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江苏省南京市金陵中学2024 2025学年高三下学期4月调研数学试题
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为个圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．4 B． C． D．
3．记为等差数列的前项和，公差，且，则取得最小值时为（ ）
A．2021 B．4039 C．2020 D．4040
4．已知圆上的点到直线的距离为，则满足条件的点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．设，则（ ）
A． B． C． D．
6．男、女各3名同学排成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一性别的两名同学不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A．36 B．72 C．144 D．288
7．已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
8．直观想象是数学六大核心素养之一，现有大小完全相同的10个半径为的小球，全部放进棱长为的正四面体盒子中，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
二、多选题
9．已知椭圆的左 右焦点分别为为椭圆上关于原点对称的两点，且，则（ ）
A．
B．四边形的周长为
C．四边形的面积为
D．椭圆的离心率的取值范围为
10．函数的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是单调递增数列
C．若为数列的前项和，则
D．若对任意，都有，则
三、填空题
12．二项式的展开式的常数项是 .
13．已知，函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是 .
14．已知双曲线的右焦点，过点作直线交双曲线左右两支于两点，且，过点作直线的垂线交双曲线于点，若点、两点关于原点对称，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题
15．如右图所示，五边形ABCED中，，，连接，将三角形和分别沿折叠，使点A和点E重合，将重合的点记作点P．
（1）若，求证：；
（2）若面与面的夹角余弦值为，求的长．
16．在中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且．
（1）若，求角C的正切值；
（2）求的取值范围．
17．某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表：
零件直径（单位：厘米）
零件个数 10 25 30 25 10
已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）.
参考数据：；若随机变量，则，
，.
（1）试估计这批零件直径在的概率；
（2）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望；
（3）若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率.
18．如图1，曲线是与组合的．
（1）过点，求的渐近线方程；
（2），设，，曲线上找一个点，使得达到最小；
（3）若，如图2，存在过点的两条直线，与曲线的交点分别是点、点、点、点，点在第二象限，点在第一象限．是否存在非零实数使得成立，请说明理由．
19．函数，其中，定义域是一切实数．
（1）计算的值并指出其几何意义；
（2）当时，方程只有一个解，求实数的取值范围；
（3）设，，，，，．求证：．
参考答案
1．【答案】B
【详解】,
故选B
2．【答案】C
【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，
由圆锥的侧面积公式可得，解得，
因为，所以.
故选C.
3．【答案】C
【详解】因为公差，所以数列单调递增，所以，又，
所以，所以数列前项全为负，从开始为正，
所以前项的和为的最小值，故.
故选C.
4．【答案】D
【详解】的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
故到直线的距离为的点共有4个，
故选D
5．【答案】A
【详解】记则，
故当时，，故在单调递增，
当时，，故在单调递减，
故，因此对任意的，都有，
当且仅当时取到等号，
故，故，故，
由于，因此，
故选A
6．【答案】B
【详解】若第一排有2名男生，1名女生，则第一排女生只能站中间，第二排男生只能站中间，
不同的排法种数为；
同理可得：若第一排有1名男生，2名女生，不同的排法种数为.
根据分类加法计数原理可知，不同的排法种数为.
故选B.
7．【答案】B
【详解】根据可得，故,故，
令，故或,
结合图象可知,
因此故，
因此故，
故选B
8．【答案】D
【详解】根据题意利用正四面体的性质得出棱长与高之间的关系，再由10个球在正四面体盒子内部摆放规则以及内切关系，利用三角形相似即可求得的最大值.
如图所示，
因为正四面体的高等于其棱长的倍，所以其高为.
10个半径为的小球放进棱长为的正四面体中，成三棱锥形状，有3层，
则从上到下每层的小球个数依次为个，
当取最大值时，从上到下每层放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切，
底层的每个球都与正四面体底面相切，任意相邻的两个小球都外切，
位于每层正三角状顶点的所有上下相邻小球的球心连线为一个正四面体，
则该正四面体的棱长为，
可得正四面体的高.
连接并延长交于点，连接，过点作于点，
易知，所以，
所以，
所以正四面体的高，
解得，所以的最大值为2.
故选D.
9．【答案】ABD
【详解】依题意，互相平分，且，则四边形是矩形，令其半焦距为c,
对于A，，A正确；
对于B，四边形的周长为，B正确；
对于C，四边形的面积为，C错误；
对于D，由以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆有公共点，得，即，
解得，即离心率，D正确.
故选ABD
10．【答案】ABD
【详解】当是，，故A符合；
当时，在上单调递减，且，故B符合；
当时，由为上的单调递增函数，
令，则，即，
因为，可得，所以在上的单调递增函数，
所以，所以有唯一解，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】ABC
【详解】由，可得，
故,
也符合，
故，，A正确，
由于，故，因此是单调递增数列，B正确，
，
故，C正确，
由可定，
当为偶数时，则恒成立，由于单调递增，故，
当为奇数时，则恒成立，由于单调递增，故，
故对任意，都有，则，故D错误，
故选ABC
12．【答案】
【详解】的展开式的通项为
令，解得，
所以展开式的常数项.
13．【答案】
【详解】因为函数有三个零点，即方程有三个解，
当时，方程为，即，即，
因为，所以，所以方程有两个根，又，
所以有一个正根与一个负根，
又，所以有一正的零点，
当时，方程为，即
因为函数有三个零点，所以方程有两个非正根，
所以，解得，又，所以，
所以实数的取值范围是.
14．【答案】
【详解】设另一个焦点为，连接，设，则，
由双曲线的定义可得，
由双曲线的对称性可得是的中点，也是的中点，
所以四边形是平行四边形，
因为，所以四边形为矩形，
所以，
所以在中，，
所以，化简得，
在中，，则，
所以，得，
所以，
所以离心率.
15．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）由，知
，
由，结合余弦定理得，
则，所以，
又因为，即，又由平面，
所以平面，又因为平面，所以，
（2）
以B为原点，以平面为平面，建立如图所示得空间直角坐标系，
有，设，，
可得，
由，两式消元可得，
再由，
再由，
设面PBC法向量为，
则，
令，则，，则，
而平面BCD法向量为，
由,
整理得：，
代入可得，
再与联立解得：或，
当时，代入
当时，代入，所以此时不成立，则舍去，
综上可得.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）代入，所以，，即，
因，则，
所以，故，则.
（2）由题可得：，
即，
即，
因为，所以，则，
因为，
则，
因为
，
则，即，
故，
若，则；若，则，矛盾，
故，
则
，
因为，
所以，
，
令，，
因为，因为，，
所以，所以，，
.
故的取值范围为.
17．【答案】（1）0.47725
（2）分布列见解析，1
（3）.
【详解】（1）由平均数与方差的计算公式分别得
.
.
故，.
设表示零件直径，则，即.
则，
，即.
（2）由题意知，这批零件直径在的概率为.
Z的取值范围为，
则，
，
，
，
，
因此可得Z的分布列为
Z 0 1 2 3 4
P
因为Z服从二项分布，则Z的数学期望.
（3）设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件，“抽取的零件为乙机器生产”记为事件，
“抽取的零件为次品”记为事件B，
则，，，，
则，
，
所以这个零件是甲机器生产的概率为.
18．【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析，理由见解析
【详解】（1）将点代入，得，得，
所以，渐近线方程：.
（2）因，则，，
①当时，取到最小值时，点一定在上，
设点，则，
则，
当时，则或时，取最小值，此时或，
当时，当时，取最小值，此时；
②当时，取到最小值时，点一定在上，
设点，则，
则 ，
因，则，
故当时， 取最小值，此时.
综上可知，曲线上存在点，使得达到最小.
（3）设，，
设
由，得，则 ，
由 ，得，则 ，
由，得，则 ，
由，得，则 ，
则
，
同理可得，，
若存在非零实数使得成立，则，即，
即，则或，
若，则或，此时直线或的方程为，不符合题意，
故当且、均不为零时，存在非零实数使得成立
19．【答案】（1），几何意义是函数在点处切线的斜率是；
（2）；
（3）证明见解析.
【详解】（1）因为，
所以 ，
几何意义是函数在点处切线的斜率是.
（2）变形得到，
令，，
又，所以函数在内恒小于零，
所以函数在单调递减 ，又，
所以值域为，所以的取值范围为.
（3）由（2）知函数在单调递减，且存在唯一的零点使得，即，
，
根据函数单调性知，
即，依次类推，得到，
同理，
即，
，
因为，所以，
，所以得到 ，
，
，
，
所以.

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