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2025届吉林省吉林市东北三省教育教学联合体5月联考模拟预测数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．样本数据19，20，21，23，13，16，24，28的第75百分位数为（ ）
A．20 B．21 C．23 D．23.5
4．已知侧棱长为，底面边长为的正三棱锥，其内切球球心为，球与球以及三棱锥的三个侧面均相切，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，是偶函数，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
6．函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的左 右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一 三象限的交点分别为，则的周长为（ ）
A． B．8 C． D．
8．莫比乌斯（Mobius）环是最具有代表性的单侧曲面之一，它由德国数学家莫比乌斯于1858年发现. 就是把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈.现将一个长为30cm、宽为4cm的矩形纸条粘合两端（粘合两端重叠部分忽略不计），形成一个莫比乌斯环，如图：

下列关于莫比乌斯环说法正确的是（ ）
A．一只小虫在不跨过它的边缘情况下沿着表面至少走30cm就能回到原处
B．如果把它沿中线剪开（如图白色线的部分），曲面被分成独立的两部分
C．如果把它沿中线剪开（如图白色线的部分），最终得到纸带的边缘周长为120cm
D．一只小虫在不跨过它的边缘情况下不能爬遍整个曲面
二、多选题
9．我国1949年—2023年高中阶段毛入学率和高等教育毛入学率变化如图所示，可以判断（ ）
A．2000年—2005年高中阶段毛入学率增量高于1995年—2000年高中阶段毛入学率增量
B．2015年—2020年高等教育毛入学率增加了14.4%
C．2015年—2020年高中阶段入学人数低于2010年—2015年高中阶段入学人数
D．2023年高等教育入学人数是2015年高等教育入学人数的1.5倍
10．某种积木的玩法是用不同形状的积木穿过对应的孔洞，来锻炼儿童的手眼协调能力.一块积木的形状如图所示，该积木由9个棱长为1cm的正方体构成，在边长为5cm的正方形木板上挖出下列四种形状的孔洞（空白部分），则能使该积木从中穿过的为（ ）
A．B．C．D．
11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（ ）
A．开口向上的抛物线的方程为
B．
C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D．阴影区域的面积不大于32
三、填空题
12．若，则 .
13．已知圆锥与圆柱的底面半径相等，它们的高也相等，若圆柱的底面积为，侧面积为，则圆锥的表面积为 .
14．已知，，且动点满足.则的取值范围为 ；若线段PM的垂直平分线与PA交于点Q，则的正切值的最大值为 .
四、解答题
15．已知、、分别为斜中角、、的对边，．
（1）求；
（2）已知的面积为，求的最小值．
16．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面.

（1）证明：；
（2）若为的中点，，求直线与平面所成角的正弦值.
17．2025年4月24日，搭载“神舟二十号”的火箭发射升空，有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻.某机构将关注这件事的时间在2小时以上的人称为“航天爱好者”，否则称为“非航天爱好者”，该机构通过调查，从参与调查的人群中随机抽取200人进行分析，得到下表（单位：人）：
航天爱好者 非航天爱好者 合计
女 40 60 100
男 70 30 100
合计 110 90 200
（1）能否有99%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关？
（2）现从这100名男生与100名女生中，按“航天爱好者”和“非航天爱好者”这两种类型分别进行分层抽样抽取男生10人，女生5人.将这15人中航天爱好者记为A组，非航天爱好者记为B组.现从这两组中各任意选取一人进行交换，求经过一次交换后，A组中女生人数的分布列和数学期望.
附：，其中，
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18．已知函数，．
（1）当时，求在上的值域；
（2）证明：曲线与在点处存在公切线.
19．17世纪，牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了代数方程的一种数值解法：如图所示，我们想要找到的根，即点的横坐标，则可以先在点附近取一个初始值，比如横坐标为处，然后在以为横坐标的点处做一条切线，并求出该切线与轴的交点，此时，我们会发现比初始值更接近点．如果重复这个过程，不断绘制切线并计算其与轴的交点，依次迭代下去，我们将得到，根据给定的精确度，直到求得满足精度的近似解为止．这就是牛顿迭代法（切线法）的原理．已知，取．
(1)根据牛顿迭代法，求；
(2)求与的关系式；
(3)牛顿迭代法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取曲线的切线或割线．若，求证：．
参考答案
1．B
2．C
3．D
4．B
5．B
6．B
7．C
8．C
9．AB
10．ABC
11．ACD
12．
13．
14．/
15．（1）因为，
由正弦定理得，，
即，
因为为斜三角形，所以，故，
由正弦定理可得．
（2）由（1）知，，所以，
所以，
即，
因为，则，故，所以，
所以，则，
所以，
当且仅当，即时，取最小值．
16．（1）证明：连接，
是菱形，是对角线，
，
又平面平面，
，
又平面平面，
平面，
又平面.
（2）取中点，连接，则，
以为轴，以为轴，以为轴，建立如图空间直角坐标系，

令，则，
，
设平面的法向量为，
由，得，得，
.
17．（1）
所以有99.9%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关.
（2）按分层抽样，100名男生中，抽取“航天爱好者”有7人，“非航天爱好者”有3人，
100名女生中，抽取“航天爱好者”有2人，“非航天爱好者”有3人.
故A组有男生7人，女生2人，B组有男生3人，女生3人.
从这两组中各任意选取一人进行交换，经过一次交换后，
A组中女生人数为，则的可能值为1，2，3.
，，.
X的分布列如下表：
1 2 3
.
18（1）若，则，得，
令，解得，
所以当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，有最大值，，
当时，，当时，，
故在上的值域为．
（2）证明：由，得，则，
又，故在点处的切线方程为．
同理，由，得，则，
又，故在点处的切线方程为，
所以与在处存在公切线．
19．（1），，，
当时，，，
因此切线，
当时，可得；
（2）当切点为时切线方程为：.
当时，可得：
，
即；
（3）证明：由（1）知，函数在处的切线方程为.
①先证：当的图象恒在切线的上方，
即当时，，即.
令，则，
易知，令，
可得，易知，
在单调递减，在单调递增，
又，，，
存在使得，
在单调递增，在单调递减，在单调递增.
又，
当时，，即，即.
②下证：.
即，即.
令，
则，则在单调递减，在单调递增，
又，
显然当时，恒成立，即恒成立，
由①②可得.

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