试生产的一批零件的合格品率为80%，共件，则合格件数为，
乙工厂试生产的一批零件的合格品率为90%，共件，则合格件数为，
混合后，总零件数为，合格品率为88%，则混合后合格零件数为，
则，化简可得，即.
（2）设甲工厂试生产的这批零件有件，乙工厂试生产的这批零件有件，
事件“混合放在一起零件来自甲工厂”；
事件“混合放在一起零件来自乙工厂”，
事件“混合放在一起的某一零件是合格品”
则，，
，
即，
解得：，所以，
的可能取值为，且由题意知：，
所以，，
，，
所以的分布列为：
.
（3）证明：因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，
大于在甲工厂不提高质量指标的条件下该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，
所以：，
即，因为，
所以，
由，
所以，
即得：，
所以，
即，
由因为，
所以，
因为，所以，
所以.
18．【答案】(1)；
(2)证明见详解
(3)①；②；③.
【详解】（1）连接，过点作，交于点.根据题意易得为等边三角形，所以，
则，所以；
（2）连接，根据球的性质可得平面，
则即为平面的一个法向量，
因为，所以，
平面的一个法向量为，
因为，
所以，故平面平面；
（3）①当时，过点作交于点，
过点作交于点，过点作交于点，
过点作交于点，过点作交于点，
则，
，
则，
同理可得当时，；
②因为点在平面内，所以，则平面的一个法向量为，
，
点到平面的距离，
当，即时，取得最大值，最大值为；
③易得平面的一个法向量为，
因为，所以，
设直线与平面所成的角为，
则
，
令，则，
则
，
当，即时，最小，即直线与平面所成的角最小.
19．【答案】（1）证明见解析；
（2）
（3）3
【详解】（1）抛物线的焦点为，直线不垂直于，设其方程为，
直线方程为，，
由，消去得，则，，
则点，
由，消去得，则，，
则点，
由直线不垂直于轴，得，所以直线轴.
（2）
由（1）可得，，，
由，得，即，而，解得
，
所以.
（3）令与分别交于点，设，
由，得，，即，
则，故点与重合，由，得，
则，即，而，
即，由（2）已得，
故可得：，
又，则，
于是，而，解得，
所以.

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