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陕西省安康市高新中学，安康中学高新分校联考2025届高三临门一卷数学试题
一、单选题
1．集合则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的最大值和最小正周期分别是（ ）
A．2， B．1， C．1， D．2，
3．已知（为虚数单位），若为纯虚数，则（ ）
A． B． C．2 D．
4．已知点，向量，向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．若双曲线过点，则其渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，高度为的圆锥形玻璃容器中装了水，则下列四个容器中，水的体积最接近容器容积一半的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（ ）
A． B． C．4 D．8
8．已知函数为奇函数，且在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设是抛物线弧上的一动点，点是的焦点，，则（ ）
A．
B．若，则点的坐标为
C．的最小值为
D．满足面积为的点有3个
10．若定义在上的函数同时满足：①；②对，成立；③对，，，成立；则称为“正方和谐函数”，下列说法正确的是（ ）
A．，是“正方和谐函数”
B．若 为“正方和谐函数”，则
C．若为“正方和谐函数”，则在上是增函数
D．若为“正方和谐函数”，则对，成立
11．泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式
由此可以判断下列各式正确的是（ ）．
A．（i是虚数单位） B．（i是虚数单位）
C． D．
三、填空题
12．已知函数若，则m的取值范围是 ．
13．箱子中有大小相同的6个小球，分别标有数字1，1，2，2，3，甲、乙两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人依次从箱子中随机摸出1球，甲先摸，乙后摸，摸出的球不放回，并比较摸出的球的标号大小，数字大的人得1分，数字小的人不得分，如果数字一样，则都不得分.经过三轮比赛后，箱子中的球被摸完，此时甲的累计得分比乙的累计得分大的概率是 .
14．已知为平面内一定点且，平面内的动点满足：存在实数，使，若点的轨迹为平面图形，则的面积为 .
四、解答题
15．人工智能（英语：Artificial Intelligence，缩写为AI）亦称智械，机器智能，指由人制造出来的可以表现出智能的机器．为了了解不同性别的学生对AI的关注情况，随机抽取了90名学生，调查结果如下表：
关注 不关注 合计
男生 55 60
女生
合计 75
（1）完成上述列联表，依据该统计数据，能否有的把握认为学生对AI的关注与性别有关？
（2）为了激发同学们对AI的关注，某班级举办了一次AI闯关PK，甲，乙两名选手参加PK赛，比赛共有道题目，其中甲，乙水平相当，他们分别答对每道题的概率均为，两人各自分开答题，答对一题得1分，否则不得分．答题结束后得分较高者获胜，得分相同视为平局．
（ⅰ）已知，，且已知比赛结束后甲，乙得分之和为奇数．假设甲，乙得分之差的绝对值为，求的分布列及数学期望；
（ⅱ）由于甲选手较为自负，甲决定放弃第一题的作答．若最终乙获胜的概率为，求的值．
附：
0.1 0.05 0.01 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
16．在数列中，，.
（1）证明：数列是等差数列.
（2）求的通项公式.
（3）若，求数列的前项和.
17．设函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，讨论的单调性．
18．已知椭圆的离心率为，且过点为坐标原点,为椭圆的右顶点．
（1）求的方程；
（2）过点斜率为的直线交椭圆于另一点，求的面积；
（3）在（2）的条件下，若点为椭圆上不与点重合的点，且的面积与的面积相等，求点的坐标．
19．三余弦定理：设A为平面内一点，过点A的斜线在平面上的正投影为直线．为平面内的一条直线，记斜线与直线的夹角（即直线与平面所成角）为，直线与直线的夹角为，直线与直线的夹角为，则．三余弦定理描述了线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，又称最小角定理．
（1）证明三余弦定理；
（2）如图，已知三棱柱，为正三角形，，求直线与底面所成角的正弦值；
（3）已知平行六面体，记为平行六面体体积，为平行六面体表面积，为平行六面体棱长总和，求证：．
参考答案
1．【答案】A
【详解】
故选A.
2．【答案】C
【详解】函数，
当 ，即时，取最大为1，
所以函数取最大值为，
，所以函数的周期为.
故选C.
3．【答案】D
【详解】，
因为为纯虚数，所以且，即，
所以，则，
故选D．
4．【答案】D
【详解】设，因为向量，，
则，
，
因为，所以，解得，∴.
故.
故选D.
5．【答案】D
【详解】因为双曲线过点，
所以，
所以，
所以双曲线方程为，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选D.
6．【答案】D
【详解】设圆锥的顶点到水面的距离为，圆锥的底面半径为，
则水面半径为．当水的体积等于容器容积的一半时，
有，整理得．
因为，，，，则D选项更接近.
故选D．
7．【答案】C
【详解】因为，所以由余弦定理得，
由，得，得，
所以，得，
所以，得，
因为，所以.
故选C
8．【答案】D
【详解】因为为奇函数，所以其定义域关于原点对称，
易知，所以，即有，得到，
所以，
函数定义域为,
得到，所以，
故，
有，此时，函数为奇函数，
即，满足题意，
所以，定义域为，
当时，，
函数，在上单调递增，
函数在上单调递减，所以函数在上单调递增；
当时，，
，
由，得到
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以是函数的极小值点，当时，，
结合奇函数的性质，可得函数的大致图象如图，
又在区间上有最小值，所以，解得，
故选D.
9．【答案】ABD
【详解】对于A，抛物线弧的焦点为，故A正确；
对于B，若，解得，
所以，即点的坐标为，故B正确；
对于C，由选项B可知，点在抛物线弧上，设为，
则，
如图，可取，则，
由，又，
所以，即，即，故C错误；
对于D，直线的斜率为，所以方程为，
，设边上的高为，
若面积为，则，解得，
设点，则点到直线的距离即的高，
又，则，
所以或，又，
解得或，
所以满足面积为的点有3个（如图），故D正确．
故选ABD．
10．【答案】ABD
【详解】对于A, 函数，，显然满足条件①②．
对任意，且时，．
函数在区间，上为“正方和谐函数”．故A正确.
对于B，若函数为“正方和谐函数”，
则令，，得，即，
又由对，，，故B正确；
对于C，设，则，所以
，即有，
函数在区间上不一定是单调递增，故C错误；
对于D，①当时，成立，
②当时， ，，
③当时，，，则；
显然，当时，成立；
假设当时，有成立，其中，
那么当时，，
可知对于，总有，其中，
而对于任意，存在正整数，使得，此时
综上可知，满足条件的函数对时总有成立.
故D正确，
故选ABD
11．【答案】ACD
【详解】对于A、B，由，
两边求导得，
，
，
又，
，
，故A正确，B错误；
对于C，已知，则.
因为，则，即成立，故C正确；
故C正确；
对于D，,，
，
当，；；；
，,
所以，所以成立，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】当，即时，由得，解得，
当，即时，由得，无解，
∴m的取值范围是.
13．【答案】
【详解】由题意得，比赛对甲、乙是公平的，所以先计算甲、乙得分相同的概率，
情形一：甲、乙都得0分，即每一轮甲、乙摸到的球的标号相同，发生的概率为；
情形二：甲、乙都得1分，即三轮中有一轮甲得1分，有一轮乙得1分，有一轮两人摸到的球的标号相同，都不得分，
若相同的标号为1，则，
同理，相同的标号为2的概率，相同的标号为3的概率，
所以甲的累计得分比乙的累计得分大的概率
14．【答案】
【详解】以为圆心，以为半径作圆，
过作圆的切线，分别与圆切于点，，
连结，，延长与圆交于点，
存在点以及实数，设点，满足，
，即
由，可知点在的延长线上，
若要存在使得，相当于的延长线与圆有交点，
故只能在图中阴影部分，所以点的轨迹面积，
因为与圆相切于点，所以，
由勾股定理可知，，
所以，同理，
因为，所以，
所以，
综上所述，的面积为.
15．【答案】（1）表格见解析，有，理由见解析；
（2）（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）
【详解】（1）列联表如下：
关注 不关注 合计
男生
女生
合计
∴，
故能有％的把握认为学生对AI的关注与性别有关．
（2）（ⅰ）设甲、乙得分分别为，∵为奇数，
故，，，，，，，，
其中，故或．
又，
，
，
，
根据贝叶斯公式，，
．
∴的分布列为
∴；
（ⅱ）假设除去第一题外的剩余题的答题过程中，甲比乙得分高的概率为，
乙比甲得分高的概率为，甲乙得分相同的概率为，
由于甲乙水平相当，根据对称性可知，且．
∴，．
如若乙比甲得分高，则第1题无论结果如何都是乙获胜；
如若甲比乙得分高，则乙不可能获胜；
如果甲乙得分相同，则第一题乙必须答对才能获胜，
故乙获胜的概率，
∵，，
∴．
16．【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【详解】（1）证明：因为，所以，
所以.
因为，所以，所以数列是首项和公差均为1的等差数列.
（2）解：由（1）可得，
则，故.
（3）解：由（2）可得，
则
17．【答案】(1)；
(2)答案见详解.
【详解】（1）当时，，则，
则曲线在点处的切线斜率为，
因为，所以曲线在点处的切线方程为．
（2）的定义域为．
当时，．
令，则在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为
当时，则，此时，在上单调递增，
当时，令，得．
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增.
综上，当时，在上单调递增，当时，
在上单调递增，
在上单调递减．
18．【答案】（1）
（2）
（3）．
【详解】（1）根据离心率以及点的坐标可得，解得，
可知椭圆的方程为；
（2）直线方程为：，令得：，
记，
由，得．
的面积．
（3）在（2）的条件下，，如下图所示：

易知点到直线的距离
的面积与的面积相等，则与到直线的距离相等，
设到直线距离为的点在直线上，
则，解得或，
当时，由得（舍）或．
因此可得．
当时，联立，此时无解．
综上，点坐标为．
19．【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【详解】（1）如图，不妨设在平面的射影为，则，过点作交直线于点，连接，
即为斜线与平面所成角，
即为斜线在平面的射影直线与平面内的直线所成角，即为斜线与平面内的直线所成角，
，，，
又，，，平面，
平面，
平面，，
根据几何关系可得，，
．
（2）取中点为，连接，，，，易知，
，．
又，，，平面，平面，
平面，
平面平面，
直线在平面上的射影必在交线上，
直线与底面所成角为，
，，
由三余弦定理得，得，
，
即直线与底面所成角的正弦值为．
（3）证明：设，，，，，，直线与底面所成角为，直线在底面投影与AB夹角为，在底面投影与AC夹角．
由平行六面体的对称性，不妨令，，
由三余弦定理，
则.
由题意得，
，
，
，
由，可得：
则
，
当且仅当且时等号成立．

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