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辽宁省沈阳市第二中学2025届高三第五次模拟考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，若与反向共线，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
4．若，则等于（ ）．
A． B． C． D．
5．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，…为边的正方形拼成长方形（斐波那契数列由1和1开始，之后的数就是由之前的两数相加而得出），然后在每个正方形中画一个圆心角为90 的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵 鹦鹉螺等，如图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面则该圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
6．若函数为R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．2
7．函数，当时函数的值域为，则函数的最小正周期的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在四棱锥中，E，F分别是线段AP，BC上的点，，则下列条件可以确定平面PCD的是（ ）
A． B．
C．平面PAD D．，
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的70%分位数是23
B．随机变量X服从二项分布，，则
C．一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60
D．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差
10．已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，，则
B．若，且，，则
C．若，，则
D．若，，，则
11．曲线上任意点，满足点到定点的距离与到定直线的距离之和为6，则下列说法中正确的有（ ）
A．曲线经过原点
B．曲线关于轴对称
C．曲线上点的横坐标的取值范围为
D．直线被曲线截得的线段长为
三、填空题
12．，则 ．
13．王先生今年初向银行申请个人住房贷款80万元购买住房，按复利计算（复利是指在计算利息时，将上一期的利息加入本金，一并计算下一期的利息，也就是通常所说的“利滚利”），月初办理贷款，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清。银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）．若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为0.3%，则王先生每月应还 元（结果保留整数，参考数据，，）
14．沈阳二中校园文化生活丰富多彩，开设了许多社团，让同学们在学习之余可以放松，提升综合能力，还能助力职业生涯规划．现有模拟联合国、舞蹈、天文、机器人、羽毛球五个社团纳新，现有A，B，C，D，E五名学生准备报名，规定每名学生只能报名一个社团，已知这五名学生对这五个社团的报名意愿如下表（表中打√的为喜欢的社团）
模拟联合国 舞蹈 天文 机器人 羽毛球
A √ √ √
B √ √
C √ √
D √ √ √
E √ √ √ √
这五名学生都能报名自己喜欢的社团的不同报名方式种数为 （用数字作答）；若这五名学生都报名了自己喜欢的社团，A报名了天文社，有且只有2个人报名了同一个社团，则不同的报名方式种数为 （用数字作答）．
四、解答题
15．已知函数，且曲线在点处的切线与x轴平行．
（1）求a，b；
（2）求的极值点个数．
16．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是的重心，且．
（1）若，求的值；
（2）求的取值范围．
17．如图，以为顶点的六面体中，四边形为菱形，，，，，，．
（1）求证：
（2）当时，求二面角的正弦值
18．已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，过的直线交于两点.
（1）求抛物线的方程：
（2）求证：抛物线在两点处的切线互相垂直；
（3）设为线段的中点，以线段为直径的圆交抛物线在处的切线于点，试判断是否为定值，并证明你的结论.
19．设点集，从集合中任取两个不同的点，，定义A，B两点间的距离．
（1）若，当且仅当时，，求数列的前70项和；
（2）从集合中任取两个不同的点A，B，用随机变量X表示它们之间的距离，求X的分布列与期望；
（3）已知点，且满足如下条件：
①；②；③对于任意的，，．
证明：所有满足条件的点C的个数为．
（“卡特兰数”可以帮助解决上述问题：将n个0和n个1排成一排，若对任意的，，在前m个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有种，其中的结果被称为卡特兰数．）
参考答案
1．B
2．A
3．C
4．B
5．A
6．A
7．D
8．A
9．BC
10．ACD
11．ABD
12．
13．7943
14．144 24
15．（1）由题得，解得，
又，则，解得，
故，
（2）由（1）可知，
令，则
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又，，，
，使得，故，
所以当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
则在内单调递增，在单调递减，在递增，
所以有两个极值点．
16．（1）延长CG交AB于点D，由G是的重心，得D为线段AB的中点，且，
由，得，则，，
又，则是正三角形，，在中，记，
由正弦定理，即，
则，即，
所以，即.
（2）由（1）知，在中，，
在中，，
于是，整理得，
在中，，当且仅当时取等号，
又，所以的取值范围为.
17．（1）方法一：取中点，∵为菱形，∴，
∴，∴，
中，，由余弦定理得，
中，，故，
由余弦定理得，
∴，∴，
∵平面，，∴平面，
又平面，∴；
方法二：四边形为菱形，，故，
又，，
所以
，
∴
（2）方法一：在中，，，
由余弦定理得，
以，，为基底，其中，
则，又，
在底面中，设交于，，
，
即，故，
解得，故，
在侧面中，作交于，
因为，所以，故，，
所以，
所以
，
又
，故，
，故，
，
则，二面角的正弦值为．
方法二：以为原点，为轴正方向，在面中过且与垂直的直线为轴，
过且与面垂直的直线轴，建立如图所示空间直角坐标系．
则，，，设，
则①，
②，
式子①-②得③，，，
因为，所以，解得，
代入③得，所以，
所以，，
设，
，即，
令得，故，
又为面ABC的一个法向量，
故，
所以二面角的正弦值为．
18．（1）易知，抛物线开口向上，且焦点坐标为，
所以椭圆的焦点也在轴上，则
由，解得：，
所以抛物线的方程为.
（2）因为直线与抛物线有两个交点，所以其斜率必存在，
设直线的方程为
由，则
对求导得，
设抛物线在两点处的切线斜率分别为，
则，
即抛物线在两点处的切线互相垂直.
（3）
解法1：由（2）可知即，
则与轴的交点坐标为，
于是
于是，
所以为定值.
解法2：设抛物线在两点的切线，切线交点为，
故，
联立解得点坐标为，
由（2）知点坐标为，且，所以，
故，即，
因为，所以
，
即，故在中，，
所以，即，
所以为定值.
解法3：因为，
故
，
又，所以，
，
即，
由（2）知，所以，
故，即，
所以为定值.
19．（1）因为当且仅当时，，
所以，当和时，，
令，则，，
所以，数列的所有项的和为数列，）的前23项和，
因为是公比为-的等比数列，
所以，的前23项和为：，
所以，数列的所有项的和为；
（2）根据题意，中点的个数为个，
对于的随机变量，在坐标与中有k个坐标值不同，即，剩下个坐标值满足，此时所对应情况数为种，
即，
故X的分布列为：
X 1 2 … n
P …
数学期望
法一：设，由倒序相加及得
所以，
法二：由及得，
（3）由题意知，中0和1的个数都为n，且对于任意，
中0和1的个数都不相等，
又因为，则，这个数中有个0，个1，
对任意的，在的前m个数中，0的个数都不少于1的个数，
由卡特兰数知，满足条件的排列方式共有种，
因为
所以所有满足条件的点C的个数为

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